Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной <math>C(t)</math>, операции дифференцирования соответствует дифференцирование по <math>t</math>.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

<math>\partial\colon R \to R</math>

удовлетворяющими правилу произведения

<math>\partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)</math>

для любых <math>r_1, r_2 \in R</math>. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило <math>d(xy) = x dy + y dx</math> может не выполняться. В безындексной форме записи, если <math>M\colon R \times R \to R</math> — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

<math>\partial \circ M =

M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial). </math>

где <math>f\otimes g</math> — отображение пары <math>(x,y)</math> в пару <math>(f(x),g(y))</math>.

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

<math>\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u</math>

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

<math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v</math>

Полем констант дифференциального поля <math>K</math> называется <math> k = \{u \in K | \partial(u) = 0\}</math>.

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых <math>k \in K</math> и <math>x \in A</math>:

<math>\ \partial (kx) = k \partial x</math>

В безындексной форме записи, если <math>\eta \colon K\to A</math> — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

<math>\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) =

M \circ (\eta \times \partial)</math>

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых <math>a,b \in K</math> и <math>x,y \in A</math>:

<math>\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y)</math>

и

<math>\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y</math>

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли <math>L</math> — это линейное отображение <math>\delta \colon L \to L</math>, удовлетворяющее правилу Лейбница:

<math>\ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b]</math>

Для любого <math>a \in L,~\operatorname{ad}(a)</math> — дифференцирование на <math>L</math>, что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если <math>A</math> — алгебра с единицей, то <math>\partial(1)=0</math>, так как <math>\partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1)</math>. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле <math>\Bbb{Q}(t)</math> существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством <math>\partial(t)=1</math>: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по <math>t</math>. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

<math>\partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u)</math>

В дифференциальном поле <math>\Bbb{Q}(t)</math> нет решения дифференциального уравнения <math>\partial(u) = u </math>, но можно расширить его до поля, содержащего функцию <math>e^t</math>, имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

<math>R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.</math>

Умножение в этом кольце определяется как

<math>(r\xi^m)(s\xi^n) =

\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.</math>

Здесь <math>{m \choose k}</math> — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

<math>\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}</math>

следующее из

<math>{-1 \choose n} = (-1)^n</math>

и

<math>r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).</math>

Градуированное дифференцирование

Пусть <math>A</math> — градуированная алгебра, <math>D</math> — однородное линейное отображение, <math>d = \left| D \right|</math>. <math>D</math> называется однородной производной, если <math>D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b)</math>, <math>\epsilon = \pm1</math> при действии на однородные элементы <math>A</math>. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым <math>\epsilon</math>.

Если <math>\epsilon = 1</math>, определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если <math>\epsilon = -1</math>, то <math>D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)</math>, для нечётных <math>\left| D \right|</math>. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть <math> \mathbb{Z}_2 </math>-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• [www.math.uic.edu/~marker/ Домашняя страница Давида Маркера] содержит несколько статей о дифференциальных полях.

Отрывок, характеризующий Дифференциальная алгебра

Голая Элен сидела подле нее и одинаково всем улыбалась; и точно так же улыбнулась Наташа Борису.
Ложа Элен наполнилась и окружилась со стороны партера самыми знатными и умными мужчинами, которые, казалось, наперерыв желали показать всем, что они знакомы с ней.
Курагин весь этот антракт стоял с Долоховым впереди у рампы, глядя на ложу Ростовых. Наташа знала, что он говорил про нее, и это доставляло ей удовольствие. Она даже повернулась так, чтобы ему виден был ее профиль, по ее понятиям, в самом выгодном положении. Перед началом второго акта в партере показалась фигура Пьера, которого еще с приезда не видали Ростовы. Лицо его было грустно, и он еще потолстел, с тех пор как его последний раз видела Наташа. Он, никого не замечая, прошел в первые ряды. Анатоль подошел к нему и стал что то говорить ему, глядя и указывая на ложу Ростовых. Пьер, увидав Наташу, оживился и поспешно, по рядам, пошел к их ложе. Подойдя к ним, он облокотился и улыбаясь долго говорил с Наташей. Во время своего разговора с Пьером, Наташа услыхала в ложе графини Безуховой мужской голос и почему то узнала, что это был Курагин. Она оглянулась и встретилась с ним глазами. Он почти улыбаясь смотрел ей прямо в глаза таким восхищенным, ласковым взглядом, что казалось странно быть от него так близко, так смотреть на него, быть так уверенной, что нравишься ему, и не быть с ним знакомой.
Во втором акте были картины, изображающие монументы и была дыра в полотне, изображающая луну, и абажуры на рампе подняли, и стали играть в басу трубы и контрабасы, и справа и слева вышло много людей в черных мантиях. Люди стали махать руками, и в руках у них было что то вроде кинжалов; потом прибежали еще какие то люди и стали тащить прочь ту девицу, которая была прежде в белом, а теперь в голубом платье. Они не утащили ее сразу, а долго с ней пели, а потом уже ее утащили, и за кулисами ударили три раза во что то металлическое, и все стали на колена и запели молитву. Несколько раз все эти действия прерывались восторженными криками зрителей.
Во время этого акта Наташа всякий раз, как взглядывала в партер, видела Анатоля Курагина, перекинувшего руку через спинку кресла и смотревшего на нее. Ей приятно было видеть, что он так пленен ею, и не приходило в голову, чтобы в этом было что нибудь дурное.
Когда второй акт кончился, графиня Безухова встала, повернулась к ложе Ростовых (грудь ее совершенно была обнажена), пальчиком в перчатке поманила к себе старого графа, и не обращая внимания на вошедших к ней в ложу, начала любезно улыбаясь говорить с ним.
– Да познакомьте же меня с вашими прелестными дочерьми, – сказала она, – весь город про них кричит, а я их не знаю.
Наташа встала и присела великолепной графине. Наташе так приятна была похвала этой блестящей красавицы, что она покраснела от удовольствия.
– Я теперь тоже хочу сделаться москвичкой, – говорила Элен. – И как вам не совестно зарыть такие перлы в деревне!
Графиня Безухая, по справедливости, имела репутацию обворожительной женщины. Она могла говорить то, чего не думала, и в особенности льстить, совершенно просто и натурально.
– Нет, милый граф, вы мне позвольте заняться вашими дочерьми. Я хоть теперь здесь не надолго. И вы тоже. Я постараюсь повеселить ваших. Я еще в Петербурге много слышала о вас, и хотела вас узнать, – сказала она Наташе с своей однообразно красивой улыбкой. – Я слышала о вас и от моего пажа – Друбецкого. Вы слышали, он женится? И от друга моего мужа – Болконского, князя Андрея Болконского, – сказала она с особенным ударением, намекая этим на то, что она знала отношения его к Наташе. – Она попросила, чтобы лучше познакомиться, позволить одной из барышень посидеть остальную часть спектакля в ее ложе, и Наташа перешла к ней.
В третьем акте был на сцене представлен дворец, в котором горело много свечей и повешены были картины, изображавшие рыцарей с бородками. В середине стояли, вероятно, царь и царица. Царь замахал правою рукою, и, видимо робея, дурно пропел что то, и сел на малиновый трон. Девица, бывшая сначала в белом, потом в голубом, теперь была одета в одной рубашке с распущенными волосами и стояла около трона. Она о чем то горестно пела, обращаясь к царице; но царь строго махнул рукой, и с боков вышли мужчины с голыми ногами и женщины с голыми ногами, и стали танцовать все вместе. Потом скрипки заиграли очень тонко и весело, одна из девиц с голыми толстыми ногами и худыми руками, отделившись от других, отошла за кулисы, поправила корсаж, вышла на середину и стала прыгать и скоро бить одной ногой о другую. Все в партере захлопали руками и закричали браво. Потом один мужчина стал в угол. В оркестре заиграли громче в цимбалы и трубы, и один этот мужчина с голыми ногами стал прыгать очень высоко и семенить ногами. (Мужчина этот был Duport, получавший 60 тысяч в год за это искусство.) Все в партере, в ложах и райке стали хлопать и кричать изо всех сил, и мужчина остановился и стал улыбаться и кланяться на все стороны. Потом танцовали еще другие, с голыми ногами, мужчины и женщины, потом опять один из царей закричал что то под музыку, и все стали петь. Но вдруг сделалась буря, в оркестре послышались хроматические гаммы и аккорды уменьшенной септимы, и все побежали и потащили опять одного из присутствующих за кулисы, и занавесь опустилась. Опять между зрителями поднялся страшный шум и треск, и все с восторженными лицами стали кричать: Дюпора! Дюпора! Дюпора! Наташа уже не находила этого странным. Она с удовольствием, радостно улыбаясь, смотрела вокруг себя.
– N'est ce pas qu'il est admirable – Duport? [Неправда ли, Дюпор восхитителен?] – сказала Элен, обращаясь к ней.
– Oh, oui, [О, да,] – отвечала Наташа.


В антракте в ложе Элен пахнуло холодом, отворилась дверь и, нагибаясь и стараясь не зацепить кого нибудь, вошел Анатоль.
– Позвольте мне вам представить брата, – беспокойно перебегая глазами с Наташи на Анатоля, сказала Элен. Наташа через голое плечо оборотила к красавцу свою хорошенькую головку и улыбнулась. Анатоль, который вблизи был так же хорош, как и издали, подсел к ней и сказал, что давно желал иметь это удовольствие, еще с Нарышкинского бала, на котором он имел удовольствие, которое не забыл, видеть ее. Курагин с женщинами был гораздо умнее и проще, чем в мужском обществе. Он говорил смело и просто, и Наташу странно и приятно поразило то, что не только не было ничего такого страшного в этом человеке, про которого так много рассказывали, но что напротив у него была самая наивная, веселая и добродушная улыбка.