Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры (особенно коммутативной) для решения задач, возникающих в геометрии.

Основной объект изучения алгебраической геометрии — алгебраические многообразия, то есть геометрические объекты, заданные как множества решений систем алгебраических уравнений. Наиболее хорошо изучены алгебраические кривые: прямые, конические сечения, кубики (такие как эллиптическая кривая) и кривые более высоких порядков (примеры таких кривых — лемнискаты). Базовые вопросы теории алгебраических кривых касаются изучения «специальных» точек на кривой, таких как особые точки или точки перегиба. Более продвинутые вопросы касаются топологии кривой и отношений между кривыми, заданными дифференциальными уравнениями.

Современная алгебраическая геометрия имеет множественные взаимосвязи с самыми различными областями математики, такими как комплексный анализ, топология или теория чисел. Изучение конкретных систем уравнений с несколькими переменными привело к пониманию важности исследования общих внутренних свойств множеств решений произвольной системы алгебраических уравнений и, как следствие, к глубоким результатам во многих разделах математики.

В XX веке алгебраическая геометрия разделилась на несколько (взаимосвязанных) дисциплин:

• Основное направление алгебраической геометрии — изучение свойств алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем (в частности, над полем комплексных чисел).
• Изучение алгебраических многообразий над алгебраическим числовым полем (или даже над кольцом) — предмет арифметической (или диофантовой) геометрии, раздела алгебраической теории чисел.
• Изучением вещественных точек комплексного многообразия занимается вещественная алгебраическая геометрия.
• Большая часть теории особенностей относится к изучению особенностей алгебраических многообразий.
• На пересечении алгебраической геометрии и компьютерной алгебры лежит вычислительная алгебраическая геометрия. Её основная задача — создание алгоритмов и программного обеспечения для изучения свойств явно заданных алгебраических многообразий.

Основной поток исследований в алгебраической геометрии XX века шёл при активном использовании понятий общей алгебры, с акцентом на «внутренних» свойствах алгебраических многообразий, не зависящих от конкретного способа вложения многообразия в некоторое пространство. Ключевым её достижением стала теория схем Александра Гротендика, позволившая применить теорию пучков к исследованию алгебраических многообразий методами, схожими с изучением дифференцируемых и комплексных многообразий. Это привело к расширению понятия точки: в классической алгебраической геометрии точку аффинного многообразия можно было определить как максимальный идеал координатного кольца, тогда как все точки соответствующей аффинной схемы являются простыми идеалами данного кольца. Точку такой схемы можно рассматривать и как обычную точку, и как подмногообразие, что позволило унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии. Доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом стало одним из ярчайших примеров мощи такого подхода.

Основные понятия

Аффинные многообразия

Прежде всего нужно зафиксировать основное поле k. В классической алгебраической геометрии, как правило, используется поле комплексных чисел, однако множество результатов остаются верными для любого алгебраически замкнутого поля (в дальнейшем изложении подразумевается алгебраическая замкнутость). Рассмотрим n-мерное аффинное пространство <math>\mathbb A^n</math> (Причина, по которой рассматривают не векторное пространство над k, заключается в том, чтобы подчеркнуть независимость свойств многообразия от структуры векторного пространства. Элементы основного пространства рассматриваются как точки, а не как вектора). Зафиксируем в аффинном пространстве какой-нибудь базис (в частности, выберем начало координат). Тогда каждому семейству S многочленов из кольца k[x₁,…,x_n] можно сопоставить множество V(S) точек, координаты которых удовлетворяют всем многочленам из множества:

<math>V(S) = \{(t_1,\dots,t_n)\,|\,\forall p\in S: p(t_1,\dots,t_n) = 0\}.</math>

На самом деле, свойство функции быть полиномиальной не зависит от выбора базиса, поэтому можно говорить просто о полиномиальных функциях на <math>\mathbb A^n</math> и о множестве общих нулей семейства таких функций. Множества, представимые в виде V(S), называются алгебраическими множествами.

Любому подмножеству аффинного пространства U можно сопоставить множество многочленов, равных нулю во всех точках этого множества. Нетрудно проверить, что это множество является идеалом в кольце многочленов. Возникают два естественных вопроса:

• Для каких U верно U = V(I(U))?
• Для каких множеств многочленов S верно S = I(V(S))?

Очевидно, что для выполнения первого равенства необходимо, чтобы U было алгебраическим множеством; нетрудно также проверить, что это условие достаточно. Поиск ответа на второй вопрос вызывает большие трудности, Давидом Гильбертом была доказана известная теорема Гильберта о нулях, согласно которой I(V(S)) совпадает с радикалом идеала в кольце многочленов, порождённого элементами S; это означает, что существует биективное соответствие между алгебраическими множествами и радикальными идеалами кольца многочленов. Теорема Гильберта о базисе утверждает, что все идеалы в кольце многочленов являются конечнопорождёнными, то есть любое алгебраическое множество можно задать конечным числом уравнений.

Алгебраическое множество называется неприводимым, если его нельзя представить в виде объединения двух меньших алгебраических множеств. Аффинное алгебраическое многообразие — это неприводимое алгебраическое множество; на алгебраическом языке аффинным многообразиям соответствуют простые идеалы кольца многочленов. Любое алгебраическое множество можно представить в виде объединения конечного числа алгебраических многообразий (никакое из которых не является подмножеством другого), и притом единственным образом,.

Некоторые авторы не проводят терминологического различия между «алгебраическими множествами» и «алгебраическими многообразиями» и вместо этого используют термин «неприводимое алгебраическое множество» (или «неприводимое многообразие»).

Регулярные функции

Регулярная функция на алгебраическом множестве <math>V\subset \mathbb A^n</math> — это функция, являющаяся ограничением на V некоторой полиномиальной функции. Регулярные функции на V образуют кольцо k[V], называемое координатным кольцом этого множества. Это кольцо изоморфно факторкольцу кольца многочленов по I(V) (действитльно, если f и g имеют одно и то же ограничение на V, то f − g принадлежит I(V).

Естественным образом определяются регулярные отображения между алгебраическими множествами. А именно, регулярное отображение <math>f:X\to\mathbb A^n</math> имеет вид <math>(f_1,f_2,\ldots f_n)</math>, где <math>f_i</math> — регулярные функции. Регулярное отображение в алгебраическое множество <math>Y\in \mathbb A_n</math> — это регулярная функция в <math>f:X\to\mathbb A^n</math>, такая что <math>f(X)\subseteq Y</math>.

Если задано регулярное отображение <math>f:X\to Y</math>, любой регулярной функции <math>\varphi:Y\to\mathbb A^1</math> можно сопоставить регулярную функцию на <math>f^*\varphi:X\to \mathbb A^1</math> по правилу <math>f^*\varphi=\varphi\circ f</math>. Отображение <math>\varphi \mapsto \varphi\circ f</math> является гомоморфизмом колец <math>f^*:k[Y]\to k[X]</math>, так же и каждый гомоморфизм координатных колец определяет регулярное отображение алгебраических множеств (в обратном направлении). Из этих соответствий можно вывести, что категория алгебраических множеств (морфизмы которой — регулярные функции) двойственна категории конечнопорождённых k-алгебр без нильпотентов. Обнаружение этой эквивалентности стало начальной точкой теории схем.

Рациональные функции

В отличие от предыдущего пункта, здесь будут рассматривать только (неприводимые) алгебраические многообразия. С другой стороны, эти определения можно распространить на проективные многообразия.

Если V — аффинное многообразие, его координатное кольцо целостно, и следовательно, имеет поле частных. Это поле обозначается k(V) и называется полем рациональных функций на V. Область определения рациональной функции не обязательно равна всему V, а равна дополнению множества, на котором её знаменатель равен нулю. Аналогично случаю регулярных функций определяется рациональное отображение между многообразиями, аналогично, рациональные отображения взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам полей рациональных функций.

Два аффинных многообразия называются бирационально эквивалентными, если существуют два рациональных отображения между ними, которые взаимно обратны на областях определения (эквивалентно, поля рациональных функций этих многообразий изоморфны).

Аффинное многообразие называется рациональным многообразием, если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Другими словами, его можно рационально параметризовать. Например, единичная окружность является рациональной кривой, так как существуют функции

<math>x=\frac{2\,t}{1+t^2}</math>

<math>y=\frac{1-t^2}{1+t^2}\,,</math>

задающие рациональное отображение из прямой в окружность, можно проверить, что и обратное отображение рационально (см. также Стереографическая проекция).

Схемы

В конце 1950-х годов Александр Гротендик дал определение схемы, обобщающее понятие алгебраического многообразия. Аффинная схема — это спектр некоторого кольца (в классической алгебраической геометрии — кольца многочленов) вместе с пучком колец на нём (каждому открытому множеству сопоставляются рациональные функции, определённые в каждой точке множества). Аффинные схемы образуют категорию, которая двойственна категории коммутативных колец, это расширяет двойственность алгебраических множеств и алгебр без нильпотентов. Общие схемы являются результатом склейки нескольких аффинных схем (как топологических пространств с топологией Зарисского).

Вещественная алгебраическая геометрия

Вещественная алгебраическая геометрия — изучение вещественных алгебраических множеств, то есть вещественных решений алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами и отображений между ними.

Полуалгебраическая геометрия — изучение полуалгебраических множеств, то есть множеств вещественных решений алгебраических уравнений и неравенств с вещественными коэффициентами, а также отображений между ними.

Вычислительная алгебраическая геометрия

Базис Грёбнера

Базис Грёбнера — это система элементов, порождающих данный идеал в кольце многочленов над полем (не обязательно алгебраически замкнутым); вычисление базиса Грёбнера позволяет определить некоторые свойства алгебраического множества V, заданного этим идеалом в алгебраически замкнутом расширении (например, система уравнений с действительными коэффициентами естественным образом определяет множество комплексных чисел, удовлетворяющих всем уравнениям).

• V пусто (в алгебраически замкнутом расширении исходного поля) тогда и только тогда, когда базис Грёбнера состоит из одной единицы.
• Ряды Гильберта позволяют вычислить размерность многообразия V.
• Если размерность равна нулю, существует способ вычислить число (всегда конечное) точек многообразия.
• Для данного рационального отображения V в другое алгебраическое многообразие базис Грёбнера позволяет вычислить замыкание образа V (в топологии Зарисского) и критические точки отображения.

Информации о базисе Грёбнера недостаточно для вычисления разложения данного множества на неприводимые компоненты, однако существуют алгоритмы решения этой задачи, использующие в том числе и его.

В некоторых случаях вычисление базиса Грёбнера является довольно сложным: в худшем случае он может содержать многочлены, степень которых зависит как двойная экспонента (выражение вида <math>a^{b^x}</math>) от числа переменных в кольце многочленов; число элементов базиса может расти с той же скоростью. Впрочем, это верхняя граница сложности, и во многих случаях с помощью этих алгоритмов можно работать с кольцами многочленов от нескольких десятков переменных.

История

Предыстория: до XIX века

Признаки зарождения алгебраической геометрии можно найти ещё в работах греков V века до н. э. Например, проблема удвоения куба сводится к построению куба, объём которого равен объёму «ящика» <math>a\times a\times b</math> для данных a и b, Менехм интерпретировал эту задачу геометрически как построение пересечения двух коник: ay = x² и xy = ab. В более поздних работах Архимеда и Аполлония конические сечения изучаются более систематически, в том числе с использованием координат. Арабские математики знали способы решения определённых кубических уравнений и могли проинтерпретировать полученные результаты геометрически. Персидский математик Омар Хайям (XI век) открыл способ решения общего кубического уравнения при помощи пересечения окружности и параболы.

Французские математики Франсуа Виет и, позднее, Рене Декарт и Пьер Ферма кардинально изменили способы геометрических построений, создав аналитическую геометрию. Их основные цели состояли в изучении алгебраических кривых, таких как кривые, заданные диофантовыми уравнениями (в случае Ферма), коники и кубики (в случае Декарта). Примерно в тот же период, Паскаль и Дезарг подошли к проблеме с другой стороны, развив проективную геометрию. Паскаль и Дезарг также исследовали свойства кривых, но только с геометрической точки зрения, используя построения циркулем и линейкой. В конечном счёте, аналитическая геометрия одержала верх над этим подходом, так как снабжала математиков XVIII века конкретными вычислительными инструментами, позволяющие решать физические задачи с использованием нового анализа. В итоге, к концу XVIII века использование алгебраических методов в геометрии сводилось к использованию исчисления бесконечно малых (в частности, его активно использовали Эйлер и Лагранж).

XIX век

В XIX веке развитие неевклидовой геометрии и теории абелевых интегралов способствовало возвращению алгебраических идей в геометрию. Кэли впервые исследовал однородные многочлены на проективном пространстве, в частности, квадратичные формы. Позднее Феликс Клейн исследовал проективную геометрию (как и другие разделы геометрии) с точки зрения, что геометрия пространства задаёт группой его преобразований. К концу XIX века геометры изучали не только проективные линейные преобразования, но и бирациональные преобразования более высокой степени.

Развитие теории абелевых интегралов привело Бернхарда Римана к созданию теории римановых многообразий. Используя интегралы первого рода, К. Шварц доказал, что кривая, допускающая непрерывную группу бирациональных преобразований в себя, бирационально эквивалентна прямой или эллиптической кривой. Алгебраическая геометрия второй половины XIX века представлена, главным образом, итальянской школой от Кремоны до Энрикеса.

В этот период началась алгебраизация геометрии с использванием коммутативной алгебры: в частности, Давид Гильберт доказал свои теоремы о базисе и Nullstellensatz.

XX век

Идеи построения алгебраической геометрии на основе коммутативной алгебры, интенсивно развивавшейся в 30-х и 40-х годах XX века, восходят к О. Зарисскому и А. Вейлю. Одной из их целей было доказательство результатов итальянской школы: итальянские геометры того периода использовали в доказательствах понятие «общей точки», без какого-либо строгого её определения.

В 1950-х и 60-х годах Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик полностью переработали основания алгебраической геометрии с помощью техник теории пучков, теории схем и гомологической алгебры. В 1970-х развитие несколько стабилизировалось, были найдены приложения к теории чисел и к более классическим вопросам алгебраической геометрии: изучению особенностей и модулей.

Важный класс алгебраических многообразий, которые трудно описать при помощи одних только определяющих уравнений — абелевы многообразия. Основной их пример — эллиптические кривые, имеющие очень обширную теорию. Они стали инструментом доказательства Великой теоремы Ферма и используются в эллиптической криптографии.

Приложения

Алгебраическая геометрия находит приложения в статистике, теории управления, робототехнике, теории кодов, исправляющих ошибки и моделировании. Известны также приложения в теории струн, теории солитонов, теории игр и теории паросочетаний.

См. также

• Аналитическая геометрия
• Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами
• Дифференциальная геометрия
• Коммутативная алгебра
• Проективное пространство

Литература

• Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия. Комплексные проективные многообразия / пер. с англ. Ю. И. Манина. — Мир. — М., 1979.
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах / пер. с англ. С. М. Львовского. — М.: МЦНМО, 2007.
• Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс / пер. с англ. под ред. Ф. Л. Зака. — М.: МЦНМО, 2005.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. (в 3 томах) — М.: ИЛ, 1954—1955.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — 3-е, испр. и доп.. — М.: МЦНМО, 2007.
• Alexander Grothendieck. [www.numdam.org/numdam-bin/recherche?au=Grothendieck&format=short Éléments de géométrie algébrique], Publications mathématiques de l’IHÉS, 1960.
• Alexander Grothendieck. [modular.fas.harvard.edu/sga/ Séminaire de Géometrie Algébrique]

Ссылки

• Ravi Vakil. [math.stanford.edu/~vakil/216blog/ The Rising Sea: Foundations Of Algebraic Geometry Notes] — записки курса алгебраической геометрии в Стэнфордском университете.

Отрывок, характеризующий Алгебраическая геометрия

– Был бы я царь, никогда бы не воевал, – сказал Несвицкий, отворачиваясь.
Французские орудия опять поспешно заряжали. Пехота в синих капотах бегом двинулась к мосту. Опять, но в разных промежутках, показались дымки, и защелкала и затрещала картечь по мосту. Но в этот раз Несвицкий не мог видеть того, что делалось на мосту. С моста поднялся густой дым. Гусары успели зажечь мост, и французские батареи стреляли по ним уже не для того, чтобы помешать, а для того, что орудия были наведены и было по ком стрелять.
– Французы успели сделать три картечные выстрела, прежде чем гусары вернулись к коноводам. Два залпа были сделаны неверно, и картечь всю перенесло, но зато последний выстрел попал в середину кучки гусар и повалил троих.
Ростов, озабоченный своими отношениями к Богданычу, остановился на мосту, не зная, что ему делать. Рубить (как он всегда воображал себе сражение) было некого, помогать в зажжении моста он тоже не мог, потому что не взял с собою, как другие солдаты, жгута соломы. Он стоял и оглядывался, как вдруг затрещало по мосту будто рассыпанные орехи, и один из гусар, ближе всех бывший от него, со стоном упал на перилы. Ростов побежал к нему вместе с другими. Опять закричал кто то: «Носилки!». Гусара подхватили четыре человека и стали поднимать.
– Оооо!… Бросьте, ради Христа, – закричал раненый; но его всё таки подняли и положили.
Николай Ростов отвернулся и, как будто отыскивая чего то, стал смотреть на даль, на воду Дуная, на небо, на солнце. Как хорошо показалось небо, как голубо, спокойно и глубоко! Как ярко и торжественно опускающееся солнце! Как ласково глянцовито блестела вода в далеком Дунае! И еще лучше были далекие, голубеющие за Дунаем горы, монастырь, таинственные ущелья, залитые до макуш туманом сосновые леса… там тихо, счастливо… «Ничего, ничего бы я не желал, ничего бы не желал, ежели бы я только был там, – думал Ростов. – Во мне одном и в этом солнце так много счастия, а тут… стоны, страдания, страх и эта неясность, эта поспешность… Вот опять кричат что то, и опять все побежали куда то назад, и я бегу с ними, и вот она, вот она, смерть, надо мной, вокруг меня… Мгновенье – и я никогда уже не увижу этого солнца, этой воды, этого ущелья»…
В эту минуту солнце стало скрываться за тучами; впереди Ростова показались другие носилки. И страх смерти и носилок, и любовь к солнцу и жизни – всё слилось в одно болезненно тревожное впечатление.
«Господи Боже! Тот, Кто там в этом небе, спаси, прости и защити меня!» прошептал про себя Ростов.
Гусары подбежали к коноводам, голоса стали громче и спокойнее, носилки скрылись из глаз.
– Что, бг'ат, понюхал пог'оху?… – прокричал ему над ухом голос Васьки Денисова.
«Всё кончилось; но я трус, да, я трус», подумал Ростов и, тяжело вздыхая, взял из рук коновода своего отставившего ногу Грачика и стал садиться.
– Что это было, картечь? – спросил он у Денисова.
– Да еще какая! – прокричал Денисов. – Молодцами г'аботали! А г'абота сквег'ная! Атака – любезное дело, г'убай в песи, а тут, чог'т знает что, бьют как в мишень.
И Денисов отъехал к остановившейся недалеко от Ростова группе: полкового командира, Несвицкого, Жеркова и свитского офицера.
«Однако, кажется, никто не заметил», думал про себя Ростов. И действительно, никто ничего не заметил, потому что каждому было знакомо то чувство, которое испытал в первый раз необстреленный юнкер.
– Вот вам реляция и будет, – сказал Жерков, – глядишь, и меня в подпоручики произведут.
– Доложите князу, что я мост зажигал, – сказал полковник торжественно и весело.
– А коли про потерю спросят?
– Пустячок! – пробасил полковник, – два гусара ранено, и один наповал , – сказал он с видимою радостью, не в силах удержаться от счастливой улыбки, звучно отрубая красивое слово наповал .


Преследуемая стотысячною французскою армией под начальством Бонапарта, встречаемая враждебно расположенными жителями, не доверяя более своим союзникам, испытывая недостаток продовольствия и принужденная действовать вне всех предвидимых условий войны, русская тридцатипятитысячная армия, под начальством Кутузова, поспешно отступала вниз по Дунаю, останавливаясь там, где она бывала настигнута неприятелем, и отбиваясь ариергардными делами, лишь насколько это было нужно для того, чтоб отступать, не теряя тяжестей. Были дела при Ламбахе, Амштетене и Мельке; но, несмотря на храбрость и стойкость, признаваемую самим неприятелем, с которою дрались русские, последствием этих дел было только еще быстрейшее отступление. Австрийские войска, избежавшие плена под Ульмом и присоединившиеся к Кутузову у Браунау, отделились теперь от русской армии, и Кутузов был предоставлен только своим слабым, истощенным силам. Защищать более Вену нельзя было и думать. Вместо наступательной, глубоко обдуманной, по законам новой науки – стратегии, войны, план которой был передан Кутузову в его бытность в Вене австрийским гофкригсратом, единственная, почти недостижимая цель, представлявшаяся теперь Кутузову, состояла в том, чтобы, не погубив армии подобно Маку под Ульмом, соединиться с войсками, шедшими из России.
28 го октября Кутузов с армией перешел на левый берег Дуная и в первый раз остановился, положив Дунай между собой и главными силами французов. 30 го он атаковал находившуюся на левом берегу Дуная дивизию Мортье и разбил ее. В этом деле в первый раз взяты трофеи: знамя, орудия и два неприятельские генерала. В первый раз после двухнедельного отступления русские войска остановились и после борьбы не только удержали поле сражения, но прогнали французов. Несмотря на то, что войска были раздеты, изнурены, на одну треть ослаблены отсталыми, ранеными, убитыми и больными; несмотря на то, что на той стороне Дуная были оставлены больные и раненые с письмом Кутузова, поручавшим их человеколюбию неприятеля; несмотря на то, что большие госпитали и дома в Кремсе, обращенные в лазареты, не могли уже вмещать в себе всех больных и раненых, – несмотря на всё это, остановка при Кремсе и победа над Мортье значительно подняли дух войска. Во всей армии и в главной квартире ходили самые радостные, хотя и несправедливые слухи о мнимом приближении колонн из России, о какой то победе, одержанной австрийцами, и об отступлении испуганного Бонапарта.
Князь Андрей находился во время сражения при убитом в этом деле австрийском генерале Шмите. Под ним была ранена лошадь, и сам он был слегка оцарапан в руку пулей. В знак особой милости главнокомандующего он был послан с известием об этой победе к австрийскому двору, находившемуся уже не в Вене, которой угрожали французские войска, а в Брюнне. В ночь сражения, взволнованный, но не усталый(несмотря на свое несильное на вид сложение, князь Андрей мог переносить физическую усталость гораздо лучше самых сильных людей), верхом приехав с донесением от Дохтурова в Кремс к Кутузову, князь Андрей был в ту же ночь отправлен курьером в Брюнн. Отправление курьером, кроме наград, означало важный шаг к повышению.
Ночь была темная, звездная; дорога чернелась между белевшим снегом, выпавшим накануне, в день сражения. То перебирая впечатления прошедшего сражения, то радостно воображая впечатление, которое он произведет известием о победе, вспоминая проводы главнокомандующего и товарищей, князь Андрей скакал в почтовой бричке, испытывая чувство человека, долго ждавшего и, наконец, достигшего начала желаемого счастия. Как скоро он закрывал глаза, в ушах его раздавалась пальба ружей и орудий, которая сливалась со стуком колес и впечатлением победы. То ему начинало представляться, что русские бегут, что он сам убит; но он поспешно просыпался, со счастием как будто вновь узнавал, что ничего этого не было, и что, напротив, французы бежали. Он снова вспоминал все подробности победы, свое спокойное мужество во время сражения и, успокоившись, задремывал… После темной звездной ночи наступило яркое, веселое утро. Снег таял на солнце, лошади быстро скакали, и безразлично вправе и влеве проходили новые разнообразные леса, поля, деревни.
На одной из станций он обогнал обоз русских раненых. Русский офицер, ведший транспорт, развалясь на передней телеге, что то кричал, ругая грубыми словами солдата. В длинных немецких форшпанах тряслось по каменистой дороге по шести и более бледных, перевязанных и грязных раненых. Некоторые из них говорили (он слышал русский говор), другие ели хлеб, самые тяжелые молча, с кротким и болезненным детским участием, смотрели на скачущего мимо их курьера.
Князь Андрей велел остановиться и спросил у солдата, в каком деле ранены. «Позавчера на Дунаю», отвечал солдат. Князь Андрей достал кошелек и дал солдату три золотых.
– На всех, – прибавил он, обращаясь к подошедшему офицеру. – Поправляйтесь, ребята, – обратился он к солдатам, – еще дела много.
– Что, г. адъютант, какие новости? – спросил офицер, видимо желая разговориться.
– Хорошие! Вперед, – крикнул он ямщику и поскакал далее.
Уже было совсем темно, когда князь Андрей въехал в Брюнн и увидал себя окруженным высокими домами, огнями лавок, окон домов и фонарей, шумящими по мостовой красивыми экипажами и всею тою атмосферой большого оживленного города, которая всегда так привлекательна для военного человека после лагеря. Князь Андрей, несмотря на быструю езду и бессонную ночь, подъезжая ко дворцу, чувствовал себя еще более оживленным, чем накануне. Только глаза блестели лихорадочным блеском, и мысли изменялись с чрезвычайною быстротой и ясностью. Живо представились ему опять все подробности сражения уже не смутно, но определенно, в сжатом изложении, которое он в воображении делал императору Францу. Живо представились ему случайные вопросы, которые могли быть ему сделаны,и те ответы,которые он сделает на них.Он полагал,что его сейчас же представят императору. Но у большого подъезда дворца к нему выбежал чиновник и, узнав в нем курьера, проводил его на другой подъезд.
– Из коридора направо; там, Euer Hochgeboren, [Ваше высокородие,] найдете дежурного флигель адъютанта, – сказал ему чиновник. – Он проводит к военному министру.
Дежурный флигель адъютант, встретивший князя Андрея, попросил его подождать и пошел к военному министру. Через пять минут флигель адъютант вернулся и, особенно учтиво наклонясь и пропуская князя Андрея вперед себя, провел его через коридор в кабинет, где занимался военный министр. Флигель адъютант своею изысканною учтивостью, казалось, хотел оградить себя от попыток фамильярности русского адъютанта. Радостное чувство князя Андрея значительно ослабело, когда он подходил к двери кабинета военного министра. Он почувствовал себя оскорбленным, и чувство оскорбления перешло в то же мгновенье незаметно для него самого в чувство презрения, ни на чем не основанного. Находчивый же ум в то же мгновение подсказал ему ту точку зрения, с которой он имел право презирать и адъютанта и военного министра. «Им, должно быть, очень легко покажется одерживать победы, не нюхая пороха!» подумал он. Глаза его презрительно прищурились; он особенно медленно вошел в кабинет военного министра. Чувство это еще более усилилось, когда он увидал военного министра, сидевшего над большим столом и первые две минуты не обращавшего внимания на вошедшего. Военный министр опустил свою лысую, с седыми висками, голову между двух восковых свечей и читал, отмечая карандашом, бумаги. Он дочитывал, не поднимая головы, в то время как отворилась дверь и послышались шаги.
– Возьмите это и передайте, – сказал военный министр своему адъютанту, подавая бумаги и не обращая еще внимания на курьера.
Князь Андрей почувствовал, что либо из всех дел, занимавших военного министра, действия кутузовской армии менее всего могли его интересовать, либо нужно было это дать почувствовать русскому курьеру. «Но мне это совершенно всё равно», подумал он. Военный министр сдвинул остальные бумаги, сровнял их края с краями и поднял голову. У него была умная и характерная голова. Но в то же мгновение, как он обратился к князю Андрею, умное и твердое выражение лица военного министра, видимо, привычно и сознательно изменилось: на лице его остановилась глупая, притворная, не скрывающая своего притворства, улыбка человека, принимающего одного за другим много просителей.
– От генерала фельдмаршала Кутузова? – спросил он. – Надеюсь, хорошие вести? Было столкновение с Мортье? Победа? Пора!
Он взял депешу, которая была на его имя, и стал читать ее с грустным выражением.
– Ах, Боже мой! Боже мой! Шмит! – сказал он по немецки. – Какое несчастие, какое несчастие!
Пробежав депешу, он положил ее на стол и взглянул на князя Андрея, видимо, что то соображая.
– Ах, какое несчастие! Дело, вы говорите, решительное? Мортье не взят, однако. (Он подумал.) Очень рад, что вы привезли хорошие вести, хотя смерть Шмита есть дорогая плата за победу. Его величество, верно, пожелает вас видеть, но не нынче. Благодарю вас, отдохните. Завтра будьте на выходе после парада. Впрочем, я вам дам знать.
Исчезнувшая во время разговора глупая улыбка опять явилась на лице военного министра.
– До свидания, очень благодарю вас. Государь император, вероятно, пожелает вас видеть, – повторил он и наклонил голову.
Когда князь Андрей вышел из дворца, он почувствовал, что весь интерес и счастие, доставленные ему победой, оставлены им теперь и переданы в равнодушные руки военного министра и учтивого адъютанта. Весь склад мыслей его мгновенно изменился: сражение представилось ему давнишним, далеким воспоминанием.


Князь Андрей остановился в Брюнне у своего знакомого, русского дипломата .Билибина.
– А, милый князь, нет приятнее гостя, – сказал Билибин, выходя навстречу князю Андрею. – Франц, в мою спальню вещи князя! – обратился он к слуге, провожавшему Болконского. – Что, вестником победы? Прекрасно. А я сижу больной, как видите.
Князь Андрей, умывшись и одевшись, вышел в роскошный кабинет дипломата и сел за приготовленный обед. Билибин покойно уселся у камина.
Князь Андрей не только после своего путешествия, но и после всего похода, во время которого он был лишен всех удобств чистоты и изящества жизни, испытывал приятное чувство отдыха среди тех роскошных условий жизни, к которым он привык с детства. Кроме того ему было приятно после австрийского приема поговорить хоть не по русски (они говорили по французски), но с русским человеком, который, он предполагал, разделял общее русское отвращение (теперь особенно живо испытываемое) к австрийцам.
Билибин был человек лет тридцати пяти, холостой, одного общества с князем Андреем. Они были знакомы еще в Петербурге, но еще ближе познакомились в последний приезд князя Андрея в Вену вместе с Кутузовым. Как князь Андрей был молодой человек, обещающий пойти далеко на военном поприще, так, и еще более, обещал Билибин на дипломатическом. Он был еще молодой человек, но уже немолодой дипломат, так как он начал служить с шестнадцати лет, был в Париже, в Копенгагене и теперь в Вене занимал довольно значительное место. И канцлер и наш посланник в Вене знали его и дорожили им. Он был не из того большого количества дипломатов, которые обязаны иметь только отрицательные достоинства, не делать известных вещей и говорить по французски для того, чтобы быть очень хорошими дипломатами; он был один из тех дипломатов, которые любят и умеют работать, и, несмотря на свою лень, он иногда проводил ночи за письменным столом. Он работал одинаково хорошо, в чем бы ни состояла сущность работы. Его интересовал не вопрос «зачем?», а вопрос «как?». В чем состояло дипломатическое дело, ему было всё равно; но составить искусно, метко и изящно циркуляр, меморандум или донесение – в этом он находил большое удовольствие. Заслуги Билибина ценились, кроме письменных работ, еще и по его искусству обращаться и говорить в высших сферах.
Билибин любил разговор так же, как он любил работу, только тогда, когда разговор мог быть изящно остроумен. В обществе он постоянно выжидал случая сказать что нибудь замечательное и вступал в разговор не иначе, как при этих условиях. Разговор Билибина постоянно пересыпался оригинально остроумными, законченными фразами, имеющими общий интерес.
Эти фразы изготовлялись во внутренней лаборатории Билибина, как будто нарочно, портативного свойства, для того, чтобы ничтожные светские люди удобно могли запоминать их и переносить из гостиных в гостиные. И действительно, les mots de Bilibine se colportaient dans les salons de Vienne, [Отзывы Билибина расходились по венским гостиным] и часто имели влияние на так называемые важные дела.
Худое, истощенное, желтоватое лицо его было всё покрыто крупными морщинами, которые всегда казались так чистоплотно и старательно промыты, как кончики пальцев после бани. Движения этих морщин составляли главную игру его физиономии. То у него морщился лоб широкими складками, брови поднимались кверху, то брови спускались книзу, и у щек образовывались крупные морщины. Глубоко поставленные, небольшие глаза всегда смотрели прямо и весело.
– Ну, теперь расскажите нам ваши подвиги, – сказал он.
Болконский самым скромным образом, ни разу не упоминая о себе, рассказал дело и прием военного министра.
– Ils m'ont recu avec ma nouvelle, comme un chien dans un jeu de quilles, [Они приняли меня с этою вестью, как принимают собаку, когда она мешает игре в кегли,] – заключил он.
Билибин усмехнулся и распустил складки кожи.
– Cependant, mon cher, – сказал он, рассматривая издалека свой ноготь и подбирая кожу над левым глазом, – malgre la haute estime que je professe pour le православное российское воинство, j'avoue que votre victoire n'est pas des plus victorieuses. [Однако, мой милый, при всем моем уважении к православному российскому воинству, я полагаю, что победа ваша не из самых блестящих.]
Он продолжал всё так же на французском языке, произнося по русски только те слова, которые он презрительно хотел подчеркнуть.
– Как же? Вы со всею массой своею обрушились на несчастного Мортье при одной дивизии, и этот Мортье уходит у вас между рук? Где же победа?
– Однако, серьезно говоря, – отвечал князь Андрей, – всё таки мы можем сказать без хвастовства, что это немного получше Ульма…
– Отчего вы не взяли нам одного, хоть одного маршала?
– Оттого, что не всё делается, как предполагается, и не так регулярно, как на параде. Мы полагали, как я вам говорил, зайти в тыл к семи часам утра, а не пришли и к пяти вечера.
– Отчего же вы не пришли к семи часам утра? Вам надо было притти в семь часов утра, – улыбаясь сказал Билибин, – надо было притти в семь часов утра.
– Отчего вы не внушили Бонапарту дипломатическим путем, что ему лучше оставить Геную? – тем же тоном сказал князь Андрей.
– Я знаю, – перебил Билибин, – вы думаете, что очень легко брать маршалов, сидя на диване перед камином. Это правда, а всё таки, зачем вы его не взяли? И не удивляйтесь, что не только военный министр, но и августейший император и король Франц не будут очень осчастливлены вашей победой; да и я, несчастный секретарь русского посольства, не чувствую никакой потребности в знак радости дать моему Францу талер и отпустить его с своей Liebchen [милой] на Пратер… Правда, здесь нет Пратера.
Он посмотрел прямо на князя Андрея и вдруг спустил собранную кожу со лба.
– Теперь мой черед спросить вас «отчего», мой милый, – сказал Болконский. – Я вам признаюсь, что не понимаю, может быть, тут есть дипломатические тонкости выше моего слабого ума, но я не понимаю: Мак теряет целую армию, эрцгерцог Фердинанд и эрцгерцог Карл не дают никаких признаков жизни и делают ошибки за ошибками, наконец, один Кутузов одерживает действительную победу, уничтожает charme [очарование] французов, и военный министр не интересуется даже знать подробности.
– Именно от этого, мой милый. Voyez vous, mon cher: [Видите ли, мой милый:] ура! за царя, за Русь, за веру! Tout ca est bel et bon, [все это прекрасно и хорошо,] но что нам, я говорю – австрийскому двору, за дело до ваших побед? Привезите вы нам свое хорошенькое известие о победе эрцгерцога Карла или Фердинанда – un archiduc vaut l'autre, [один эрцгерцог стоит другого,] как вам известно – хоть над ротой пожарной команды Бонапарте, это другое дело, мы прогремим в пушки. А то это, как нарочно, может только дразнить нас. Эрцгерцог Карл ничего не делает, эрцгерцог Фердинанд покрывается позором. Вену вы бросаете, не защищаете больше, comme si vous nous disiez: [как если бы вы нам сказали:] с нами Бог, а Бог с вами, с вашей столицей. Один генерал, которого мы все любили, Шмит: вы его подводите под пулю и поздравляете нас с победой!… Согласитесь, что раздразнительнее того известия, которое вы привозите, нельзя придумать. C'est comme un fait expres, comme un fait expres. [Это как нарочно, как нарочно.] Кроме того, ну, одержи вы точно блестящую победу, одержи победу даже эрцгерцог Карл, что ж бы это переменило в общем ходе дел? Теперь уж поздно, когда Вена занята французскими войсками.