Показательная функция

Показательная функция — математическая функция <math>f(x) = a^x</math>, где <math>a</math> называется основанием степени, а <math>x</math> — показателем степени.

В вещественном случае основание степени <math>a</math> — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — <math>u^v</math>, введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть <math>a</math> — неотрицательное вещественное число, <math>x</math> — рациональное число: <math>x=\frac{m}{n}</math>. Тогда <math>a^x</math> определяется по следующим правилам.

Если <math>x>0</math>, то <math>a^x=\sqrt[n]{a^m}</math>.
Если <math>x=0</math> и <math>a \ne 0</math>, то <math>a^x=1</math>.
- Значение <math>0^0</math> не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
Если <math>x<0</math> и <math>a>0</math>, то <math>a^x=\frac {1} {a^{|x|}}</math>.
- Значение <math>a^x</math> при <math>x<0, a=0</math> не определено.

Для произвольного вещественного показателя <math>x</math> значение <math>a^x</math> можно определить как предел последовательности <math>a^{r_n}</math>, где <math>r_n</math> — рациональные числа, сходящиеся к <math>x</math>. Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

<math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.</math>

Свойства

<math>a^0 = 1</math>
<math>a^{x+y} = a^x \, a^y</math>
<math>(a^x)^y = a^{xy}</math>
<math>(ab)^x = a^x \, b^x</math>

Используя функцию натурального логарифма <math>\ln \, x</math>, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

В частности:

Доказательство

I. Докажем, что <math>{d \over dx} e^x = e^x</math>

<math> \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{x+\Delta x}-e^x} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^x \cdot (e^{\Delta x}-1)} {\Delta x} = e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = e^x \cdot 1 = e^x</math>. Ч. т. д.

Докажем, что <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = 1</math>. Пусть <math>e^{\Delta x} - 1 = u</math>, тогда <math>e^{\Delta x}=u+1 \Rightarrow \Delta x = \ln (u+1)</math>. Если <math>\Delta x \to 0</math>, то <math>u = e^{\Delta x} - 1 \to 0</math>

<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = \lim_{u \to 0} \frac {u} {\ln (u+1)} = \lim_{u \to 0} \frac {1} {\frac {1} {u} \ln (u+1)} = \lim_{u \to 0} \frac {1} {\ln (u + 1)^{\frac {1} {u}

= \frac {\lim_{u \to 0} 1} {\lim_{u \to 0} \ln (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln \lim_{u \to 0} (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln e} = 1.</math>

II. <math>{d \over dx} a^x = {d \over dx} \left (e^{\ln a} \right )^x = {d \over dx} e^{x \cdot \ln a} = e^{x \cdot \ln a} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a</math> Ч. т. д. }}

Разложение в ряд:

<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots</math>.

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

<math>\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0</math>

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

<math>e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots</math>

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для <math>e^{ix}</math> вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: <math>i^i=e^{i~\ln(i)}</math>; поскольку <math>\ln (i) = i \frac{\pi} {2}</math> (главное значение логарифма), окончательно получаем: <math>i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}</math>.

См. также

Напишите отзыв о статье "Показательная функция"

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.

Отрывок, характеризующий Показательная функция

Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей: