Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.

Содержание

1 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2 См. также
3 Литература

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная

Пусть функция <math>g(h)</math> определена в окрестности <math>h=0</math> и для любого <math>\epsilon</math> > 0 найдётся такое <math>\delta</math>, что

<math>|g(h)/h^n|<\epsilon</math>, лишь только <math> |h|<\delta,</math>

тогда говорят, что <math>g(h)</math> — бесконечно малое порядка <math>o(h^n)</math>.

Пусть <math>f(x)</math> — вещественнозначная функция, заданная на отрезке <math>(a,b)</math>. Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале <math>(a,b)</math>, если

для любого <math>x\in(a,b)</math> и любого <math>n</math>. Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке <math>(a,b)</math> функции образуют кольцо гладких функций <math>C^\infty(a,b)</math>.

Коэффициенты <math>f^{(n)}(x)</math>

Эти функции называют производными функции <math>f(x)</math>. Первая производная может быть вычислена как предел

<math>f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>.

Оператор, сопоставляющий функции <math>f(x)</math> её производную <math>f'(x)</math> обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке <math>(a,b)</math>, является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

Касательная прямая

Прямая

пересекает кривую

в точке <math>(c,f(c))</math> таким образом, что знак выражения

при условии <math>f(c)\not =0</math> всё время остаётся одним и тем же, поэтому кривая

лежит по одну сторону от прямой

Прямую, обладающую указанным свойством, называют касательной к кривой в точке <math>x=c</math> (по Б. Кавальери). Точку <math>x=c</math>, в которой кривая

не лежит по одну сторону от прямой

называют точкой перегиба, при этом прямую все равно именуют касательной. Для единообразия часто само понятие касательной вводят иначе с тем, чтобы оба случая подпадали под него.

Точки экстремума

Точка <math>x=c</math> называется точкой локального максимума (минимума), если

для всех достаточно малых по модулю <math>h</math>. Из соотношения

сразу видно, что <math>f'(c)=0</math> — необходимое условие максимума, а <math>f(c)<0</math> — достаточное условие максимума. Условие <math>f(c)=0</math> выделяет точки максимума, минимума и перегиба.

Непрерывные функции

Пусть <math>f</math> определена и на концах интервала <math>[a,b]</math>; говорят, что она непрерывна на <math>[a,b]</math>, если для любого <math>\epsilon</math> найдётся такое <math>\delta</math>, что

<math>|f(x)-f(x+h)|<\epsilon</math>, лишь только <math> |h|<\delta,</math>

и точки <math>x,\, x+h</math> не выходят за границы интервала <math>[a,b]</math>. Теорема Вейерштрасса утверждает, что гладкая на отрезке функция достигает на отрезке своего минимального и максимального значений. Понятие непрерывности функции обычно увязывается с понятием предела функции. Непрерывны на интервале <math>[a,b]</math> функции образуют кольцо непрерывных функций <math>C[a,b]</math>.

История

В XII веке математик Шараф аль-Дин аль-Туси тюрко-монгольского государства Хулагу был первым, кто нашел производную от кубической функции, важный результат в дифференциальном исчислении. Был написан "Трактат об уравнениях", в котором были разработаны концепции, связанные с дифференциальным исчислением, такие, как производная функции и максимумы и минимумы кривых, для решения кубических уравнений, которая не может иметь положительного решения.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Кольцо непрерывных на <math>[a,b]</math> и гладких на <math>(a,b)</math> функций обладает рядом важных свойств:

Теорема Ролля: если <math>f(a)=f(b)</math>, то имеется точка <math>c\in (a,b)</math> максимума или минимума, в которой <math>f'</math> обращается в нуль.
Теорема Лагранжа: существует такая точка <math>c\in (a,b)</math>, что

Теорема Коши: если <math>g'\not =0</math> на <math>(a,b)</math>, то существует такая точка <math>c\in (a,b)</math>, что

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке <math>(a',b')\subset (a,b)</math> найдутся такие точки <math>c_n</math>, что

где

При помощи этой формулы можно приближённо вычислять значения функции в точке <math>b'</math> по известным значениям функции и её производных в точке <math>a'</math>.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если <math>f(b)=g(b)=0</math> или <math>f(b)=g(b)=\infty</math>, и <math>g'\not =0</math> на <math>(a,b)</math>, то

<math>\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow b-0}\frac{f'(x)}{g'(x)},</math>

причём существование второго предела влечёт существование первого.

См. также

Вариационное исчисление
Анализ функций многих переменных
Интегральное исчисление
Исторический очерк и библиографию см. в статье Математический анализ.
Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами

Напишите отзыв о статье "Дифференциальное исчисление"

Литература

Граве Д. А.,. Дифференциальное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Виноградов И.М. (ред.) Математическая энциклопедия. Том 2. Москва: Советская энциклопедия, 1977 г.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1981 год.

Отрывок, характеризующий Дифференциальное исчисление

– Мерзавка, бесстыдница, – сказала она ей. – Слышать ничего не хочу! – Оттолкнув удивленными, но сухими глазами глядящую на нее Наташу, она заперла ее на ключ и приказав дворнику пропустить в ворота тех людей, которые придут нынче вечером, но не выпускать их, а лакею приказав привести этих людей к себе, села в гостиной, ожидая похитителей.
Когда Гаврило пришел доложить Марье Дмитриевне, что приходившие люди убежали, она нахмурившись встала и заложив назад руки, долго ходила по комнатам, обдумывая то, что ей делать. В 12 часу ночи она, ощупав ключ в кармане, пошла к комнате Наташи. Соня, рыдая, сидела в коридоре.
– Марья Дмитриевна, пустите меня к ней ради Бога! – сказала она. Марья Дмитриевна, не отвечая ей, отперла дверь и вошла. «Гадко, скверно… В моем доме… Мерзавка, девчонка… Только отца жалко!» думала Марья Дмитриевна, стараясь утолить свой гнев. «Как ни трудно, уж велю всем молчать и скрою от графа». Марья Дмитриевна решительными шагами вошла в комнату. Наташа лежала на диване, закрыв голову руками, и не шевелилась. Она лежала в том самом положении, в котором оставила ее Марья Дмитриевна.
– Хороша, очень хороша! – сказала Марья Дмитриевна. – В моем доме любовникам свидания назначать! Притворяться то нечего. Ты слушай, когда я с тобой говорю. – Марья Дмитриевна тронула ее за руку. – Ты слушай, когда я говорю. Ты себя осрамила, как девка самая последняя. Я бы с тобой то сделала, да мне отца твоего жалко. Я скрою. – Наташа не переменила положения, но только всё тело ее стало вскидываться от беззвучных, судорожных рыданий, которые душили ее. Марья Дмитриевна оглянулась на Соню и присела на диване подле Наташи.
– Счастье его, что он от меня ушел; да я найду его, – сказала она своим грубым голосом; – слышишь ты что ли, что я говорю? – Она поддела своей большой рукой под лицо Наташи и повернула ее к себе. И Марья Дмитриевна, и Соня удивились, увидав лицо Наташи. Глаза ее были блестящи и сухи, губы поджаты, щеки опустились.
– Оставь… те… что мне… я… умру… – проговорила она, злым усилием вырвалась от Марьи Дмитриевны и легла в свое прежнее положение.
– Наталья!… – сказала Марья Дмитриевна. – Я тебе добра желаю. Ты лежи, ну лежи так, я тебя не трону, и слушай… Я не стану говорить, как ты виновата. Ты сама знаешь. Ну да теперь отец твой завтра приедет, что я скажу ему? А?
Опять тело Наташи заколебалось от рыданий.
– Ну узнает он, ну брат твой, жених!
– У меня нет жениха, я отказала, – прокричала Наташа.
– Всё равно, – продолжала Марья Дмитриевна. – Ну они узнают, что ж они так оставят? Ведь он, отец твой, я его знаю, ведь он, если его на дуэль вызовет, хорошо это будет? А?
– Ах, оставьте меня, зачем вы всему помешали! Зачем? зачем? кто вас просил? – кричала Наташа, приподнявшись на диване и злобно глядя на Марью Дмитриевну.
– Да чего ж ты хотела? – вскрикнула опять горячась Марья Дмитриевна, – что ж тебя запирали что ль? Ну кто ж ему мешал в дом ездить? Зачем же тебя, как цыганку какую, увозить?… Ну увез бы он тебя, что ж ты думаешь, его бы не нашли? Твой отец, или брат, или жених. А он мерзавец, негодяй, вот что!
– Он лучше всех вас, – вскрикнула Наташа, приподнимаясь. – Если бы вы не мешали… Ах, Боже мой, что это, что это! Соня, за что? Уйдите!… – И она зарыдала с таким отчаянием, с каким оплакивают люди только такое горе, которого они чувствуют сами себя причиной. Марья Дмитриевна начала было опять говорить; но Наташа закричала: – Уйдите, уйдите, вы все меня ненавидите, презираете. – И опять бросилась на диван.
Марья Дмитриевна продолжала еще несколько времени усовещивать Наташу и внушать ей, что всё это надо скрыть от графа, что никто не узнает ничего, ежели только Наташа возьмет на себя всё забыть и не показывать ни перед кем вида, что что нибудь случилось. Наташа не отвечала. Она и не рыдала больше, но с ней сделались озноб и дрожь. Марья Дмитриевна подложила ей подушку, накрыла ее двумя одеялами и сама принесла ей липового цвета, но Наташа не откликнулась ей. – Ну пускай спит, – сказала Марья Дмитриевна, уходя из комнаты, думая, что она спит. Но Наташа не спала и остановившимися раскрытыми глазами из бледного лица прямо смотрела перед собою. Всю эту ночь Наташа не спала, и не плакала, и не говорила с Соней, несколько раз встававшей и подходившей к ней.
На другой день к завтраку, как и обещал граф Илья Андреич, он приехал из Подмосковной. Он был очень весел: дело с покупщиком ладилось и ничто уже не задерживало его теперь в Москве и в разлуке с графиней, по которой он соскучился. Марья Дмитриевна встретила его и объявила ему, что Наташа сделалась очень нездорова вчера, что посылали за доктором, но что теперь ей лучше. Наташа в это утро не выходила из своей комнаты. С поджатыми растрескавшимися губами, сухими остановившимися глазами, она сидела у окна и беспокойно вглядывалась в проезжающих по улице и торопливо оглядывалась на входивших в комнату. Она очевидно ждала известий об нем, ждала, что он сам приедет или напишет ей.
Когда граф взошел к ней, она беспокойно оборотилась на звук его мужских шагов, и лицо ее приняло прежнее холодное и даже злое выражение. Она даже не поднялась на встречу ему.
– Что с тобой, мой ангел, больна? – спросил граф. Наташа помолчала.
– Да, больна, – отвечала она.
На беспокойные расспросы графа о том, почему она такая убитая и не случилось ли чего нибудь с женихом, она уверяла его, что ничего, и просила его не беспокоиться. Марья Дмитриевна подтвердила графу уверения Наташи, что ничего не случилось. Граф, судя по мнимой болезни, по расстройству дочери, по сконфуженным лицам Сони и Марьи Дмитриевны, ясно видел, что в его отсутствие должно было что нибудь случиться: но ему так страшно было думать, что что нибудь постыдное случилось с его любимою дочерью, он так любил свое веселое спокойствие, что он избегал расспросов и всё старался уверить себя, что ничего особенного не было и только тужил о том, что по случаю ее нездоровья откладывался их отъезд в деревню.

Со дня приезда своей жены в Москву Пьер сбирался уехать куда нибудь, только чтобы не быть с ней. Вскоре после приезда Ростовых в Москву, впечатление, которое производила на него Наташа, заставило его поторопиться исполнить свое намерение. Он поехал в Тверь ко вдове Иосифа Алексеевича, которая обещала давно передать ему бумаги покойного.

Дифференциальное исчисление

Содержание