Задача о четырёх кубах

Задача о четырёх кубах заключается в отыскании всех целочисленных решений диофантова уравнения:

<math>x^3+y^3+z^3=w^3.</math>

Следует отметить, что в то время как предложено несколько полных решений этого уравнения в рациональных числах, его полное решение в целых числах неизвестно.

Примеры целочисленных решений

Наименьшие натуральные решения:

<math>3^3+4^3+5^3=6^3</math>

<math>1^3+6^3+8^3=9^3</math>

<math>3^3+10^3+18^3=19^3</math>

<math>7^3+14^3+17^3=20^3</math>

<math>4^3+17^3+22^3=25^3</math>

<math>18^3+19^3+21^3=28^3</math>

<math>11^3+15^3+27^3=29^3</math>

<math>2^3+17^3+40^3=41^3</math>

<math>6^3+32^3+33^3=41^3</math>

<math>16^3+23^3+41^3=44^3</math>

Если разрешить отрицательные значения, то имеют место тождества:

<math>-1^3+9^3+10^3=12^3</math>

<math>-2^3+9^3+15^3=16^3</math>

<math>-2^3+15^3+33^3=34^3</math>

<math>-2^3+41^3+86^3=89^3</math>

<math>-3^3+22^3+59^3=60^3</math>

Полные рациональные параметризации

Г. Харди и Райт (1938)

• <math>x=-a(b-3c)(b^2+3c^2)+a^4</math>

  <math>y=\quad a(b+3c)(b^2+3c^2)-a^4</math>

  <math>z=\quad a^3(b-3c)-(b^2+3c^2)^2</math>

  <math>w=\quad a^3(b+3c)-(b^2+3c^2)^2</math>

Н. Элкиес

<math>\begin{cases}

x = d(-(s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t - s^3 + rs^2 - 2r^2s - r^3), \\ y = d(t^3 - (s+r)t^2 + (s^2+2r^2) t + rs^2 - 2r^2s + r^3), \\ z = d(-t^3 + (s+r)t^2 - (s^2+2r^2) t + 2rs^2 - r^2s + 2r^3), \\ w = d((s-2r)t^2 + (r^2-s^2) t + s^3 - rs^2 + 2r^2s - 2r^3) \end{cases}</math>

Г. Александров (рекуррентные формулы)

<math>\begin{cases}

x = x_0(x_0+y_0)a^2+(w_0^2-z_0^2)ab-y_0(w_0-z_0)b^2, \\ y = y_0(x_0+y_0)a^2-(w_0^2-z_0^2)ab-x_0(w_0-z_0)b^2, \\ z = z_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+w_0(w_0-z_0)b^2, \\ w = w_0(x_0+y_0)a^2-(y_0^2-x_0^2)ab+z_0(w_0-z_0)b^2 \end{cases}</math>

Другие серии решений

Линник, 1940 г.

• <math>x=b(a^6-b^6)</math>

  <math>y=a(a^6-b^6)</math>

  <math>z=b(2a^6+3a^3b^3+b^6)</math>

  <math>w=a(a^6+3a^3b^3+2b^6)</math>

• <math>x=a^2(b^6-7)+9ac-3c^2</math>

  <math>y=a^2 \big [b^3(2b^3+9)+7 \big ]-3ac(2b^3+3)+3c^2</math>

  <math>z=a^2 b \big [b^3(b^3+3)+2 \big ]-3abc(b^3+2)+3bc^2</math>

  <math>w=a^2 b \big [b^3(b^3+6)+11 \big ]-3abc(b^3+4)+3bc^2</math>

• <math>x=3a^2(b^6-7)-9ac-c^2</math>

  <math>y=3a^2 \big [b^3(2b^3-9)+7 \big ]-3ac(2b^3-3)+c^2</math>

  <math>z=3a^2 b \big [b^3(b^3-6)+11 \big ]-3abc(b^3-4)+bc^2</math>

  <math>w=3a^2 b \big [b^3(b^3-3)+2 \big ]-3abc(b^3-2)+bc^2</math>

Roger Heath-Brown[euler.free.fr/docs/HLR93.pdf], 1993 г.

• <math>x=9a^4</math>

  <math>y=3a-9a^4</math>

  <math>z=1-9a^3</math>

  <math>w=1</math>

Морделл, 1956 г.

• <math>x=9a^3b+b^4</math>

  <math>y=9a^4</math>

  <math>z=-b^4</math>

  <math>w=9a^4+3ab^3</math>

• <math>x=9a^3b-b^4</math>

  <math>y=9a^4-3ab^3</math>

  <math>z=b^4</math>

  <math>w=9a^4</math>

• <math>x=9a^3b+b^4</math>

  <math>y=9a^3b-b^4</math>

  <math>z=9a^4-3ab^3</math>

  <math>w=9a^4+3ab^3</math>

Решение, полученное методом алгебраической геометрии (en:Fermat cubic)

• <math>x=3a\left (a^2+ab+b^2 \right )-9</math>

  <math>y=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2-9a</math>

  <math>z=3 \left (a^2+ab+b^2 \right )(a+b)+9</math>

  <math>w=\left (a^2+ab+b^2 \right )^2+9(a+b)</math>

Рамануджан

• <math>x=3a^2+5ab-5b^2</math>

  <math>y=4a^2-4ab+6b^2</math>

  <math>z=5a^2-5ab-3b^2</math>

  <math>w=6a^2-4ab+4b^2</math>

• <math>x=a^7-3a^4(1+b)+a(2+6b+3b^2)</math>

  <math>y=2a^6-3a^3(1+2b)+1+3b+3b^2</math>

  <math>z=a^6-1-3b-3b^2</math>

  <math>w=a^7-3a^4b+a(3b^2-1)</math>

• <math>x=-a^2+9ab+b^2</math>

  <math>y=a^2+7ab-9b^2</math>

  <math>z=2a^2-4ab+12b^2</math>

  <math>w=2a^2+10b^2</math>

Неизвестный автор, 1825 г.

• <math>x=a^9-3^6</math>

  <math>y=-a^9+3^5a^3+3^6</math>

  <math>z=3^3a^6+3^5a^3</math>

  <math>w=3^2a^7+3^4a^4+3^6a</math>

Д. Лемер, 1955 г.

• <math>x=3888a^{10}-135a^4</math>

  <math>y=-3888a^{10}-1296a^7-81a^4+3a</math>

  <math>z=3888a^9+648a^6-9a^3+1</math>

  <math>w=1</math>

В. Б. Лабковский

• <math>x=4b^2-11b-21</math>

  <math>y=3b^2+11b-28</math>

  <math>z=5b^2-7b+42</math>

  <math>w=6b^2-7b+35</math>

Эйлер и Бине

• <math>x=1-(a-3b)(a^2+3b^2)</math>

  <math>y=-1+(a+3b)(a^2+3b^2)</math>

  <math>z=-a-3b+(a^2+3b^2)^2</math>

  <math>w=-a+3b+(a^2+3b^2)^2</math>

Харди и Райт

• <math>x=a(a^3-2b^3)</math>

  <math>y=b(2a^3-b^3)</math>

  <math>z=b(a^3+b^3)</math>

  <math>w=a(a^3+b^3)</math>

• <math>x=a(a^3-b^3)</math>

  <math>y=b(a^3-b^3)</math>

  <math>z=b(2a^3+b^3)</math>

  <math>w=a(a^3+2b^3)</math>

Г. Александров, 1972 г.

• <math>x=7a^2+17ab-6b^2</math>

  <math>y=42a^2-17ab-b^2</math>

  <math>z=56a^2-35ab+9b^2</math>

  <math>w=63a^2-35ab+8b^2</math>

• <math>x=7a^2+17ab-17b^2</math>

  <math>y=17a^2-17ab-7b^2</math>

  <math>z=14a^2-20ab+20b^2</math>

  <math>w=20a^2-20ab+14b^2</math>

• <math>x=21a^2+23ab-19b^2</math>

  <math>y=19a^2-23ab-21b^2</math>

  <math>z=18a^2+4ab+28b^2</math>

  <math>w=28a^2+4ab+18b^2</math>

• <math>x=3a^2+41ab-37b^2</math>

  <math>y=37a^2-41ab-3b^2</math>

  <math>z=36a^2-68ab+46b^2</math>

  <math>w=46a^2-68ab+36b^2</math>

• <math>x=-4a^2+22ab-9b^2</math>

  <math>y=36a^2-22ab+b^2</math>

  <math>z=40a^2-40ab+12b^2</math>

  <math>w=48a^2-40ab+10b^2</math>

Коровьев, 2012 г.

• <math>x=-(2a^2-2ab-b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4</math>

  <math>y=\quad(2a^2-2ab-b^2)c^3d+(a^2-ab+b^2)^2 d^4</math>

  <math>z=\quad(a^2+2ab-2b^2)c^3d-(a^2-ab+b^2)^2 d^4</math>

  <math>w=\quad(a^2+2ab-2b^2)cd^3-(a^2-ab+b^2)^2 c^4</math>

где <math>a</math>, <math>b \, , \, c</math> и <math>d</math> — любые целые числа.

См. также

• Гипотеза Эйлера

Литература

• Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
• В. Серпинский. §15. Решение уравнений в рациональных числах // [ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm О решении уравнений в целых числах]. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
• E. Rowland. «[thales.math.uqam.ca/~rowland/papers/Known_families_of_integer_solutions_of_x%5E3+y%5E3+z%5E3=n.pdf Known families of integer solutions to <math>x^3+y^3+z^3=n</math>]».
• [rusnauka.narod.ru/lib/matem/labkovsky Решение Лабковского (Задание №2)]
• Сизый С. В. [www.distedu.ru/mirror/_math/virlib.eunnet.net/books/numbers/text/20.html 20. Сравнения любой степени по простому модулю] // [www.distedu.ru/mirror/_math/virlib.eunnet.net/books/numbers/default.htm Лекции по теории чисел: Учебное пособие для математических специальностей]. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html Diophantine Equation—3rd Powers] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [www.arbuz.uz/s_eiler.html Уравнение Эйлера]

Отрывок, характеризующий Задача о четырёх кубах

Перед комнатою, в которой слышны были клавикорды, из боковой двери выскочила хорошенькая белокурая француженка.
M lle Bourienne казалась обезумевшею от восторга.
– Ah! quel bonheur pour la princesse, – заговорила она. – Enfin! Il faut que je la previenne. [Ах, какая радость для княжны! Наконец! Надо ее предупредить.]
– Non, non, de grace… Vous etes m lle Bourienne, je vous connais deja par l'amitie que vous рorte ma belle soeur, – говорила княгиня, целуясь с француженкой. – Elle ne nous attend рas? [Нет, нет, пожалуйста… Вы мамзель Бурьен; я уже знакома с вами по той дружбе, какую имеет к вам моя невестка. Она не ожидает нас?]
Они подошли к двери диванной, из которой слышался опять и опять повторяемый пассаж. Князь Андрей остановился и поморщился, как будто ожидая чего то неприятного.
Княгиня вошла. Пассаж оборвался на середине; послышался крик, тяжелые ступни княжны Марьи и звуки поцелуев. Когда князь Андрей вошел, княжна и княгиня, только раз на короткое время видевшиеся во время свадьбы князя Андрея, обхватившись руками, крепко прижимались губами к тем местам, на которые попали в первую минуту. M lle Bourienne стояла около них, прижав руки к сердцу и набожно улыбаясь, очевидно столько же готовая заплакать, сколько и засмеяться.
Князь Андрей пожал плечами и поморщился, как морщатся любители музыки, услышав фальшивую ноту. Обе женщины отпустили друг друга; потом опять, как будто боясь опоздать, схватили друг друга за руки, стали целовать и отрывать руки и потом опять стали целовать друг друга в лицо, и совершенно неожиданно для князя Андрея обе заплакали и опять стали целоваться. M lle Bourienne тоже заплакала. Князю Андрею было, очевидно, неловко; но для двух женщин казалось так естественно, что они плакали; казалось, они и не предполагали, чтобы могло иначе совершиться это свидание.
– Ah! chere!…Ah! Marieie!… – вдруг заговорили обе женщины и засмеялись. – J'ai reve сette nuit … – Vous ne nous attendez donc pas?… Ah! Marieie,vous avez maigri… – Et vous avez repris… [Ах, милая!… Ах, Мари!… – А я видела во сне. – Так вы нас не ожидали?… Ах, Мари, вы так похудели. – А вы так пополнели…]
– J'ai tout de suite reconnu madame la princesse, [Я тотчас узнала княгиню,] – вставила m lle Бурьен.
– Et moi qui ne me doutais pas!… – восклицала княжна Марья. – Ah! Andre, je ne vous voyais pas. [А я не подозревала!… Ах, Andre, я и не видела тебя.]
Князь Андрей поцеловался с сестрою рука в руку и сказал ей, что она такая же pleurienicheuse, [плакса,] как всегда была. Княжна Марья повернулась к брату, и сквозь слезы любовный, теплый и кроткий взгляд ее прекрасных в ту минуту, больших лучистых глаз остановился на лице князя Андрея.
Княгиня говорила без умолку. Короткая верхняя губка с усиками то и дело на мгновение слетала вниз, притрогивалась, где нужно было, к румяной нижней губке, и вновь открывалась блестевшая зубами и глазами улыбка. Княгиня рассказывала случай, который был с ними на Спасской горе, грозивший ей опасностию в ее положении, и сейчас же после этого сообщила, что она все платья свои оставила в Петербурге и здесь будет ходить Бог знает в чем, и что Андрей совсем переменился, и что Китти Одынцова вышла замуж за старика, и что есть жених для княжны Марьи pour tout de bon, [вполне серьезный,] но что об этом поговорим после. Княжна Марья все еще молча смотрела на брата, и в прекрасных глазах ее была и любовь и грусть. Видно было, что в ней установился теперь свой ход мысли, независимый от речей невестки. Она в середине ее рассказа о последнем празднике в Петербурге обратилась к брату:
– И ты решительно едешь на войну, Andre? – сказала oia, вздохнув.
Lise вздрогнула тоже.
– Даже завтра, – отвечал брат.
– II m'abandonne ici,et Du sait pourquoi, quand il aur pu avoir de l'avancement… [Он покидает меня здесь, и Бог знает зачем, тогда как он мог бы получить повышение…]
Княжна Марья не дослушала и, продолжая нить своих мыслей, обратилась к невестке, ласковыми глазами указывая на ее живот:
– Наверное? – сказала она.
Лицо княгини изменилось. Она вздохнула.
– Да, наверное, – сказала она. – Ах! Это очень страшно…
Губка Лизы опустилась. Она приблизила свое лицо к лицу золовки и опять неожиданно заплакала.
– Ей надо отдохнуть, – сказал князь Андрей, морщась. – Не правда ли, Лиза? Сведи ее к себе, а я пойду к батюшке. Что он, всё то же?
– То же, то же самое; не знаю, как на твои глаза, – отвечала радостно княжна.
– И те же часы, и по аллеям прогулки? Станок? – спрашивал князь Андрей с чуть заметною улыбкой, показывавшею, что несмотря на всю свою любовь и уважение к отцу, он понимал его слабости.
– Те же часы и станок, еще математика и мои уроки геометрии, – радостно отвечала княжна Марья, как будто ее уроки из геометрии были одним из самых радостных впечатлений ее жизни.
Когда прошли те двадцать минут, которые нужны были для срока вставанья старого князя, Тихон пришел звать молодого князя к отцу. Старик сделал исключение в своем образе жизни в честь приезда сына: он велел впустить его в свою половину во время одевания перед обедом. Князь ходил по старинному, в кафтане и пудре. И в то время как князь Андрей (не с тем брюзгливым выражением лица и манерами, которые он напускал на себя в гостиных, а с тем оживленным лицом, которое у него было, когда он разговаривал с Пьером) входил к отцу, старик сидел в уборной на широком, сафьяном обитом, кресле, в пудроманте, предоставляя свою голову рукам Тихона.