Дробное интегро-дифференцирование

Дробное интегро-дифференцирование в математическом анализе — объединённый оператор дифференцирования/интегрирования, порядок которого может быть произвольным вещественным или комплексным числом. Используется в дробном математическом анализе. Сам по себе оператор служит для обозначения операции взятия производной/интеграла дробного порядка.

Обычно оператор обозначается следующим образом: <math>\mathbb{D}^q_t.</math>

Определения

Три наиболее употребительных формулы:

• Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Самая простая и часто употребляемая формулировка. Эта формула является обобщением до произвольного порядка формулы повторного интегрирования Коши.

<math>{}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)</math>	<math>=\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=</math>
	<math>=\frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n}\int\limits_a^t (t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau.</math>

• Дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова

<math>{}_a\mathbb{D}^q_t\,f(t)</math>	<math>=\frac{d^q\,f(t)}{d(t-a)^q}=</math>
	<math>=\lim_{N\to\infty}\left[\frac{t-a}{N}\right]^{-q}\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^j{q\choose j}f\left(t-j\left[\frac{t-a}{N}\right]\right).</math>

• Интегро-дифференцирование Вейля

Формально похоже на интегро-дифференцирование Римана — Лиувилля, но распространяется на периодические функции с равным нулю интегралом по периоду.

Определения через преобразования

Обозначим непрерывное преобразование Фурье, как <math>\mathcal{F}</math>:

<math>F(\omega)=\mathcal{F}\{f(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt.</math>

В Фурье-пространстве дифференцированию соответствует произведение:

<math>\mathcal{F}\left[\mathbb{D}f(t)\right]=\mathcal{F}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=i\omega\mathcal{F}[f(t)].</math>

Поэтому,

<math>\mathbb{D}f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)\mathcal{F}[f(t)]\right\},</math>

что сводится к

<math>\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{(i\omega)^q\mathcal{F}[f(t)]\right\}.</math>

При преобразовании Лапласа, здесь обозначенном <math>\mathcal{L}</math>, дифференцирование заменяется умножением

<math>\mathcal{L}\left[\frac{df(t)}{dt}\right]=s\mathcal{L}[f(t)].</math>

Обобщая для произвольного порядка дифференцирования и решая уравнение относительно <math>\mathbb{D}^q f(t)</math>, получаем

<math>\mathbb{D}^q\,f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{s^q\mathcal{L}[f(t)]\right\}.</math>

Основные свойства

• Линейность:

<math>\mathbb{D}^q_t\,(f(t)+g(t))=\mathbb{D}^q_t\,f(t)+\mathbb{D}^q_t\,g(t);</math>

<math>\mathbb{D}^q_t\,(af(t))=a\,\mathbb{D}^q_t\,f(t).</math>

• Правило нуля:

<math>\mathbb{D}^0_t\,t=t.</math>

• Дробное интегро-дифференцирование произведения:

<math>\mathbb{D}^q_t\;(f(t)g(t))=\sum_{j=0}^\infty{q\choose j}\mathbb{D}^j_t\,f(t)\,\mathbb{D}^{q-j}_t g(t).</math>

• Полугрупповое свойство:

<math>\mathbb{D}^a_t\mathbb{D}^b_t\,f(t)=\mathbb{D}^{a+b}_t f(t).</math>

в общем случае не выполняется.

Некоторые важные формулы

• <math>\mathbb{D}^q(t^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}t^{n-q};</math>
• <math>\mathbb{D}^q(\sin(t))=\sin\left(t+\frac{q\pi}{2}\right);</math>
• <math>\mathbb{D}^q(e^{at})=a^qe^{at}.</math>

См. также

• Дифференциальный оператор
• Дробная производная
• Дробная динамика

Ссылки

• Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. [ru.dleex.com/read/?4592 Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения]. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
• Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. — Москва: Наука, 2005. — 199 с.
• Нахушев А. М. [www.krelib.com/files/math/Drob_Nahushev.djvu Дробное исчисление и его применение]. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 272 с. — 5-9 221-0 440-3 экз.
• Учайкин В. В. [www.keldysh.ru/Fractional-calculus/ Метод дробных производных]. — Ульяновск: Артишок, 2008. — 512 с. — 400 экз. — ISBN 978-5-904198-01-5.

• Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. — Москва, Ижевск: РХД, 2011. — 568 с.

• A.A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations. (Elsevier, Amsterdam, 2006).
• S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives Theory and Аpplications. (Gordon and Breach, New York, 1993).
• K. Miller, B. Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. (Wiley, New York, 1993).
• F. Mainardi, [www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.] Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• I. Podlubny, Fractional Differential Equations. (Academic Press, San Diego, 1999).
• B. Ross, «A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus» Lect. Notes Math. Vol.457. (1975) 1-36.
• V.E. Tarasov, [www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14002-0 Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.] Springer, 2010. 450 pages.
• V.V. Uchaikin, [www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3 Fractional Derivatives for Physicists and Engineers] Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.

Журналы

• [www.math.bas.bg/~fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014)] and [www.degruyter.com/view/j/fca Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)]
• [fde.ele-math.com/ Fractional Differential Equations (FDE)]
• [naturalspublishing.com/show.asp?JorID=48&pgid=0 Progress in Fractional Differentiation and Applications]
• [www.nonlinearscience.com/journal_2218-3892.php Communications in Fractional Calculus] (ISSN 2218-3892)
• [fcag-egypt.com/Journals/JFCA/ Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)]

Отрывок, характеризующий Дробное интегро-дифференцирование

В одну из минут неловкого молчания, во время которых Анатоль своими выпуклыми глазами спокойно и упорно смотрел на нее, Наташа, чтобы прервать это молчание, спросила его, как ему нравится Москва. Наташа спросила и покраснела. Ей постоянно казалось, что что то неприличное она делает, говоря с ним. Анатоль улыбнулся, как бы ободряя ее.
– Сначала мне мало нравилась, потому что, что делает город приятным, ce sont les jolies femmes, [хорошенькие женщины,] не правда ли? Ну а теперь очень нравится, – сказал он, значительно глядя на нее. – Поедете на карусель, графиня? Поезжайте, – сказал он, и, протянув руку к ее букету и понижая голос, сказал: – Vous serez la plus jolie. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Вы будете самая хорошенькая. Поезжайте, милая графиня, и в залог дайте мне этот цветок.]
Наташа не поняла того, что он сказал, так же как он сам, но она чувствовала, что в непонятных словах его был неприличный умысел. Она не знала, что сказать и отвернулась, как будто не слыхала того, что он сказал. Но только что она отвернулась, она подумала, что он тут сзади так близко от нее.
«Что он теперь? Он сконфужен? Рассержен? Надо поправить это?» спрашивала она сама себя. Она не могла удержаться, чтобы не оглянуться. Она прямо в глаза взглянула ему, и его близость и уверенность, и добродушная ласковость улыбки победили ее. Она улыбнулась точно так же, как и он, глядя прямо в глаза ему. И опять она с ужасом чувствовала, что между ним и ею нет никакой преграды.
Опять поднялась занавесь. Анатоль вышел из ложи, спокойный и веселый. Наташа вернулась к отцу в ложу, совершенно уже подчиненная тому миру, в котором она находилась. Всё, что происходило перед ней, уже казалось ей вполне естественным; но за то все прежние мысли ее о женихе, о княжне Марье, о деревенской жизни ни разу не пришли ей в голову, как будто всё то было давно, давно прошедшее.
В четвертом акте был какой то чорт, который пел, махая рукою до тех пор, пока не выдвинули под ним доски, и он не опустился туда. Наташа только это и видела из четвертого акта: что то волновало и мучило ее, и причиной этого волнения был Курагин, за которым она невольно следила глазами. Когда они выходили из театра, Анатоль подошел к ним, вызвал их карету и подсаживал их. Подсаживая Наташу, он пожал ей руку выше локтя. Наташа, взволнованная и красная, оглянулась на него. Он, блестя своими глазами и нежно улыбаясь, смотрел на нее.

Только приехав домой, Наташа могла ясно обдумать всё то, что с ней было, и вдруг вспомнив князя Андрея, она ужаснулась, и при всех за чаем, за который все сели после театра, громко ахнула и раскрасневшись выбежала из комнаты. – «Боже мой! Я погибла! сказала она себе. Как я могла допустить до этого?» думала она. Долго она сидела закрыв раскрасневшееся лицо руками, стараясь дать себе ясный отчет в том, что было с нею, и не могла ни понять того, что с ней было, ни того, что она чувствовала. Всё казалось ей темно, неясно и страшно. Там, в этой огромной, освещенной зале, где по мокрым доскам прыгал под музыку с голыми ногами Duport в курточке с блестками, и девицы, и старики, и голая с спокойной и гордой улыбкой Элен в восторге кричали браво, – там под тенью этой Элен, там это было всё ясно и просто; но теперь одной, самой с собой, это было непонятно. – «Что это такое? Что такое этот страх, который я испытывала к нему? Что такое эти угрызения совести, которые я испытываю теперь»? думала она.
Одной старой графине Наташа в состоянии была бы ночью в постели рассказать всё, что она думала. Соня, она знала, с своим строгим и цельным взглядом, или ничего бы не поняла, или ужаснулась бы ее признанию. Наташа одна сама с собой старалась разрешить то, что ее мучило.
«Погибла ли я для любви князя Андрея или нет? спрашивала она себя и с успокоительной усмешкой отвечала себе: Что я за дура, что я спрашиваю это? Что ж со мной было? Ничего. Я ничего не сделала, ничем не вызвала этого. Никто не узнает, и я его не увижу больше никогда, говорила она себе. Стало быть ясно, что ничего не случилось, что не в чем раскаиваться, что князь Андрей может любить меня и такою . Но какою такою ? Ах Боже, Боже мой! зачем его нет тут»! Наташа успокоивалась на мгновенье, но потом опять какой то инстинкт говорил ей, что хотя всё это и правда и хотя ничего не было – инстинкт говорил ей, что вся прежняя чистота любви ее к князю Андрею погибла. И она опять в своем воображении повторяла весь свой разговор с Курагиным и представляла себе лицо, жесты и нежную улыбку этого красивого и смелого человека, в то время как он пожал ее руку.


Анатоль Курагин жил в Москве, потому что отец отослал его из Петербурга, где он проживал больше двадцати тысяч в год деньгами и столько же долгами, которые кредиторы требовали с отца.
Отец объявил сыну, что он в последний раз платит половину его долгов; но только с тем, чтобы он ехал в Москву в должность адъютанта главнокомандующего, которую он ему выхлопотал, и постарался бы там наконец сделать хорошую партию. Он указал ему на княжну Марью и Жюли Карагину.