Нормальное распределение

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск
Сюда перенаправляется запрос «Гауссовский шум». На эту тему нужна отдельная статья (англ.).
Нормальное распределение
Плотность вероятности

Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения

Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Обозначение <math>N\left(\mu,\sigma^2\right)</math>
Параметры μ — коэффициент сдвига (вещественное число)
σ > 0 — коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель <math>x \in \left( -\infty;+\infty \right)</math>
Плотность вероятности <math>\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi
Функция распределения {{{cdf}}}
Математическое ожидание {{{mean}}}
Медиана {{{median}}}
Мода {{{mode}}}
Дисперсия {{{variance}}}
Коэффициент асимметрии {{{skewness}}}
Коэффициент эксцесса {{{kurtosis}}}
Дифференциальная энтропия {{{entropy}}}
Производящая функция моментов {{{mgf}}}
Характеристическая функция {{{char}}}
\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right)</math> 
|cdf        = <math>\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}} \right) \right] </math>
|mean       = <math>\mu</math>
|median     = <math>\mu</math>
|mode       = <math>\mu</math>
|variance   = <math>\sigma^2</math>
|skewness   = <math>0</math>
|kurtosis   = <math>0</math>
|entropy    = <math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)</math>
|mgf        = <math>M_X\left(t\right)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>
|char       = <math>\phi_X\left(t\right)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>

}}

Норма́льное распределе́ние,[1][2] также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

<math>
   f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
 </math>

где параметр μ — математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ — среднеквадратическое отклонение (σ ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.





Значение

Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистике и статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

Свойства

Моменты

Моментами и абсолютными моментами случайной величины X называются математические ожидания X p и <math>\left|X\right|^p</math>, соответственно. Если математическое ожидание случайной величины μ = 0, то эти параметры называются центральными моментами. В большинстве случаев представляют интерес моменты для целых p.

Если X имеет нормальное распределение, то для неё существуют (конечные) моменты при всех p с действительной частью больше −1. Для неотрицательных целых p, центральные моменты таковы:

<math>
   \mathrm{E}\left[X^p\right] =
     \begin{cases}
       0 & p=2n+1, \\
       \sigma^p\,\left( p-1 \right)!! & p=2n.
     \end{cases}
 </math>

Здесь n — натуральное число, а запись (p − 1)!! означает двойной факториал числа p − 1, то есть (поскольку p − 1 в данном случае нечётно) произведение всех нечётных чисел от 1 до p − 1.

Центральные абсолютные моменты для неотрицательных целых p таковы:

<math>
   \operatorname{E}\left[\left|X\right|^p\right] =
     \sigma^p\,\left(p-1\right)!! \cdot \left.\begin{cases}
       \sqrt{\frac{2}{\pi}} & p=2n+1, \\
       1 & p=2n.
     \end{cases}\right\}
   = \sigma^p \cdot \frac{2^{\frac{p}{2}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi}}.
 </math>

Последняя формула справедлива также для произвольных p > −1.

Бесконечная делимость

Нормальное распределение является бесконечно делимым.

Если случайные величины <math>X_1</math> и <math>X_2</math> независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями <math>\mu_1</math> и <math>\mu_2</math> и дисперсиями <math>\sigma_1^2</math> и <math>\sigma_2^2</math> соответственно, то <math>X_1+X_2</math> также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием <math>\mu_1+\mu_2</math> и дисперсией <math>\sigma_1^2+\sigma_2^2.</math> Отсюда вытекает, что нормальная случайная величина представима как сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин.

Максимальная энтропия

Нормальное распределение является непрерывным распределением с максимальной дифференциальной энтропией при заданной ограниченной дисперсии[3][4].

Моделирование нормальных псевдослучайных величин

Простейшие приближённые методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить несколько независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена приблизительно нормально. Например, если сложить 100 независимых стандартно равномерно распределённых случайных величин, то распределение суммы будет приближённо стандартным нормальным.

Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать преобразование Бокса — Мюллера. Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.

Нормальное распределение в природе и приложениях

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

  • отклонение при стрельбе.
  • погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения).
  • некоторые характеристики живых организмов в популяции.

Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например, биномиальное и пуассоновское. Этим распределением моделируются многие не детерминированные физические процессы.[5]

Многомерное нормальное распределение используется при исследовании многомерных случайных величин (случайных векторов). Одним из многочисленных примеров таких приложений является исследование параметров личности человека в психологии и психиатрии.

Связь с другими распределениями

См. также

Напишите отзыв о статье "Нормальное распределение"

Примечания

  1. ↑ Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 10-е изд., стер.. — М.: «Академия», 2005. — 576 с. — ISBN 5-7695-2311-5.
  2. ↑ Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.
  3. ↑ Cover Thomas M. Elements of Information Theory. — John Wiley and Sons, 2006. — P. 254.
  4. ↑ (2009) «[www.wise.xmu.edu.cn/Master/Download/..%5C..%5CUploadFiles%5Cpaper-masterdownload%5C2009519932327055475115776.pdf Maximum Entropy Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model]». Journal of Econometrics (Elsevier): 219–230. Проверено 2011-06-02.
  5. ↑ Талеб Н. Н. Чёрный лебедь. Под знаком непредсказуемости. = The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. — КоЛибри, 2012. — 525 с. — ISBN 978-5-389-00573-0.
  6. ↑ Королюк, 1985, с. 135.

Ссылки

  • [risktheory.novosyolov.com/distr_tab_normal.htm Таблица значений функции стандартного нормального распределения]
  • [k-tree.ru/tools/statistics/normal.php Онлайн расчёт вероятности нормального распределения]

Литература


<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение

 Для улучшения этой статьи желательно?:
п • о • р       Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | Биномиальное | Геометрическое | Гипергеометрическое | Логарифмическое | Отрицательное биномиальное | Пуассона | Дискретное равномерное Мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Гиперэкспоненциальное | Распределение Гомпертца | Колмогорова | Коши | Лапласа | Логнормальное | Нормальное (Гаусса) | Логистическое | Накагами | Парето | Пирсона | Полукруговое | Непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Трейси — Видома | Фишера | Хи-квадрат | Экспоненциальное | Variance-gamma Многомерное нормальное | Копула
</center>

Отрывок, характеризующий Нормальное распределение

И он, как всегда, бодрыми шагами вошел в гостиную, быстро окинул глазами всех, заметил и перемену платья маленькой княгини, и ленточку Bourienne, и уродливую прическу княжны Марьи, и улыбки Bourienne и Анатоля, и одиночество своей княжны в общем разговоре. «Убралась, как дура! – подумал он, злобно взглянув на дочь. – Стыда нет: а он ее и знать не хочет!»
Он подошел к князю Василью.
– Ну, здравствуй, здравствуй; рад видеть.
– Для мила дружка семь верст не околица, – заговорил князь Василий, как всегда, быстро, самоуверенно и фамильярно. – Вот мой второй, прошу любить и жаловать.
Князь Николай Андреевич оглядел Анатоля. – Молодец, молодец! – сказал он, – ну, поди поцелуй, – и он подставил ему щеку.
Анатоль поцеловал старика и любопытно и совершенно спокойно смотрел на него, ожидая, скоро ли произойдет от него обещанное отцом чудацкое.
Князь Николай Андреевич сел на свое обычное место в угол дивана, подвинул к себе кресло для князя Василья, указал на него и стал расспрашивать о политических делах и новостях. Он слушал как будто со вниманием рассказ князя Василья, но беспрестанно взглядывал на княжну Марью.
– Так уж из Потсдама пишут? – повторил он последние слова князя Василья и вдруг, встав, подошел к дочери.
– Это ты для гостей так убралась, а? – сказал он. – Хороша, очень хороша. Ты при гостях причесана по новому, а я при гостях тебе говорю, что вперед не смей ты переодеваться без моего спроса.
– Это я, mon pиre, [батюшка,] виновата, – краснея, заступилась маленькая княгиня.
– Вам полная воля с, – сказал князь Николай Андреевич, расшаркиваясь перед невесткой, – а ей уродовать себя нечего – и так дурна.
И он опять сел на место, не обращая более внимания на до слез доведенную дочь.
– Напротив, эта прическа очень идет княжне, – сказал князь Василий.
– Ну, батюшка, молодой князь, как его зовут? – сказал князь Николай Андреевич, обращаясь к Анатолию, – поди сюда, поговорим, познакомимся.
«Вот когда начинается потеха», подумал Анатоль и с улыбкой подсел к старому князю.
– Ну, вот что: вы, мой милый, говорят, за границей воспитывались. Не так, как нас с твоим отцом дьячок грамоте учил. Скажите мне, мой милый, вы теперь служите в конной гвардии? – спросил старик, близко и пристально глядя на Анатоля.
– Нет, я перешел в армию, – отвечал Анатоль, едва удерживаясь от смеха.
– А! хорошее дело. Что ж, хотите, мой милый, послужить царю и отечеству? Время военное. Такому молодцу служить надо, служить надо. Что ж, во фронте?
– Нет, князь. Полк наш выступил. А я числюсь. При чем я числюсь, папа? – обратился Анатоль со смехом к отцу.
– Славно служит, славно. При чем я числюсь! Ха ха ха! – засмеялся князь Николай Андреевич.
И Анатоль засмеялся еще громче. Вдруг князь Николай Андреевич нахмурился.
– Ну, ступай, – сказал он Анатолю.
Анатоль с улыбкой подошел опять к дамам.
– Ведь ты их там за границей воспитывал, князь Василий? А? – обратился старый князь к князю Василью.
– Я делал, что мог; и я вам скажу, что тамошнее воспитание гораздо лучше нашего.
– Да, нынче всё другое, всё по новому. Молодец малый! молодец! Ну, пойдем ко мне.
Он взял князя Василья под руку и повел в кабинет.
Князь Василий, оставшись один на один с князем, тотчас же объявил ему о своем желании и надеждах.
– Что ж ты думаешь, – сердито сказал старый князь, – что я ее держу, не могу расстаться? Вообразят себе! – проговорил он сердито. – Мне хоть завтра! Только скажу тебе, что я своего зятя знать хочу лучше. Ты знаешь мои правила: всё открыто! Я завтра при тебе спрошу: хочет она, тогда пусть он поживет. Пускай поживет, я посмотрю. – Князь фыркнул.
– Пускай выходит, мне всё равно, – закричал он тем пронзительным голосом, которым он кричал при прощаньи с сыном.
– Я вам прямо скажу, – сказал князь Василий тоном хитрого человека, убедившегося в ненужности хитрить перед проницательностью собеседника. – Вы ведь насквозь людей видите. Анатоль не гений, но честный, добрый малый, прекрасный сын и родной.
– Ну, ну, хорошо, увидим.
Как оно всегда бывает для одиноких женщин, долго проживших без мужского общества, при появлении Анатоля все три женщины в доме князя Николая Андреевича одинаково почувствовали, что жизнь их была не жизнью до этого времени. Сила мыслить, чувствовать, наблюдать мгновенно удесятерилась во всех их, и как будто до сих пор происходившая во мраке, их жизнь вдруг осветилась новым, полным значения светом.
Княжна Марья вовсе не думала и не помнила о своем лице и прическе. Красивое, открытое лицо человека, который, может быть, будет ее мужем, поглощало всё ее внимание. Он ей казался добр, храбр, решителен, мужествен и великодушен. Она была убеждена в этом. Тысячи мечтаний о будущей семейной жизни беспрестанно возникали в ее воображении. Она отгоняла и старалась скрыть их.
«Но не слишком ли я холодна с ним? – думала княжна Марья. – Я стараюсь сдерживать себя, потому что в глубине души чувствую себя к нему уже слишком близкою; но ведь он не знает всего того, что я о нем думаю, и может вообразить себе, что он мне неприятен».
И княжна Марья старалась и не умела быть любезной с новым гостем. «La pauvre fille! Elle est diablement laide», [Бедная девушка, она дьявольски дурна собою,] думал про нее Анатоль.
M lle Bourienne, взведенная тоже приездом Анатоля на высокую степень возбуждения, думала в другом роде. Конечно, красивая молодая девушка без определенного положения в свете, без родных и друзей и даже родины не думала посвятить свою жизнь услугам князю Николаю Андреевичу, чтению ему книг и дружбе к княжне Марье. M lle Bourienne давно ждала того русского князя, который сразу сумеет оценить ее превосходство над русскими, дурными, дурно одетыми, неловкими княжнами, влюбится в нее и увезет ее; и вот этот русский князь, наконец, приехал. У m lle Bourienne была история, слышанная ею от тетки, доконченная ею самой, которую она любила повторять в своем воображении. Это была история о том, как соблазненной девушке представлялась ее бедная мать, sa pauvre mere, и упрекала ее за то, что она без брака отдалась мужчине. M lle Bourienne часто трогалась до слез, в воображении своем рассказывая ему , соблазнителю, эту историю. Теперь этот он , настоящий русский князь, явился. Он увезет ее, потом явится ma pauvre mere, и он женится на ней. Так складывалась в голове m lle Bourienne вся ее будущая история, в самое то время как она разговаривала с ним о Париже. Не расчеты руководили m lle Bourienne (она даже ни минуты не обдумывала того, что ей делать), но всё это уже давно было готово в ней и теперь только сгруппировалось около появившегося Анатоля, которому она желала и старалась, как можно больше, нравиться.
Маленькая княгиня, как старая полковая лошадь, услыхав звук трубы, бессознательно и забывая свое положение, готовилась к привычному галопу кокетства, без всякой задней мысли или борьбы, а с наивным, легкомысленным весельем.
Несмотря на то, что Анатоль в женском обществе ставил себя обыкновенно в положение человека, которому надоедала беготня за ним женщин, он чувствовал тщеславное удовольствие, видя свое влияние на этих трех женщин. Кроме того он начинал испытывать к хорошенькой и вызывающей Bourienne то страстное, зверское чувство, которое на него находило с чрезвычайной быстротой и побуждало его к самым грубым и смелым поступкам.
Общество после чаю перешло в диванную, и княжну попросили поиграть на клавикордах. Анатоль облокотился перед ней подле m lle Bourienne, и глаза его, смеясь и радуясь, смотрели на княжну Марью. Княжна Марья с мучительным и радостным волнением чувствовала на себе его взгляд. Любимая соната переносила ее в самый задушевно поэтический мир, а чувствуемый на себе взгляд придавал этому миру еще большую поэтичность. Взгляд же Анатоля, хотя и был устремлен на нее, относился не к ней, а к движениям ножки m lle Bourienne, которую он в это время трогал своею ногою под фортепиано. M lle Bourienne смотрела тоже на княжну, и в ее прекрасных глазах было тоже новое для княжны Марьи выражение испуганной радости и надежды.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Нормальное_распределение&oldid=81480237»