Функция распределения
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; Вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.
Содержание
Определение
Пусть дано вероятностное пространство <math>(\R,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X</math> с распределением <math>\mathbb{P}^X</math>. Тогда функцией распределения случайной величины <math>X</math> называется функция <math>F_X\colon\mathbb{R} \to [0,1]</math>, задаваемая формулой:
- <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X \leqslant x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x]\right)</math>.
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины <math>X </math> называют функцию <math>F(x) </math>, значение которой в точке <math>x </math> равно вероятности события <math>\{X \leqslant x\}</math>, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых <math>X(\omega) \leqslant x</math>.
Свойства
- <math>F_X</math> непрерывна справа:
- <math>\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)</math>
- <math>F_X</math> не убывает на всей числовой прямой.
- <math>\lim\limits_{x \to -\infty} F_X(x) = 0</math>.
- <math>\lim\limits_{x \to +\infty} F_X(x) = 1</math>.
- Распределение случайной величины <math>\mathbb{P}^X</math> однозначно определяет функцию распределения.
- Верно и обратное: если функция <math>F(x)</math> удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что <math>F(x)</math> является её функцией распределения.
- По определению непрерывности справа, функция <math>F_X</math> имеет правый предел <math>F_X(x+)</math> в любой точке <math>x\in \mathbb{R}</math>, и он совпадает со значением функции <math>F_X(x)</math> в этой точке.
- В силу неубывания, функция <math>F_X</math> также имеет и левый предел <math>F_X(x-)</math> в любой точке <math>x\in \mathbb{R}</math>, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция <math>F_X</math> либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
Тождества
Из свойств вероятности следует, что <math>\forall x \in \mathbb{R},\; \forall a,b\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>a < b</math>:
- <math>\mathbb{P}(X > x ) = 1 - F_X(x)</math>;
- <math>\mathbb{P}(X < x ) = F_X(x-)</math>;
- <math>\mathbb{P}(X \geqslant x ) = 1 - F_X(x-)</math>;
- <math>\mathbb{P}( X = x ) = F_X(x) - F_X(x-)</math>;
- <math>\mathbb{P}(a < X \leqslant b ) = F_X(b) - F_X(a)</math>;
- <math>\mathbb{P}(a \leqslant X \leqslant b) = F_X(b) - F_X(a-)</math>;
- <math>\mathbb{P}(a < X < b ) = F_X(b-) - F_X(a)</math>;
- <math>\mathbb{P}(a \leqslant X < b ) = F_X(b-) - F_X(a-)</math>;
Дискретные распределения
Если случайная величина <math>X</math> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
- <math>\mathbb{P}(X = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</math>,
то функция распределения <math>F_X</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
- <math>F_X(x) = \sum\limits_{i\colon x_i \leqslant x} p_i</math>.
Эта функция непрерывна во всех точках <math>x\in \mathbb{R}</math>, таких что <math>x \not= x_i,\; \forall i</math>, и имеет разрыв первого рода в точках <math>x = x_i,\; \forall i</math>.
Непрерывные распределения
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется непрерывным, если такова его функция распределения <math>F_X</math>. В этом случае:
- <math>\mathbb{P}(X = x) = 0,\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
и
- <math>F_X(x-0) = F_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>,
а следовательно формулы имеют вид:
- <math>\mathbb{P}(X \in |a,b|) = F_X(b) - F_X(a)</math>,
где <math>|a,b|</math> означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения
Распределение <math>\mathbb{P}^X</math> называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция <math>f_X(x)</math>, такая что:
- <math>F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x\!f_X(t)\, dt</math>.
Функция <math>f_X</math> называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если <math>f_X \in C(\mathbb{R})</math>, то <math>F_X \in \mathcal{D}(\mathbb{R})</math>, и
- <math>\frac{d}{dx}F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R}</math>.
Вариации и обобщения
Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:
- <math>F_X(x) = \mathbb{P}( X < x ) \equiv \mathbb{P}^X\left((-\infty, x)\right)</math>.
Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.
Многомерные функции распределения
Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> фиксированное вероятностное пространство, и <math>X=(X_1,\ldots,X_n)\colon\Omega \to \mathbb{R}^N</math> — случайный вектор. Тогда распределение <math>\mathbb{P}^X</math>, называемое распределением случайного вектора <math>X</math> или совместным распределением случайных величин <math>X_1,\ldots,X_n</math>, является вероятностной мерой на <math>\mathbb{R}^n</math>. Функция этого распределения <math>F_X\colon\mathbb{R}^n \to [0,1]</math> задаётся по определению следующим образом:
- <math>F_X(x_1,\ldots,x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leqslant x_1 ,\ldots, X_n \leqslant x_n) \equiv \mathbb{P}^X \left(\prod\limits_{i=1}^n (-\infty,x_i]\right)</math>,
где <math>\prod</math> в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на <math>\mathbb{R}^n</math> и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для <math>n > 1</math>.
См. также
Напишите отзыв о статье "Функция распределения"
Примечания
Отрывок, характеризующий Функция распределения
– Вы? – сказал он. – Как счастливо!Наташа быстрым, но осторожным движением подвинулась к нему на коленях и, взяв осторожно его руку, нагнулась над ней лицом и стала целовать ее, чуть дотрогиваясь губами.
– Простите! – сказала она шепотом, подняв голову и взглядывая на него. – Простите меня!
– Я вас люблю, – сказал князь Андрей.
– Простите…
– Что простить? – спросил князь Андрей.
– Простите меня за то, что я сделала, – чуть слышным, прерывным шепотом проговорила Наташа и чаще стала, чуть дотрогиваясь губами, целовать руку.
– Я люблю тебя больше, лучше, чем прежде, – сказал князь Андрей, поднимая рукой ее лицо так, чтобы он мог глядеть в ее глаза.
Глаза эти, налитые счастливыми слезами, робко, сострадательно и радостно любовно смотрели на него. Худое и бледное лицо Наташи с распухшими губами было более чем некрасиво, оно было страшно. Но князь Андрей не видел этого лица, он видел сияющие глаза, которые были прекрасны. Сзади их послышался говор.
Петр камердинер, теперь совсем очнувшийся от сна, разбудил доктора. Тимохин, не спавший все время от боли в ноге, давно уже видел все, что делалось, и, старательно закрывая простыней свое неодетое тело, ежился на лавке.
– Это что такое? – сказал доктор, приподнявшись с своего ложа. – Извольте идти, сударыня.
В это же время в дверь стучалась девушка, посланная графиней, хватившейся дочери.
Как сомнамбулка, которую разбудили в середине ее сна, Наташа вышла из комнаты и, вернувшись в свою избу, рыдая упала на свою постель.
С этого дня, во время всего дальнейшего путешествия Ростовых, на всех отдыхах и ночлегах, Наташа не отходила от раненого Болконского, и доктор должен был признаться, что он не ожидал от девицы ни такой твердости, ни такого искусства ходить за раненым.
Как ни страшна казалась для графини мысль, что князь Андрей мог (весьма вероятно, по словам доктора) умереть во время дороги на руках ее дочери, она не могла противиться Наташе. Хотя вследствие теперь установившегося сближения между раненым князем Андреем и Наташей приходило в голову, что в случае выздоровления прежние отношения жениха и невесты будут возобновлены, никто, еще менее Наташа и князь Андрей, не говорил об этом: нерешенный, висящий вопрос жизни или смерти не только над Болконским, но над Россией заслонял все другие предположения.
Пьер проснулся 3 го сентября поздно. Голова его болела, платье, в котором он спал не раздеваясь, тяготило его тело, и на душе было смутное сознание чего то постыдного, совершенного накануне; это постыдное был вчерашний разговор с капитаном Рамбалем.
Часы показывали одиннадцать, но на дворе казалось особенно пасмурно. Пьер встал, протер глаза и, увидав пистолет с вырезным ложем, который Герасим положил опять на письменный стол, Пьер вспомнил то, где он находился и что ему предстояло именно в нынешний день.
«Уж не опоздал ли я? – подумал Пьер. – Нет, вероятно, он сделает свой въезд в Москву не ранее двенадцати». Пьер не позволял себе размышлять о том, что ему предстояло, но торопился поскорее действовать.
Оправив на себе платье, Пьер взял в руки пистолет и сбирался уже идти. Но тут ему в первый раз пришла мысль о том, каким образом, не в руке же, по улице нести ему это оружие. Даже и под широким кафтаном трудно было спрятать большой пистолет. Ни за поясом, ни под мышкой нельзя было поместить его незаметным. Кроме того, пистолет был разряжен, а Пьер не успел зарядить его. «Все равно, кинжал», – сказал себе Пьер, хотя он не раз, обсуживая исполнение своего намерения, решал сам с собою, что главная ошибка студента в 1809 году состояла в том, что он хотел убить Наполеона кинжалом. Но, как будто главная цель Пьера состояла не в том, чтобы исполнить задуманное дело, а в том, чтобы показать самому себе, что не отрекается от своего намерения и делает все для исполнения его, Пьер поспешно взял купленный им у Сухаревой башни вместе с пистолетом тупой зазубренный кинжал в зеленых ножнах и спрятал его под жилет.
Подпоясав кафтан и надвинув шапку, Пьер, стараясь не шуметь и не встретить капитана, прошел по коридору и вышел на улицу.
Тот пожар, на который так равнодушно смотрел он накануне вечером, за ночь значительно увеличился. Москва горела уже с разных сторон. Горели в одно и то же время Каретный ряд, Замоскворечье, Гостиный двор, Поварская, барки на Москве реке и дровяной рынок у Дорогомиловского моста.
Путь Пьера лежал через переулки на Поварскую и оттуда на Арбат, к Николе Явленному, у которого он в воображении своем давно определил место, на котором должно быть совершено его дело. У большей части домов были заперты ворота и ставни. Улицы и переулки были пустынны. В воздухе пахло гарью и дымом. Изредка встречались русские с беспокойно робкими лицами и французы с негородским, лагерным видом, шедшие по серединам улиц. И те и другие с удивлением смотрели на Пьера. Кроме большого роста и толщины, кроме странного мрачно сосредоточенного и страдальческого выражения лица и всей фигуры, русские присматривались к Пьеру, потому что не понимали, к какому сословию мог принадлежать этот человек. Французы же с удивлением провожали его глазами, в особенности потому, что Пьер, противно всем другим русским, испуганно или любопытна смотревшим на французов, не обращал на них никакого внимания. У ворот одного дома три француза, толковавшие что то не понимавшим их русским людям, остановили Пьера, спрашивая, не знает ли он по французски?
