Аналитическая функция

Аналити́ческая функция вещественной переменной — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция <math>f</math> называется аналитической в точке <math>z_0</math>, если сужение функции <math>f</math> на некоторую окрестность <math>z_0</math> является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке <math>z_0</math>, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки <math>z_0</math>.

Однозначная аналитическая функция одной комплексной переменной — это функция <math>f(z)</math>, для которой в некоторой односвязной области <math>A\subset\mathbb C</math>, называемой областью аналитичности, выполняется одно из четырёх равносильных условий:

1. Ряд Тейлора функции в каждой точке <math>z\in A</math> сходится и его сумма равна <math>f(z)</math> (аналитичность в смысле Вейерштрасса).
2. В каждой точке <math>z=x+iy\in A</math> выполняются условия Коши — Римана <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} </math> и <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} .</math> Здесь <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественная и мнимая части рассматриваемой функции. (Аналитичность в смысле Коши — Римана.)
3. Интеграл <math>\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0</math> для любой замкнутой кривой <math>\Gamma\subset A</math> (аналитичность в смысле Коши).
4. Функция <math>f(z)</math> является голоморфной в области <math>A</math>. То есть <math>f(z)</math> комплексно дифференцируема в каждой точке <math>z\in A</math>.

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность этих определений.

Свойства

• Арифметические свойства

Если <math>f(z)</math> и <math>g(z)</math> аналитичны в области <math>G\subset\mathbb C</math>

1. Функции <math>f(z)\pm g(z)</math>, <math>f(z)\cdot g(z)</math> и <math>f(g(z))</math> аналитичны в <math>G</math>.
2. Если <math>g(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>\frac{f(z)}{g(z)}</math> будет аналитична в <math>G</math>
3. Если <math>f'(z)</math> в области <math>G</math> не обращается в ноль, то <math>f^{-1}(z)</math> будет аналитична в <math>G</math>.

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Для комплексных функций одной переменной верно и обратное.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

• Если множество нулей аналитической в односвязной области функции имеет в этой области предельную точку, то функция тождественно равна нулю.
• Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. Для функции от нескольких комплексных переменных аналитичности по каждой из переменных достаточно для аналитичности функции (Теорема Хартогса).

Примеры

Все многочлены от z являются аналитическими функциями на всей плоскости <math>\mathbb C</math>.

Далее, аналитическими, хотя и не на всей комплексной плоскости, являются рациональные функции, показательная функция, логарифм, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и многие другие классы функций, а также суммы, разности, произведения, частные аналитических функций.

Примеры неаналитических функций на <math>\mathbb C</math> включают

1. <math>f(z)=|z|</math>,
2. <math>f(z)=\overline{z}</math>,

поскольку они не имеют комплексной производной ни в одной точке. При этом сужение <math>f(z)=\overline{z}</math> на вещественную ось будет аналитической функцией вещественного переменного (так как оно полностью совпадает с сужением функции <math>f(z)= z</math>).

См. также

• Теорема Хартогса
• Неравенство Лоясевича

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Отрывок, характеризующий Аналитическая функция

Адъютант был прислан из главного штаба подтвердить полковому командиру то, что было сказано неясно во вчерашнем приказе, а именно то, что главнокомандующий желал видеть полк совершенно в том положении, в котором oн шел – в шинелях, в чехлах и без всяких приготовлений.
К Кутузову накануне прибыл член гофкригсрата из Вены, с предложениями и требованиями итти как можно скорее на соединение с армией эрцгерцога Фердинанда и Мака, и Кутузов, не считая выгодным это соединение, в числе прочих доказательств в пользу своего мнения намеревался показать австрийскому генералу то печальное положение, в котором приходили войска из России. С этою целью он и хотел выехать навстречу полку, так что, чем хуже было бы положение полка, тем приятнее было бы это главнокомандующему. Хотя адъютант и не знал этих подробностей, однако он передал полковому командиру непременное требование главнокомандующего, чтобы люди были в шинелях и чехлах, и что в противном случае главнокомандующий будет недоволен. Выслушав эти слова, полковой командир опустил голову, молча вздернул плечами и сангвиническим жестом развел руки.
– Наделали дела! – проговорил он. – Вот я вам говорил же, Михайло Митрич, что на походе, так в шинелях, – обратился он с упреком к батальонному командиру. – Ах, мой Бог! – прибавил он и решительно выступил вперед. – Господа ротные командиры! – крикнул он голосом, привычным к команде. – Фельдфебелей!… Скоро ли пожалуют? – обратился он к приехавшему адъютанту с выражением почтительной учтивости, видимо относившейся к лицу, про которое он говорил.
– Через час, я думаю.
– Успеем переодеть?
– Не знаю, генерал…
Полковой командир, сам подойдя к рядам, распорядился переодеванием опять в шинели. Ротные командиры разбежались по ротам, фельдфебели засуетились (шинели были не совсем исправны) и в то же мгновение заколыхались, растянулись и говором загудели прежде правильные, молчаливые четвероугольники. Со всех сторон отбегали и подбегали солдаты, подкидывали сзади плечом, через голову перетаскивали ранцы, снимали шинели и, высоко поднимая руки, натягивали их в рукава.
Через полчаса всё опять пришло в прежний порядок, только четвероугольники сделались серыми из черных. Полковой командир, опять подрагивающею походкой, вышел вперед полка и издалека оглядел его.
– Это что еще? Это что! – прокричал он, останавливаясь. – Командира 3 й роты!..
– Командир 3 й роты к генералу! командира к генералу, 3 й роты к командиру!… – послышались голоса по рядам, и адъютант побежал отыскивать замешкавшегося офицера.
Когда звуки усердных голосов, перевирая, крича уже «генерала в 3 ю роту», дошли по назначению, требуемый офицер показался из за роты и, хотя человек уже пожилой и не имевший привычки бегать, неловко цепляясь носками, рысью направился к генералу. Лицо капитана выражало беспокойство школьника, которому велят сказать невыученный им урок. На красном (очевидно от невоздержания) носу выступали пятна, и рот не находил положения. Полковой командир с ног до головы осматривал капитана, в то время как он запыхавшись подходил, по мере приближения сдерживая шаг.
– Вы скоро людей в сарафаны нарядите! Это что? – крикнул полковой командир, выдвигая нижнюю челюсть и указывая в рядах 3 й роты на солдата в шинели цвета фабричного сукна, отличавшегося от других шинелей. – Сами где находились? Ожидается главнокомандующий, а вы отходите от своего места? А?… Я вас научу, как на смотр людей в казакины одевать!… А?…
Ротный командир, не спуская глаз с начальника, всё больше и больше прижимал свои два пальца к козырьку, как будто в одном этом прижимании он видел теперь свое спасенье.
– Ну, что ж вы молчите? Кто у вас там в венгерца наряжен? – строго шутил полковой командир.
– Ваше превосходительство…
– Ну что «ваше превосходительство»? Ваше превосходительство! Ваше превосходительство! А что ваше превосходительство – никому неизвестно.
– Ваше превосходительство, это Долохов, разжалованный… – сказал тихо капитан.
– Что он в фельдмаршалы, что ли, разжалован или в солдаты? А солдат, так должен быть одет, как все, по форме.
– Ваше превосходительство, вы сами разрешили ему походом.
– Разрешил? Разрешил? Вот вы всегда так, молодые люди, – сказал полковой командир, остывая несколько. – Разрешил? Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Полковой командир помолчал. – Вам что нибудь скажешь, а вы и… – Что? – сказал он, снова раздражаясь. – Извольте одеть людей прилично…
И полковой командир, оглядываясь на адъютанта, своею вздрагивающею походкой направился к полку. Видно было, что его раздражение ему самому понравилось, и что он, пройдясь по полку, хотел найти еще предлог своему гневу. Оборвав одного офицера за невычищенный знак, другого за неправильность ряда, он подошел к 3 й роте.