Дифференцируемая функция

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке.

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Функции одной переменной

Функция <math>f\colon M\subset \R \mapsto \R</math> одной переменной является дифференцируемой в точке <math>x_0</math> своей области определения <math>M</math>, если существует такая константа <math>a</math>, что для любой точки <math>x \in M</math> верно

<math>f(x)=f(x_0) + a(x-x_0) + o(x-x_0), \ \quad x \to x_0, </math>

при этом число <math>a</math> неизбежно равно производной

<math>a = f'(x_0) = \lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.</math>

Функция одной переменной является дифференцируемой в точке <math>x_0</math> тогда и только тогда, когда она имеет конечную производную в этой точке.

График функции <math>y=f(x)</math> представляет собой кривую на плоскости <math>Oxy</math>, а график линейной функции

<math>y=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) </math>

доставляет касательную прямую к этой кривой, проведённую в точке <math>x_0</math>.

Например, функция <math>f(x) = x^2</math> определена и дифференцируема в любой вещественной точке, поскольку её можно представить в виде

<math>f(x) = f(x_0) + 2x_0(x-x_0) + (x-x_0)^2</math>.

При этом её производная есть <math>f'(x_0) = 2x_0</math>, а уравнение касательной прямой, проведённой в точке <math>x_0</math>, имеет вид: <math>y = x_0^2 + 2x_0(x-x_0)</math>.

Элементарные функции могут быть непрерывны в некоторой точке, но не быть в ней дифференцируемы. Например, функция <math>f(x) = |x|</math> является непрерывной на всей вещественной оси, но её производная испытывает скачок при переходе через точку <math>x=0</math>, в котором эта функция не является дифференцируемой. В этой точке нельзя провести и касательную к графику функции. Функция <math>y=\sqrt[3]{x}</math> тоже непрерывна на всей вещественной оси и её график имеет касательные во всех точках, однако касательная, проведённая в точке <math>x=0</math>, является вертикальной прямой и поэтому производная функции <math>y=\sqrt[3]{x}</math> бесконечно велика в точке <math>x=0</math>, а сама функция не дифференцируема в этой точке.

Графики элементарных функций учат, что произвольная функция дифференцируема всюду, за исключением исключительных и изолированных значений аргумента. Первая попытка аналитического доказательства этого утверждения принадлежит Амперу, и поэтому оно носит название гипотезы Ампера. Это утверждение, однако, не верно в классе аналитически представимых функций, напр., функция Дирихле не является даже непрерывной ни в одной точке. Нельзя также считать и произвольную непрерывную функцию дифференцируемой, напр., функция Вейерштрасса определена и непрерывная на всей вещественной оси, но не является дифференцируемой ни в одной её точке. Это в частности означает, что к её графику ни в одной точке нельзя провести касательную прямую. Тем не менее, гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку следующей теоремы Лебега: любая монотонная функция <math>f(x)</math> имеет определённую конечную производную всюду, кроме, быть может, некоторого множества значений <math>x</math> меры нуль.

Функции нескольких переменных

Функция <math>f \colon M \subset \R^n \to \R</math> переменных <math>x = (x^1, \ldots, x^n)</math> является дифференцируемой в точке <math>x_0 = (x^1_0, \ldots, x^n_0)</math> своей области определения <math>M</math>, если существуют такие константы <math>a = (a^1, \ldots, a^n)</math>, что для любой точки <math>x = (x^1, \ldots, x^n) \in M</math>

<math>f(x)=f(x_0) + \sum_{i=1}^{n} a^i (x^i-x_0^i) + o(\|x-x_0\|), \ \quad x \to x_0,</math>

где <math>\|x-x_0\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (x^i-x_0^i)^2</math>.

В этой записи функция

<math>A(x-x_0) = \sum_{i=1}^{n} a^i (x^i-x_0^i)</math>

является дифференциалом функции <math>f(x)</math> в точке <math>x_0</math>, а числа <math>a^1, \ldots, a^n</math> являются частными производными функции <math>f(x)</math> в точке <math>x_0</math>, то есть

<math>a^i = \frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0) = \lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h e_i)-f(x_0)}{h},</math>

где <math>e_i \in \R^n</math> — вектор, все компоненты которого, кроме <math>i</math>-ой, равны нулю, а <math>i</math>-ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных <math>f(x,y)</math>, равную <math>0</math> при <math>xy = 0</math> и <math>1</math> при <math>xy \neq 0</math>. В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.

Отображения

Отображение <math>f\colon M\subset \R^n \to \R^m</math> называется дифференцируемым в точке <math>x_0</math> своей области определения <math>M</math>, если существует такое линейное отображение <math>A\colon \R^n \to \R^m</math>, зависящее от точки <math>x_0</math>, что для любой точки <math>x \in M</math> верно

<math>f(x) = f(x_0) + A(x-x_0) + o(\|x-x_0\|), \ \quad x \to x_0,</math>

то есть, раскрывая символ «o» малое, если

<math>\lim \limits_{x\to x_0} \frac{\|f(x)-f(x_0)-A(x-x_0)\|}{\|x-x_0\|} = 0</math>.

Линейное отображение <math>A\colon \R^n \to \R^m</math> является дифференциалом отображения <math>f(x)</math> в точке <math>x_0</math>.

Если отображение <math>f\colon M\subset \R^n \to \R^m</math> задано набором функций

<math>f_i\colon M\subset \R^n \to \R, \ \quad i=1, \ldots, m,</math>

то его дифференцируемость в точке <math>x_0</math> равносильна дифференцируемости всех функций в данной точке, и матрица его дифференциала <math>A</math> — это матрица Якоби, составленная из частных производных этих функций в точке <math>x_0</math>.

Примечания

• Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.-Л.: ГНТИ, 1931. — Т. 2. — С. 60-69.
• Зорич В. А. Математический анализ. — М: Фазис, 1997. — Т. 1.

Ссылки

• www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Ma/02/02/t.htm
• www.exponenta.ru/educat/class/courses/ma/theme10/theory.asp

Отрывок, характеризующий Дифференцируемая функция

Князь Андрей поскакал исполнять поручение.
Обогнав всё шедшие впереди батальоны, он остановил 3 ю дивизию и убедился, что, действительно, впереди наших колонн не было стрелковой цепи. Полковой командир бывшего впереди полка был очень удивлен переданным ему от главнокомандующего приказанием рассыпать стрелков. Полковой командир стоял тут в полной уверенности, что впереди его есть еще войска, и что неприятель не может быть ближе 10 ти верст. Действительно, впереди ничего не было видно, кроме пустынной местности, склоняющейся вперед и застланной густым туманом. Приказав от имени главнокомандующего исполнить упущенное, князь Андрей поскакал назад. Кутузов стоял всё на том же месте и, старчески опустившись на седле своим тучным телом, тяжело зевал, закрывши глаза. Войска уже не двигались, а стояли ружья к ноге.
– Хорошо, хорошо, – сказал он князю Андрею и обратился к генералу, который с часами в руках говорил, что пора бы двигаться, так как все колонны с левого фланга уже спустились.
– Еще успеем, ваше превосходительство, – сквозь зевоту проговорил Кутузов. – Успеем! – повторил он.
В это время позади Кутузова послышались вдали звуки здоровающихся полков, и голоса эти стали быстро приближаться по всему протяжению растянувшейся линии наступавших русских колонн. Видно было, что тот, с кем здоровались, ехал скоро. Когда закричали солдаты того полка, перед которым стоял Кутузов, он отъехал несколько в сторону и сморщившись оглянулся. По дороге из Працена скакал как бы эскадрон разноцветных всадников. Два из них крупным галопом скакали рядом впереди остальных. Один был в черном мундире с белым султаном на рыжей энглизированной лошади, другой в белом мундире на вороной лошади. Это были два императора со свитой. Кутузов, с аффектацией служаки, находящегося во фронте, скомандовал «смирно» стоявшим войскам и, салютуя, подъехал к императору. Вся его фигура и манера вдруг изменились. Он принял вид подначальственного, нерассуждающего человека. Он с аффектацией почтительности, которая, очевидно, неприятно поразила императора Александра, подъехал и салютовал ему.
Неприятное впечатление, только как остатки тумана на ясном небе, пробежало по молодому и счастливому лицу императора и исчезло. Он был, после нездоровья, несколько худее в этот день, чем на ольмюцком поле, где его в первый раз за границей видел Болконский; но то же обворожительное соединение величавости и кротости было в его прекрасных, серых глазах, и на тонких губах та же возможность разнообразных выражений и преобладающее выражение благодушной, невинной молодости.
На ольмюцком смотру он был величавее, здесь он был веселее и энергичнее. Он несколько разрумянился, прогалопировав эти три версты, и, остановив лошадь, отдохновенно вздохнул и оглянулся на такие же молодые, такие же оживленные, как и его, лица своей свиты. Чарторижский и Новосильцев, и князь Болконский, и Строганов, и другие, все богато одетые, веселые, молодые люди, на прекрасных, выхоленных, свежих, только что слегка вспотевших лошадях, переговариваясь и улыбаясь, остановились позади государя. Император Франц, румяный длиннолицый молодой человек, чрезвычайно прямо сидел на красивом вороном жеребце и озабоченно и неторопливо оглядывался вокруг себя. Он подозвал одного из своих белых адъютантов и спросил что то. «Верно, в котором часу они выехали», подумал князь Андрей, наблюдая своего старого знакомого, с улыбкой, которую он не мог удержать, вспоминая свою аудиенцию. В свите императоров были отобранные молодцы ординарцы, русские и австрийские, гвардейских и армейских полков. Между ними велись берейторами в расшитых попонах красивые запасные царские лошади.
Как будто через растворенное окно вдруг пахнуло свежим полевым воздухом в душную комнату, так пахнуло на невеселый Кутузовский штаб молодостью, энергией и уверенностью в успехе от этой прискакавшей блестящей молодежи.
– Что ж вы не начинаете, Михаил Ларионович? – поспешно обратился император Александр к Кутузову, в то же время учтиво взглянув на императора Франца.
– Я поджидаю, ваше величество, – отвечал Кутузов, почтительно наклоняясь вперед.
Император пригнул ухо, слегка нахмурясь и показывая, что он не расслышал.
– Поджидаю, ваше величество, – повторил Кутузов (князь Андрей заметил, что у Кутузова неестественно дрогнула верхняя губа, в то время как он говорил это поджидаю ). – Не все колонны еще собрались, ваше величество.
Государь расслышал, но ответ этот, видимо, не понравился ему; он пожал сутуловатыми плечами, взглянул на Новосильцева, стоявшего подле, как будто взглядом этим жалуясь на Кутузова.
– Ведь мы не на Царицыном лугу, Михаил Ларионович, где не начинают парада, пока не придут все полки, – сказал государь, снова взглянув в глаза императору Францу, как бы приглашая его, если не принять участие, то прислушаться к тому, что он говорит; но император Франц, продолжая оглядываться, не слушал.
– Потому и не начинаю, государь, – сказал звучным голосом Кутузов, как бы предупреждая возможность не быть расслышанным, и в лице его еще раз что то дрогнуло. – Потому и не начинаю, государь, что мы не на параде и не на Царицыном лугу, – выговорил он ясно и отчетливо.
В свите государя на всех лицах, мгновенно переглянувшихся друг с другом, выразился ропот и упрек. «Как он ни стар, он не должен бы, никак не должен бы говорить этак», выразили эти лица.
Государь пристально и внимательно посмотрел в глаза Кутузову, ожидая, не скажет ли он еще чего. Но Кутузов, с своей стороны, почтительно нагнув голову, тоже, казалось, ожидал. Молчание продолжалось около минуты.
– Впрочем, если прикажете, ваше величество, – сказал Кутузов, поднимая голову и снова изменяя тон на прежний тон тупого, нерассуждающего, но повинующегося генерала.
Он тронул лошадь и, подозвав к себе начальника колонны Милорадовича, передал ему приказание к наступлению.
Войско опять зашевелилось, и два батальона Новгородского полка и батальон Апшеронского полка тронулись вперед мимо государя.
В то время как проходил этот Апшеронский батальон, румяный Милорадович, без шинели, в мундире и орденах и со шляпой с огромным султаном, надетой набекрень и с поля, марш марш выскакал вперед и, молодецки салютуя, осадил лошадь перед государем.
– С Богом, генерал, – сказал ему государь.
– Ma foi, sire, nous ferons ce que qui sera dans notre possibilite, sire, [Право, ваше величество, мы сделаем, что будет нам возможно сделать, ваше величество,] – отвечал он весело, тем не менее вызывая насмешливую улыбку у господ свиты государя своим дурным французским выговором.
Милорадович круто повернул свою лошадь и стал несколько позади государя. Апшеронцы, возбуждаемые присутствием государя, молодецким, бойким шагом отбивая ногу, проходили мимо императоров и их свиты.
– Ребята! – крикнул громким, самоуверенным и веселым голосом Милорадович, видимо, до такой степени возбужденный звуками стрельбы, ожиданием сражения и видом молодцов апшеронцев, еще своих суворовских товарищей, бойко проходивших мимо императоров, что забыл о присутствии государя. – Ребята, вам не первую деревню брать! – крикнул он.
– Рады стараться! – прокричали солдаты.
Лошадь государя шарахнулась от неожиданного крика. Лошадь эта, носившая государя еще на смотрах в России, здесь, на Аустерлицком поле, несла своего седока, выдерживая его рассеянные удары левой ногой, настораживала уши от звуков выстрелов, точно так же, как она делала это на Марсовом поле, не понимая значения ни этих слышавшихся выстрелов, ни соседства вороного жеребца императора Франца, ни всего того, что говорил, думал, чувствовал в этот день тот, кто ехал на ней.
Государь с улыбкой обратился к одному из своих приближенных, указывая на молодцов апшеронцев, и что то сказал ему.


Кутузов, сопутствуемый своими адъютантами, поехал шагом за карабинерами.
Проехав с полверсты в хвосте колонны, он остановился у одинокого заброшенного дома (вероятно, бывшего трактира) подле разветвления двух дорог. Обе дороги спускались под гору, и по обеим шли войска.
Туман начинал расходиться, и неопределенно, верстах в двух расстояния, виднелись уже неприятельские войска на противоположных возвышенностях. Налево внизу стрельба становилась слышнее. Кутузов остановился, разговаривая с австрийским генералом. Князь Андрей, стоя несколько позади, вглядывался в них и, желая попросить зрительную трубу у адъютанта, обратился к нему.