Нестандартный анализ

Нестандартный анализ — альтернативный подход к обоснованию математического анализа, в котором бесконечно малые — не переменные величины, а особый вид чисел. В нестандартном анализе на современной основе реализуется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Недоверие к актуальным бесконечным величинам в математике объяснялось трудностями их формального обоснования. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть <math>dV</math> — (бесконечно малый) элемент объёма…».

Концепция Лейбница была реабилитирована, когда появилось первое современное изложение инфинитезимальных методов, которое дал Абрахам Робинсон в 1961 году. В отличие от традиционного анализа, опирающегося на вещественные и комплексные числа, нестандартный анализ имеет дело с более широким полем гипервещественных чисел, в котором не выполняется аксиома Архимеда.

Нестандартный анализ возник как раздел математической логики, посвященный приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математическом анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др.

Курт Гёдель писал в 1973 году: «Есть веские основания считать, что нестандартный анализ, в той или иной форме, станет анализом будущего».

Основные положения

В общих чертах основной метод Робинсона можно описать следующим образом. Рассматривается некоторая математическая структура <math>M</math> и строится логико-математический язык 1-го порядка, отражающий аспекты этой структуры, интересующие исследователя. Затем методами теории моделей строятся нестандартная модель теории структуры <math>M</math>, являющаяся собственным расширением <math>M</math>. При надлежащем построении новые, нестандартные, элементы модели могут быть истолкованы как предельные, «идеальные» элементы первоначальной структуры. Например, если первоначально рассматривалось упорядоченное поле вещественных чисел, то нестандартные элементы модели естественно рассматривать как «инфинитезимальные», то есть бесконечно большие или бесконечно малые, но отличные от нуля вещественные числа. При этом все обычные отношения между вещественными числами автоматически переносятся и на нестандартные элементы с сохранением всех их свойств, выраженных в логико-математическом языке. Подобным образом в теории фильтров на данном множестве нестандартный элемент определяет непустое пересечение всех элементов фильтра; в топологии возникает семейство нестандартных точек, расположенных «бесконечно близко» к данной точке. Истолкование нестандартных элементов модели часто позволяет дать удобные критерии для обычных понятий в терминах нестандартных элементов. Например, можно доказать, что стандартная действительная функция <math>f(x)</math> непрерывна в стандартной точке <math>x_0</math> тогда и только тогда, когда <math>f(x)</math> бесконечно близка к <math>f(x_0)</math> для всех (и нестандартных) точек бесконечно близких к <math>x_0</math>. Полученные критерии могут быть с успехом применены к доказательству обычных математических результатов.

Результаты стандартной математики, полученные методами нестандартного анализа, могут быть естественно передоказаны и обычным образом, но рассмотрение нестандартной модели имеет то значительное преимущество, что позволяет актуально вводить в рассуждение «идеальные» элементы, что позволяет давать прозрачные формулировки для многих понятий, связанных с предельными переходами от конечного к бесконечному. С помощью нестандартного анализа был обнаружен ряд новых фактов. Многие классические доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа. Однако этим место и роль нестандартного анализа далеко не исчерпываются.

В понимании наших дней нестандартный анализ — общий математический метод, основанный на представлениях об актуально бесконечных величинах. Сейчас нестандартный анализ строится аксиоматически в рамках новых вариантов теории множеств, среди которых наиболее распространены теория внутренних множеств Нельсона и теория внешних множеств Каваи. Эти теории строятся на формализации идей, восходящих к древнейшим представлениям о различии актуальной и потенциальной бесконечностей. Указанные теории являются консервативным расширением теории Цермело — Френкеля и, стало быть, имеют тот же статус строгости при рассмотрении их как обоснование современной математики. При этом новые теории обладают несравненно более широкими возможностями.

Стандартные и нестандартные элементы

Содержательным исходным пунктом аксиоматики нестандартного анализа является представление о том, что в каждом математическом объекте могут быть элементы только двух типов. Элементы первого типа доступны нам или прямым или потенциально бесконечным способом в том смысле, что мы можем или указать такие элементы непосредственно или доказать их существование и единственность, используя уже имеющиеся в нашем распоряжении доступные объекты. Объекты этого типа называют стандартными, а прочие — нестандартными.

Нестандартный анализ постулирует, что в каждом бесконечном множестве объектов имеется хотя бы один нестандартный элемент — «принцип идеализации». При этом стандартных объектов достаточно для изучения классических математических свойств любых объектов — «принцип переноса». Имеется также возможность задавать стандартные объекты, отбирая стандартные элементы с заданным свойством — «принцип стандартизации». Варианты этих принципов присутствуют во всех аксиоматиках нестандартного анализа.

Стандартный объект сам по себе часто бесконечен. Скажем, стандартными являются не только конкретные натуральные числа 5, 7, 10 в степени 10 в степени 10, трансцендентные числа вроде π и е, но и полные совокупности всех натуральных чисел <math>\N</math> или всех вещественных чисел <math>\R</math>. Поскольку <math>\N</math> — бесконечное множество, то в <math>\N</math> имеется нестандартный элемент N. Очевидно, что N больше 1, ибо 1 — стандартное число. Если число m стандартно, то стандартно и следующее за ним число m + 1, ибо оно получается единственным образом из двух стандартных чисел. Таким образом, каждое нестандартное натуральное число больше любого стандартного натурального числа. Поэтому нестандартные натуральные числа называются бесконечно большими. Число r бесконечно большое, если |r| больше какого-нибудь бесконечно большого натурального числа. Ненулевые бесконечно малые числа — это обратные величины бесконечно больших чисел. Основоположники инфинитезимального анализа говорили не о стандартных или нестандартных числах, а выделяли «могущие быть заданными числа». Например, Эйлер считал положительное число бесконечно большим, если оно больше любого могущего быть заданным числа.

Число, которое не является бесконечно большим, называют конечным. Два числа называют бесконечно близкими, если разность между ними бесконечно мала. Можно доказать, что каждое конечное число бесконечно близко к единственному стандартному числу — к своей стандартной части. Числа, бесконечно близкие к данному конечному числу, составляют его монаду. Монады не являются обычными множествами (их именуют внешними множествами по отношению к миру Цермело-Френкеля). Монады разных стандартных чисел попарно не пересекаются, но в объединении охватывают все конечные числа. Таким образом, формальная техника нестандартного анализа хорошо отражает натурфилософские представления о двойственной «дискретно-непрерывной» структуре «физической» числовой прямой.

Одно представление нестандартных чисел

Нестандартный анализ использует новое первичное понятие — свойство объекта быть или не быть стандартным. В «стандартной» математике обычно эти различия невыразимы: нельзя говорить об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых постоянных величинах.

По сути же, формальная теория нестандартного анализа есть консервативное расширение классической, то есть любое суждение классической математики, доказанное с помощью нестандартного анализа, может быть доказано и без использования новых методов. Тем не менее, есть одно технически полезное «классическое» представление нестандартных чисел, которое дают т. н. дуальные числа, то есть числа вида <math>a+\varepsilon * b</math>, где <math>\varepsilon^2=0</math>.

Приложения

В то же время нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике. Можно сказать, что нестандартный анализ изучает ровно те же математические объекты, что и стандартная математика. Однако в каждом таком объекте он видит дополнительную внутреннюю структуру, которая обычной математикой полностью игнорируется. Иногда метод нестандартного анализа сравнивают с цветным телевидением. Черно-белый телевизор способен показывать те же объекты, что и цветной, но он не в состоянии передать богатство расцветок составляющих их элементов. Эта аналогия наглядно иллюстрирует то принципиальное обстоятельство, что роль нестандартного анализа существенно шире, нежели предоставление дополнительных средств для упрощения аппарата обычной математики. Нестандартный анализ открывает нам богатую внутреннюю структуру классических математических объектов, наполненных как доступными, так и только воображаемыми элементами.

См. также

• Гиперреальное число

Литература

Теория

• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. [www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/infa.pdf Инфинитезимальный анализ]. — Новосибирск: Институт математики, 2006.
• Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980.
• Успенский В. А. [djvu.504.com1.ru:8019/WWW/b4b4f50ea678e70012484021227768a5.djvu Что такое нестандартный анализ.] М.: Наука, 1987.
• Успенский B. Нестандартный анализ // Наука и жизнь. — 1984. — № 1. — С. 45–50.
• Kanovei V., Reeken M. Nonstandard Analysis, Axiomatically. Berlin: Springer-Verlag, 2004.
• Robinson, Abraham. Non-standard analysis. Princeton University Press, 1996.

Приложения

• Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике, М.: Мир, 1990, 616 с., ISBN 5-03-001180-3.
• Звонкин А. К., Шубин М. А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений, Успехи математических наук, 39 (1984), № 2, c 77-127.

Отрывок, характеризующий Нестандартный анализ

Солдаты без команды стали стрелять.
– Ооох! – с выражением отчаяния промычал Кутузов и оглянулся. – Болконский, – прошептал он дрожащим от сознания своего старческого бессилия голосом. – Болконский, – прошептал он, указывая на расстроенный батальон и на неприятеля, – что ж это?
Но прежде чем он договорил эти слова, князь Андрей, чувствуя слезы стыда и злобы, подступавшие ему к горлу, уже соскакивал с лошади и бежал к знамени.
– Ребята, вперед! – крикнул он детски пронзительно.
«Вот оно!» думал князь Андрей, схватив древко знамени и с наслаждением слыша свист пуль, очевидно, направленных именно против него. Несколько солдат упало.
– Ура! – закричал князь Андрей, едва удерживая в руках тяжелое знамя, и побежал вперед с несомненной уверенностью, что весь батальон побежит за ним.
Действительно, он пробежал один только несколько шагов. Тронулся один, другой солдат, и весь батальон с криком «ура!» побежал вперед и обогнал его. Унтер офицер батальона, подбежав, взял колебавшееся от тяжести в руках князя Андрея знамя, но тотчас же был убит. Князь Андрей опять схватил знамя и, волоча его за древко, бежал с батальоном. Впереди себя он видел наших артиллеристов, из которых одни дрались, другие бросали пушки и бежали к нему навстречу; он видел и французских пехотных солдат, которые хватали артиллерийских лошадей и поворачивали пушки. Князь Андрей с батальоном уже был в 20 ти шагах от орудий. Он слышал над собою неперестававший свист пуль, и беспрестанно справа и слева от него охали и падали солдаты. Но он не смотрел на них; он вглядывался только в то, что происходило впереди его – на батарее. Он ясно видел уже одну фигуру рыжего артиллериста с сбитым на бок кивером, тянущего с одной стороны банник, тогда как французский солдат тянул банник к себе за другую сторону. Князь Андрей видел уже ясно растерянное и вместе озлобленное выражение лиц этих двух людей, видимо, не понимавших того, что они делали.
«Что они делают? – думал князь Андрей, глядя на них: – зачем не бежит рыжий артиллерист, когда у него нет оружия? Зачем не колет его француз? Не успеет добежать, как француз вспомнит о ружье и заколет его».
Действительно, другой француз, с ружьем на перевес подбежал к борющимся, и участь рыжего артиллериста, всё еще не понимавшего того, что ожидает его, и с торжеством выдернувшего банник, должна была решиться. Но князь Андрей не видал, чем это кончилось. Как бы со всего размаха крепкой палкой кто то из ближайших солдат, как ему показалось, ударил его в голову. Немного это больно было, а главное, неприятно, потому что боль эта развлекала его и мешала ему видеть то, на что он смотрел.
«Что это? я падаю? у меня ноги подкашиваются», подумал он и упал на спину. Он раскрыл глаза, надеясь увидать, чем кончилась борьба французов с артиллеристами, и желая знать, убит или нет рыжий артиллерист, взяты или спасены пушки. Но он ничего не видал. Над ним не было ничего уже, кроме неба – высокого неба, не ясного, но всё таки неизмеримо высокого, с тихо ползущими по нем серыми облаками. «Как тихо, спокойно и торжественно, совсем не так, как я бежал, – подумал князь Андрей, – не так, как мы бежали, кричали и дрались; совсем не так, как с озлобленными и испуганными лицами тащили друг у друга банник француз и артиллерист, – совсем не так ползут облака по этому высокому бесконечному небу. Как же я не видал прежде этого высокого неба? И как я счастлив, я, что узнал его наконец. Да! всё пустое, всё обман, кроме этого бесконечного неба. Ничего, ничего нет, кроме его. Но и того даже нет, ничего нет, кроме тишины, успокоения. И слава Богу!…»


На правом фланге у Багратиона в 9 ть часов дело еще не начиналось. Не желая согласиться на требование Долгорукова начинать дело и желая отклонить от себя ответственность, князь Багратион предложил Долгорукову послать спросить о том главнокомандующего. Багратион знал, что, по расстоянию почти 10 ти верст, отделявшему один фланг от другого, ежели не убьют того, кого пошлют (что было очень вероятно), и ежели он даже и найдет главнокомандующего, что было весьма трудно, посланный не успеет вернуться раньше вечера.
Багратион оглянул свою свиту своими большими, ничего невыражающими, невыспавшимися глазами, и невольно замиравшее от волнения и надежды детское лицо Ростова первое бросилось ему в глаза. Он послал его.
– А ежели я встречу его величество прежде, чем главнокомандующего, ваше сиятельство? – сказал Ростов, держа руку у козырька.
– Можете передать его величеству, – поспешно перебивая Багратиона, сказал Долгоруков.
Сменившись из цепи, Ростов успел соснуть несколько часов перед утром и чувствовал себя веселым, смелым, решительным, с тою упругостью движений, уверенностью в свое счастие и в том расположении духа, в котором всё кажется легко, весело и возможно.
Все желания его исполнялись в это утро; давалось генеральное сражение, он участвовал в нем; мало того, он был ординарцем при храбрейшем генерале; мало того, он ехал с поручением к Кутузову, а может быть, и к самому государю. Утро было ясное, лошадь под ним была добрая. На душе его было радостно и счастливо. Получив приказание, он пустил лошадь и поскакал вдоль по линии. Сначала он ехал по линии Багратионовых войск, еще не вступавших в дело и стоявших неподвижно; потом он въехал в пространство, занимаемое кавалерией Уварова и здесь заметил уже передвижения и признаки приготовлений к делу; проехав кавалерию Уварова, он уже ясно услыхал звуки пушечной и орудийной стрельбы впереди себя. Стрельба всё усиливалась.
В свежем, утреннем воздухе раздавались уже, не как прежде в неравные промежутки, по два, по три выстрела и потом один или два орудийных выстрела, а по скатам гор, впереди Працена, слышались перекаты ружейной пальбы, перебиваемой такими частыми выстрелами из орудий, что иногда несколько пушечных выстрелов уже не отделялись друг от друга, а сливались в один общий гул.
Видно было, как по скатам дымки ружей как будто бегали, догоняя друг друга, и как дымы орудий клубились, расплывались и сливались одни с другими. Видны были, по блеску штыков между дымом, двигавшиеся массы пехоты и узкие полосы артиллерии с зелеными ящиками.
Ростов на пригорке остановил на минуту лошадь, чтобы рассмотреть то, что делалось; но как он ни напрягал внимание, он ничего не мог ни понять, ни разобрать из того, что делалось: двигались там в дыму какие то люди, двигались и спереди и сзади какие то холсты войск; но зачем? кто? куда? нельзя было понять. Вид этот и звуки эти не только не возбуждали в нем какого нибудь унылого или робкого чувства, но, напротив, придавали ему энергии и решительности.
«Ну, еще, еще наддай!» – обращался он мысленно к этим звукам и опять пускался скакать по линии, всё дальше и дальше проникая в область войск, уже вступивших в дело.
«Уж как это там будет, не знаю, а всё будет хорошо!» думал Ростов.
Проехав какие то австрийские войска, Ростов заметил, что следующая за тем часть линии (это была гвардия) уже вступила в дело.
«Тем лучше! посмотрю вблизи», подумал он.
Он поехал почти по передней линии. Несколько всадников скакали по направлению к нему. Это были наши лейб уланы, которые расстроенными рядами возвращались из атаки. Ростов миновал их, заметил невольно одного из них в крови и поскакал дальше.
«Мне до этого дела нет!» подумал он. Не успел он проехать нескольких сот шагов после этого, как влево от него, наперерез ему, показалась на всем протяжении поля огромная масса кавалеристов на вороных лошадях, в белых блестящих мундирах, которые рысью шли прямо на него. Ростов пустил лошадь во весь скок, для того чтоб уехать с дороги от этих кавалеристов, и он бы уехал от них, ежели бы они шли всё тем же аллюром, но они всё прибавляли хода, так что некоторые лошади уже скакали. Ростову всё слышнее и слышнее становился их топот и бряцание их оружия и виднее становились их лошади, фигуры и даже лица. Это были наши кавалергарды, шедшие в атаку на французскую кавалерию, подвигавшуюся им навстречу.
Кавалергарды скакали, но еще удерживая лошадей. Ростов уже видел их лица и услышал команду: «марш, марш!» произнесенную офицером, выпустившим во весь мах свою кровную лошадь. Ростов, опасаясь быть раздавленным или завлеченным в атаку на французов, скакал вдоль фронта, что было мочи у его лошади, и всё таки не успел миновать их.
Крайний кавалергард, огромный ростом рябой мужчина, злобно нахмурился, увидав перед собой Ростова, с которым он неминуемо должен был столкнуться. Этот кавалергард непременно сбил бы с ног Ростова с его Бедуином (Ростов сам себе казался таким маленьким и слабеньким в сравнении с этими громадными людьми и лошадьми), ежели бы он не догадался взмахнуть нагайкой в глаза кавалергардовой лошади. Вороная, тяжелая, пятивершковая лошадь шарахнулась, приложив уши; но рябой кавалергард всадил ей с размаху в бока огромные шпоры, и лошадь, взмахнув хвостом и вытянув шею, понеслась еще быстрее. Едва кавалергарды миновали Ростова, как он услыхал их крик: «Ура!» и оглянувшись увидал, что передние ряды их смешивались с чужими, вероятно французскими, кавалеристами в красных эполетах. Дальше нельзя было ничего видеть, потому что тотчас же после этого откуда то стали стрелять пушки, и всё застлалось дымом.
В ту минуту как кавалергарды, миновав его, скрылись в дыму, Ростов колебался, скакать ли ему за ними или ехать туда, куда ему нужно было. Это была та блестящая атака кавалергардов, которой удивлялись сами французы. Ростову страшно было слышать потом, что из всей этой массы огромных красавцев людей, из всех этих блестящих, на тысячных лошадях, богачей юношей, офицеров и юнкеров, проскакавших мимо его, после атаки осталось только осьмнадцать человек.
«Что мне завидовать, мое не уйдет, и я сейчас, может быть, увижу государя!» подумал Ростов и поскакал дальше.
Поровнявшись с гвардейской пехотой, он заметил, что чрез нее и около нее летали ядры, не столько потому, что он слышал звук ядер, сколько потому, что на лицах солдат он увидал беспокойство и на лицах офицеров – неестественную, воинственную торжественность.
Проезжая позади одной из линий пехотных гвардейских полков, он услыхал голос, назвавший его по имени.
– Ростов!
– Что? – откликнулся он, не узнавая Бориса.
– Каково? в первую линию попали! Наш полк в атаку ходил! – сказал Борис, улыбаясь той счастливой улыбкой, которая бывает у молодых людей, в первый раз побывавших в огне.
Ростов остановился.
– Вот как! – сказал он. – Ну что?
– Отбили! – оживленно сказал Борис, сделавшийся болтливым. – Ты можешь себе представить?
И Борис стал рассказывать, каким образом гвардия, ставши на место и увидав перед собой войска, приняла их за австрийцев и вдруг по ядрам, пущенным из этих войск, узнала, что она в первой линии, и неожиданно должна была вступить в дело. Ростов, не дослушав Бориса, тронул свою лошадь.
– Ты куда? – спросил Борис.