Прямоугольная функция

Прямоугольная функция, единичный импульс, прямоугольный импульс, или нормированное прямоугольное окно — кусочно-постоянная функция следующего вида:

<math>\mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}

0, & |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2}, & |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1, & |t| < \frac{1}{2} \end{cases} </math>

Другое определение функции через функцию Хевисайда, <math>\theta(t)</math>:

<math>\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = \theta \left( t + \frac{\tau}{2} \right) - \theta \left( t - \frac{\tau}{2} \right) </math>

или, иначе:

<math>\mathrm{rect}(t) = \theta \left( t + \frac{1}{2} \right) - \theta \left( t - \frac{1}{2} \right) </math>

Нормированная прямоугольная функция:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\,dt=1</math>

Преобразование Фурье прямоугольной функции:

<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt

=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)</math>,

при нормировке sinc-функции,

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt

= \mathrm{sinc}(f)</math>

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

<math>\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t) \;</math>

На основе бесконечнократных свёрток прямоугольных функций, длины которых убывают в геометрической прогрессии, строятся атомарные функции.

См. также

• Преобразование Фурье
• Треугольная функция
• Атомарная функция

Отрывок, характеризующий Прямоугольная функция

Войска авангарда расположились впереди Вишау, в виду цепи неприятельской, уступавшей нам место при малейшей перестрелке в продолжение всего дня. Авангарду объявлена была благодарность государя, обещаны награды, и людям роздана двойная порция водки. Еще веселее, чем в прошлую ночь, трещали бивачные костры и раздавались солдатские песни.
Денисов в эту ночь праздновал производство свое в майоры, и Ростов, уже довольно выпивший в конце пирушки, предложил тост за здоровье государя, но «не государя императора, как говорят на официальных обедах, – сказал он, – а за здоровье государя, доброго, обворожительного и великого человека; пьем за его здоровье и за верную победу над французами!»
– Коли мы прежде дрались, – сказал он, – и не давали спуску французам, как под Шенграбеном, что же теперь будет, когда он впереди? Мы все умрем, с наслаждением умрем за него. Так, господа? Может быть, я не так говорю, я много выпил; да я так чувствую, и вы тоже. За здоровье Александра первого! Урра!
– Урра! – зазвучали воодушевленные голоса офицеров.
И старый ротмистр Кирстен кричал воодушевленно и не менее искренно, чем двадцатилетний Ростов.
Когда офицеры выпили и разбили свои стаканы, Кирстен налил другие и, в одной рубашке и рейтузах, с стаканом в руке подошел к солдатским кострам и в величественной позе взмахнув кверху рукой, с своими длинными седыми усами и белой грудью, видневшейся из за распахнувшейся рубашки, остановился в свете костра.