Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел <math>b_1,\ b_2,\ b_3,\ \ldots</math> (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число <math>q \quad</math> (знаменатель прогрессии), где <math>b_1\not=0</math>, <math>q\not=0</math>: <math>b_1,\ b_2=b_1q,\ b_3=b_2q,\ \ldots,\ b_n=b_{n-1}q</math>.

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

<math>b_n=b_1q^{n-1} \quad </math>

Если <math>b_1>0</math> и <math>q>1</math>, прогрессия является возрастающей последовательностью, если <math>0<q<1</math>, — убывающей последовательностью, а при <math>q<0</math> — знакочередующейся.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

<math> |b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},</math>

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата.

• Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
• <math>\pi, \pi, \pi, \pi</math> — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

<math>\log( b_n ) = \log( b_1 q^{n - 1} ) = \log( b_1 ) + (n - 1) \cdot \log( q )</math> Формула общего члена арифметической прогрессии: <math>a_n = a_1 + (n-1) \cdot d</math>.
В нашем случае
<math>a_1 = \log( b_1 )</math>,
<math>d = \log( q )</math>.

• <math>b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}</math>, если <math>1 < i < n</math>.

Доказательство

<math> b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1 q^{n - 1} = b_1 q^{n - 1 - i} b_1 q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i} </math>

• Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

  <math>P_{n} = ( b_1 \cdot b_n )^\frac{n}{2} </math>.

Доказательство

<math> P_n = \prod_{i=1}^n b_i = \prod_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1^n \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} </math> Раскроем произведение <math>\prod_{i=1}^n q^{i-1}</math>: <math>\prod_{i=1}^n q^{i-1} = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot ... \cdot q^{i-1} = q^{ 0 + 1 + 2 + ... + (i-1) }</math> Выражение <math>0 + 1 + 2 + ... + (n-1)</math> представляет собой арифметическую прогрессию с <math>a_1=0</math> и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна <math>S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} = n \cdot \frac{0+(n-1)}{2}</math>. Откуда <math>P_n = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } q^{ \frac{ n(0 + (n - 1)) }{2} } = ( b_1 b_1 q^{n-1} )^{ \frac{n}{2} } = ( b_1 b_n )^{ \frac{n}{2} } </math>

• Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

  <math>P_{k,n} = \frac{ P_{n} }{ P_{k-1} }</math>.

Доказательство

<math> P_{k,n} = \prod_{i=k}^n b_i = \frac{ \prod_{i=1}^n b_i }{ \prod_{j=1}^{k-1} b_j } = \frac{P_n}{ P_{k-1} }</math>

• Сумма <math>n</math> первых членов геометрической прогрессии:

  <math>S_n = \begin{cases}

 \sum\limits_{i=1}^n  b_i = \frac{ b_1 - b_1 q^{n} }{1-q}=\frac{ b_1 (1 - q^{n} ) }{ 1-q }, & \mbox{if } q \ne 1 \\
 \\
 n b_1, & \mbox{if } q = 1

\end{cases}</math>

Доказательство

• Через сумму:

  <math>S_n = \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=2}^n b_1 q^{i-2} = b_1 + q \sum_{i=1}^{n-1} b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n </math>

  То есть <math>\sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 + q \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} - b_1 q^n </math> или

  <math>(1 - q) \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1 - b_1 q^n </math>.

  Откуда <math> \sum_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = \frac{ b_1 - b_1 q^n }{1 - q} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}</math>

• Индукцией по <math>n</math>:

  <math>n = 1 : S_1 = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1 \frac{1 - q^1}{1 - q} </math>

  <math>n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1} b_i = \sum_{i=1}^n b_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1 q^n = b_1 (\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n) = b_1(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1

{1 - q}) = b_1 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}</math>

}}

• Если <math>\left| q \right|<1</math>, то <math> b_n \to 0</math> при <math>n \to +\infty</math>, и

  <math>S_n \to {b_1 \over 1-q} </math> при <math>n \to +\infty</math>.

См. также

• Арифметическая прогрессия
• Арифметико-геометрическая прогрессия
• Числа Фибоначчи
• Показательная функция
• Сумма ряда

Отрывок, характеризующий Геометрическая прогрессия

Одевшись в французские шинели и кивера, Петя с Долоховым поехали на ту просеку, с которой Денисов смотрел на лагерь, и, выехав из леса в совершенной темноте, спустились в лощину. Съехав вниз, Долохов велел сопровождавшим его казакам дожидаться тут и поехал крупной рысью по дороге к мосту. Петя, замирая от волнения, ехал с ним рядом.
– Если попадемся, я живым не отдамся, у меня пистолет, – прошептал Петя.
– Не говори по русски, – быстрым шепотом сказал Долохов, и в ту же минуту в темноте послышался оклик: «Qui vive?» [Кто идет?] и звон ружья.
Кровь бросилась в лицо Пети, и он схватился за пистолет.
– Lanciers du sixieme, [Уланы шестого полка.] – проговорил Долохов, не укорачивая и не прибавляя хода лошади. Черная фигура часового стояла на мосту.
– Mot d'ordre? [Отзыв?] – Долохов придержал лошадь и поехал шагом.
– Dites donc, le colonel Gerard est ici? [Скажи, здесь ли полковник Жерар?] – сказал он.
– Mot d'ordre! – не отвечая, сказал часовой, загораживая дорогу.
– Quand un officier fait sa ronde, les sentinelles ne demandent pas le mot d'ordre… – крикнул Долохов, вдруг вспыхнув, наезжая лошадью на часового. – Je vous demande si le colonel est ici? [Когда офицер объезжает цепь, часовые не спрашивают отзыва… Я спрашиваю, тут ли полковник?]
И, не дожидаясь ответа от посторонившегося часового, Долохов шагом поехал в гору.
Заметив черную тень человека, переходящего через дорогу, Долохов остановил этого человека и спросил, где командир и офицеры? Человек этот, с мешком на плече, солдат, остановился, близко подошел к лошади Долохова, дотрогиваясь до нее рукою, и просто и дружелюбно рассказал, что командир и офицеры были выше на горе, с правой стороны, на дворе фермы (так он называл господскую усадьбу).
Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал: