Аналитическая геометрия

Аналити́ческая геоме́трия — раздел геометрии, в котором геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждому геометрическому соотношению этот метод ставит в соответствие некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела.

Историческая справка

Идея координат и уравнения кривой была не чужда ещё древним грекам. Архимед, и особенно Аполлоний Пергский, в своих сочинениях приводили так называемые симптомы конических сечений, которые в ряде случаев совпадают с нашими уравнениями. Однако дальнейшего развития эта идея тогда не получила по причине невысокого уровня древнегреческой алгебры и слабого интереса к кривым, отличным от прямой и окружности.

В Европе первым использовал координатное изображение (для функции, зависящей от времени) Николай Орезмский (XIV век), который называл координаты, по аналогии с географическими, долготой и широтой. К этому времени развитое понятие о координатах уже существовало в астрономии и географии.

Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) сконструировал символический язык для записи уравнений и положил начало системной алгебре.

Около 1637 года Ферма распространил через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписал (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений он широко использовал преобразование координат. Ферма наглядно показал, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.

Декарт включил в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» (трансцендентные, вроде спирали), и провозгласил, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.

Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины «абсцисса» и «ордината» изредка встречались у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином «координаты». Название «Аналитическая геометрия» утвердилось в самом конце XVIII века.

Декарт поместил в «Геометрию» множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он также упомянул, но эта идея не получила у него развития.

Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение ван Схоутен, Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали «Геометрию», исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассмотрел конические сечения как плоские кривые (1655 год), причём уже использует отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.

В «Началах» Ньютон старался всё доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там всё же имеется. Гораздо бо́льшую роль аналитическая геометрия играет в его «''Всеобщей арифметике». В большинстве случаев он не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.

В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки.

Клеро в 1729 году представил Парижской академии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам: аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер. В своём «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны. Там, где это удобно, он использовал косоугольные или полярные координаты. Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.

Разделы

Основные разделы аналитической геометрии

• Линейные операции над векторами
• Произведения векторов
• Системы координат
  • Прямоугольная система координат
  • Полярная система координат
• Прямая на плоскости
• Прямая и плоскость в пространстве
• Матрицы и операции над ними
• Определители
• Обратная матрица и ранг матрицы
• Системы линейных алгебраических уравнений
• Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Коническое сечение
• Спираль
• Цилиндр
• Поверхности второго порядка
  • Сфера
  • Конус
• Шар

См. также

• Алгебраическая геометрия
• Дифференциальная геометрия
• Линейная алгебра
• Векторное исчисление

Литература

• Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2005. — 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)]
• Том 2 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия. (1970)]
• Том 3 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия. (1972)]

• Канатников А. Н.,Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8.
• Мордухай-Болтовской Д. Д. Из прошлого аналитической геометрии // Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217-235.
• Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. — М., 1978.
• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 1, 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. [lib.mexmat.ru/books/13428 Лекции по аналитической геометрии]. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.

Отрывок, характеризующий Аналитическая геометрия

– А всё боишься! Эх вы, ученые люди, – сказал третий мужественный голос, перебивая обоих. – То то вы, артиллеристы, и учены очень оттого, что всё с собой свезти можно, и водочки и закусочки.
И владелец мужественного голоса, видимо, пехотный офицер, засмеялся.
– А всё боишься, – продолжал первый знакомый голос. – Боишься неизвестности, вот чего. Как там ни говори, что душа на небо пойдет… ведь это мы знаем, что неба нет, a сфера одна.
Опять мужественный голос перебил артиллериста.
– Ну, угостите же травником то вашим, Тушин, – сказал он.
«А, это тот самый капитан, который без сапог стоял у маркитанта», подумал князь Андрей, с удовольствием признавая приятный философствовавший голос.
– Травничку можно, – сказал Тушин, – а всё таки будущую жизнь постигнуть…
Он не договорил. В это время в воздухе послышался свист; ближе, ближе, быстрее и слышнее, слышнее и быстрее, и ядро, как будто не договорив всего, что нужно было, с нечеловеческою силой взрывая брызги, шлепнулось в землю недалеко от балагана. Земля как будто ахнула от страшного удара.
В то же мгновение из балагана выскочил прежде всех маленький Тушин с закушенною на бок трубочкой; доброе, умное лицо его было несколько бледно. За ним вышел владетель мужественного голоса, молодцоватый пехотный офицер, и побежал к своей роте, на бегу застегиваясь.


Князь Андрей верхом остановился на батарее, глядя на дым орудия, из которого вылетело ядро. Глаза его разбегались по обширному пространству. Он видел только, что прежде неподвижные массы французов заколыхались, и что налево действительно была батарея. На ней еще не разошелся дымок. Французские два конные, вероятно, адъютанта, проскакали по горе. Под гору, вероятно, для усиления цепи, двигалась явственно видневшаяся небольшая колонна неприятеля. Еще дым первого выстрела не рассеялся, как показался другой дымок и выстрел. Сраженье началось. Князь Андрей повернул лошадь и поскакал назад в Грунт отыскивать князя Багратиона. Сзади себя он слышал, как канонада становилась чаще и громче. Видно, наши начинали отвечать. Внизу, в том месте, где проезжали парламентеры, послышались ружейные выстрелы.
Лемарруа (Le Marierois) с грозным письмом Бонапарта только что прискакал к Мюрату, и пристыженный Мюрат, желая загладить свою ошибку, тотчас же двинул свои войска на центр и в обход обоих флангов, надеясь еще до вечера и до прибытия императора раздавить ничтожный, стоявший перед ним, отряд.
«Началось! Вот оно!» думал князь Андрей, чувствуя, как кровь чаще начинала приливать к его сердцу. «Но где же? Как же выразится мой Тулон?» думал он.
Проезжая между тех же рот, которые ели кашу и пили водку четверть часа тому назад, он везде видел одни и те же быстрые движения строившихся и разбиравших ружья солдат, и на всех лицах узнавал он то чувство оживления, которое было в его сердце. «Началось! Вот оно! Страшно и весело!» говорило лицо каждого солдата и офицера.
Не доехав еще до строившегося укрепления, он увидел в вечернем свете пасмурного осеннего дня подвигавшихся ему навстречу верховых. Передовой, в бурке и картузе со смушками, ехал на белой лошади. Это был князь Багратион. Князь Андрей остановился, ожидая его. Князь Багратион приостановил свою лошадь и, узнав князя Андрея, кивнул ему головой. Он продолжал смотреть вперед в то время, как князь Андрей говорил ему то, что он видел.
Выражение: «началось! вот оно!» было даже и на крепком карем лице князя Багратиона с полузакрытыми, мутными, как будто невыспавшимися глазами. Князь Андрей с беспокойным любопытством вглядывался в это неподвижное лицо, и ему хотелось знать, думает ли и чувствует, и что думает, что чувствует этот человек в эту минуту? «Есть ли вообще что нибудь там, за этим неподвижным лицом?» спрашивал себя князь Андрей, глядя на него. Князь Багратион наклонил голову, в знак согласия на слова князя Андрея, и сказал: «Хорошо», с таким выражением, как будто всё то, что происходило и что ему сообщали, было именно то, что он уже предвидел. Князь Андрей, запихавшись от быстроты езды, говорил быстро. Князь Багратион произносил слова с своим восточным акцентом особенно медленно, как бы внушая, что торопиться некуда. Он тронул, однако, рысью свою лошадь по направлению к батарее Тушина. Князь Андрей вместе с свитой поехал за ним. За князем Багратионом ехали: свитский офицер, личный адъютант князя, Жерков, ординарец, дежурный штаб офицер на энглизированной красивой лошади и статский чиновник, аудитор, который из любопытства попросился ехать в сражение. Аудитор, полный мужчина с полным лицом, с наивною улыбкой радости оглядывался вокруг, трясясь на своей лошади, представляя странный вид в своей камлотовой шинели на фурштатском седле среди гусар, казаков и адъютантов.
– Вот хочет сраженье посмотреть, – сказал Жерков Болконскому, указывая на аудитора, – да под ложечкой уж заболело.
– Ну, полно вам, – проговорил аудитор с сияющею, наивною и вместе хитрою улыбкой, как будто ему лестно было, что он составлял предмет шуток Жеркова, и как будто он нарочно старался казаться глупее, чем он был в самом деле.
– Tres drole, mon monsieur prince, [Очень забавно, мой господин князь,] – сказал дежурный штаб офицер. (Он помнил, что по французски как то особенно говорится титул князь, и никак не мог наладить.)
В это время они все уже подъезжали к батарее Тушина, и впереди их ударилось ядро.
– Что ж это упало? – наивно улыбаясь, спросил аудитор.
– Лепешки французские, – сказал Жерков.
– Этим то бьют, значит? – спросил аудитор. – Страсть то какая!
И он, казалось, распускался весь от удовольствия. Едва он договорил, как опять раздался неожиданно страшный свист, вдруг прекратившийся ударом во что то жидкое, и ш ш ш шлеп – казак, ехавший несколько правее и сзади аудитора, с лошадью рухнулся на землю. Жерков и дежурный штаб офицер пригнулись к седлам и прочь поворотили лошадей. Аудитор остановился против казака, со внимательным любопытством рассматривая его. Казак был мертв, лошадь еще билась.
Князь Багратион, прищурившись, оглянулся и, увидав причину происшедшего замешательства, равнодушно отвернулся, как будто говоря: стоит ли глупостями заниматься! Он остановил лошадь, с приемом хорошего ездока, несколько перегнулся и выправил зацепившуюся за бурку шпагу. Шпага была старинная, не такая, какие носились теперь. Князь Андрей вспомнил рассказ о том, как Суворов в Италии подарил свою шпагу Багратиону, и ему в эту минуту особенно приятно было это воспоминание. Они подъехали к той самой батарее, у которой стоял Болконский, когда рассматривал поле сражения.
– Чья рота? – спросил князь Багратион у фейерверкера, стоявшего у ящиков.
Он спрашивал: чья рота? а в сущности он спрашивал: уж не робеете ли вы тут? И фейерверкер понял это.
– Капитана Тушина, ваше превосходительство, – вытягиваясь, закричал веселым голосом рыжий, с покрытым веснушками лицом, фейерверкер.
– Так, так, – проговорил Багратион, что то соображая, и мимо передков проехал к крайнему орудию.
В то время как он подъезжал, из орудия этого, оглушая его и свиту, зазвенел выстрел, и в дыму, вдруг окружившем орудие, видны были артиллеристы, подхватившие пушку и, торопливо напрягаясь, накатывавшие ее на прежнее место. Широкоплечий, огромный солдат 1 й с банником, широко расставив ноги, отскочил к колесу. 2 й трясущейся рукой клал заряд в дуло. Небольшой сутуловатый человек, офицер Тушин, спотыкнувшись на хобот, выбежал вперед, не замечая генерала и выглядывая из под маленькой ручки.
– Еще две линии прибавь, как раз так будет, – закричал он тоненьким голоском, которому он старался придать молодцоватость, не шедшую к его фигуре. – Второе! – пропищал он. – Круши, Медведев!
Багратион окликнул офицера, и Тушин, робким и неловким движением, совсем не так, как салютуют военные, а так, как благословляют священники, приложив три пальца к козырьку, подошел к генералу. Хотя орудия Тушина были назначены для того, чтоб обстреливать лощину, он стрелял брандскугелями по видневшейся впереди деревне Шенграбен, перед которой выдвигались большие массы французов.
Никто не приказывал Тушину, куда и чем стрелять, и он, посоветовавшись с своим фельдфебелем Захарченком, к которому имел большое уважение, решил, что хорошо было бы зажечь деревню. «Хорошо!» сказал Багратион на доклад офицера и стал оглядывать всё открывавшееся перед ним поле сражения, как бы что то соображая. С правой стороны ближе всего подошли французы. Пониже высоты, на которой стоял Киевский полк, в лощине речки слышалась хватающая за душу перекатная трескотня ружей, и гораздо правее, за драгунами, свитский офицер указывал князю на обходившую наш фланг колонну французов. Налево горизонт ограничивался близким лесом. Князь Багратион приказал двум баталионам из центра итти на подкрепление направо. Свитский офицер осмелился заметить князю, что по уходе этих баталионов орудия останутся без прикрытия. Князь Багратион обернулся к свитскому офицеру и тусклыми глазами посмотрел на него молча. Князю Андрею казалось, что замечание свитского офицера было справедливо и что действительно сказать было нечего. Но в это время прискакал адъютант от полкового командира, бывшего в лощине, с известием, что огромные массы французов шли низом, что полк расстроен и отступает к киевским гренадерам. Князь Багратион наклонил голову в знак согласия и одобрения. Шагом поехал он направо и послал адъютанта к драгунам с приказанием атаковать французов. Но посланный туда адъютант приехал через полчаса с известием, что драгунский полковой командир уже отступил за овраг, ибо против него был направлен сильный огонь, и он понапрасну терял людей и потому спешил стрелков в лес.