Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект общей алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (1842—1899).

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство <math>\mathfrak{L}</math> над полем <math>K</math>, снабжённое билинейным отображением

<math>\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],</math>

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

• <math>[x, x] = 0</math>;
• <math>[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0</math> (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

• Если характеристика поля <math>\mathrm{char}(K)\ne 2</math>, то тождество <math>[x,x]=0</math> (для любых x) эквивалентно антикоммутативности <math>[x,y]+[y,x]=0</math> (так как для скобки Ли всегда <math>[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]</math>).
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Иногда в определении алгебры Ли векторное пространство заменяют на модуль (над коммутативным кольцом с единицей).

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если <math>V</math> — конечномерное векторное пространство над <math>K</math> (<math>\mathrm{dim}\;V=n</math>), то множество его линейных преобразований <math>\mathrm{End}\;V</math> — также векторное пространство над <math>K</math>. Оно имеет размерность <math>\mathrm{dim}(\mathrm{End}\;V)=n^2</math> и может быть представлено как пространство матриц <math>n\times n</math>. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой <math>[x,y]=xy-yx</math>. Пространство <math>\mathrm{End}\;V</math> с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают <math>\mathfrak{gl}\;(V)</math>. Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение <math>\mathfrak{gl}\;(V)</math>. Любая подалгебра в <math>\mathfrak{gl}\;(V)</math> называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть <math>\mathfrak{A}</math> — произвольная ассоциативная алгебра над <math>K</math> с умножением: <math>(x,y)</math> → <math>xy</math>. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над <math>K</math>, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: <math>[x, y] = xy - yx</math>, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами.

• Используя производную Ли от поля Y по направлению поля X:

<math>[X, Y] \equiv L_X Y</math>.

• Если на многообразии задана локальная система координат <math> (t_1,...,t_n)</math>, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен

<math>[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i,</math>

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

<math>\partial_j Y^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}Y^i(t_1,...,t_n)</math>,

<math>\partial_j X^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}X^i(t_1,...,t_n)</math> —

частные производные от функций <math>Y^i(t_1,...,t_n),X^i(t_1,...,t_n)</math> вдоль направлений t_j.

• Выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать, что

<math>[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X</math>,

где X, Y — векторные поля, а <math>\nabla_X</math> — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

• Векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и, значит, задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

<math>[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow L_X [Y,Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z]</math>.

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре <math>\mathfrak{A}</math> называется линейное отображение <math>\delta:\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}</math>, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения <math>\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b</math>. Совокупность всех дифференцирований <math>\operatorname{Der}\;\mathfrak{A}</math> является векторным подпространством в <math>\operatorname{End}\;\mathfrak{A}</math>. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому <math>\operatorname{Der}\;\mathfrak{A}</math> — подалгебра в <math>\mathfrak{gl(A)}</math>.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли <math>L</math>. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры <math>L</math> вида <math>\operatorname{ad}\;x\colon y\to[x, y]; x, y \in L</math>. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение <math>L\to\operatorname{Der}\;L;\; x\mapsto\operatorname{ad}\;x</math> называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в <math>\operatorname{Der}(L)</math> подалгебру <math>\operatorname{ad}\;L</math>, изоморфную факторалгебре <math>L/Z(L)</math> алгебры <math>L</math> по её центру <math>Z(L):=\{x \in L \mid [x,y] = 0; \forall y\in L\}</math>.

См. также

• Группа Ли
• Производная Ли
• Дифференциальная геометрия и топология
• Коммутатор операторов

Литература

• Серр Ж.-П. [vilenin.narod.ru/Mm/Books/69/book.htm Алгебры Ли и группы Ли], — М.: Мир, 1969.
• Ресурсы [eqworld.ipmnet.ru/ru/library физико-математической библиотеки] сайта [eqworld.ipmnet.ru/ru EqWorld — «Мир математических уравнений»].
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/031224095406.djvu Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. — М.: ИЛ, 1962 (djvu)].
• [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/nomidzu.djvu Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960 (djvu)]
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976. 496 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Глава IX. М.: Мир, 1986. 174 с.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — М. МЦНМО, 2003.

Отрывок, характеризующий Алгебра Ли

«Шестьсот рублей, туз, угол, девятка… отыграться невозможно!… И как бы весело было дома… Валет на пе… это не может быть!… И зачем же он это делает со мной?…» думал и вспоминал Ростов. Иногда он ставил большую карту; но Долохов отказывался бить её, и сам назначал куш. Николай покорялся ему, и то молился Богу, как он молился на поле сражения на Амштетенском мосту; то загадывал, что та карта, которая первая попадется ему в руку из кучи изогнутых карт под столом, та спасет его; то рассчитывал, сколько было шнурков на его куртке и с столькими же очками карту пытался ставить на весь проигрыш, то за помощью оглядывался на других играющих, то вглядывался в холодное теперь лицо Долохова, и старался проникнуть, что в нем делалось.
«Ведь он знает, что значит для меня этот проигрыш. Не может же он желать моей погибели? Ведь он друг был мне. Ведь я его любил… Но и он не виноват; что ж ему делать, когда ему везет счастие? И я не виноват, говорил он сам себе. Я ничего не сделал дурного. Разве я убил кого нибудь, оскорбил, пожелал зла? За что же такое ужасное несчастие? И когда оно началось? Еще так недавно я подходил к этому столу с мыслью выиграть сто рублей, купить мама к именинам эту шкатулку и ехать домой. Я так был счастлив, так свободен, весел! И я не понимал тогда, как я был счастлив! Когда же это кончилось, и когда началось это новое, ужасное состояние? Чем ознаменовалась эта перемена? Я всё так же сидел на этом месте, у этого стола, и так же выбирал и выдвигал карты, и смотрел на эти ширококостые, ловкие руки. Когда же это совершилось, и что такое совершилось? Я здоров, силен и всё тот же, и всё на том же месте. Нет, это не может быть! Верно всё это ничем не кончится».
Он был красен, весь в поту, несмотря на то, что в комнате не было жарко. И лицо его было страшно и жалко, особенно по бессильному желанию казаться спокойным.
Запись дошла до рокового числа сорока трех тысяч. Ростов приготовил карту, которая должна была итти углом от трех тысяч рублей, только что данных ему, когда Долохов, стукнув колодой, отложил ее и, взяв мел, начал быстро своим четким, крепким почерком, ломая мелок, подводить итог записи Ростова.
– Ужинать, ужинать пора! Вот и цыгане! – Действительно с своим цыганским акцентом уж входили с холода и говорили что то какие то черные мужчины и женщины. Николай понимал, что всё было кончено; но он равнодушным голосом сказал:
– Что же, не будешь еще? А у меня славная карточка приготовлена. – Как будто более всего его интересовало веселье самой игры.
«Всё кончено, я пропал! думал он. Теперь пуля в лоб – одно остается», и вместе с тем он сказал веселым голосом:
– Ну, еще одну карточку.
– Хорошо, – отвечал Долохов, окончив итог, – хорошо! 21 рубль идет, – сказал он, указывая на цифру 21, рознившую ровный счет 43 тысяч, и взяв колоду, приготовился метать. Ростов покорно отогнул угол и вместо приготовленных 6.000, старательно написал 21.
– Это мне всё равно, – сказал он, – мне только интересно знать, убьешь ты, или дашь мне эту десятку.
Долохов серьезно стал метать. О, как ненавидел Ростов в эту минуту эти руки, красноватые с короткими пальцами и с волосами, видневшимися из под рубашки, имевшие его в своей власти… Десятка была дана.
– За вами 43 тысячи, граф, – сказал Долохов и потягиваясь встал из за стола. – А устаешь однако так долго сидеть, – сказал он.
– Да, и я тоже устал, – сказал Ростов.
Долохов, как будто напоминая ему, что ему неприлично было шутить, перебил его: Когда прикажете получить деньги, граф?
Ростов вспыхнув, вызвал Долохова в другую комнату.
– Я не могу вдруг заплатить всё, ты возьмешь вексель, – сказал он.
– Послушай, Ростов, – сказал Долохов, ясно улыбаясь и глядя в глаза Николаю, – ты знаешь поговорку: «Счастлив в любви, несчастлив в картах». Кузина твоя влюблена в тебя. Я знаю.
«О! это ужасно чувствовать себя так во власти этого человека», – думал Ростов. Ростов понимал, какой удар он нанесет отцу, матери объявлением этого проигрыша; он понимал, какое бы было счастье избавиться от всего этого, и понимал, что Долохов знает, что может избавить его от этого стыда и горя, и теперь хочет еще играть с ним, как кошка с мышью.
– Твоя кузина… – хотел сказать Долохов; но Николай перебил его.
– Моя кузина тут ни при чем, и о ней говорить нечего! – крикнул он с бешенством.
– Так когда получить? – спросил Долохов.
– Завтра, – сказал Ростов, и вышел из комнаты.


Сказать «завтра» и выдержать тон приличия было не трудно; но приехать одному домой, увидать сестер, брата, мать, отца, признаваться и просить денег, на которые не имеешь права после данного честного слова, было ужасно.
Дома еще не спали. Молодежь дома Ростовых, воротившись из театра, поужинав, сидела у клавикорд. Как только Николай вошел в залу, его охватила та любовная, поэтическая атмосфера, которая царствовала в эту зиму в их доме и которая теперь, после предложения Долохова и бала Иогеля, казалось, еще более сгустилась, как воздух перед грозой, над Соней и Наташей. Соня и Наташа в голубых платьях, в которых они были в театре, хорошенькие и знающие это, счастливые, улыбаясь, стояли у клавикорд. Вера с Шиншиным играла в шахматы в гостиной. Старая графиня, ожидая сына и мужа, раскладывала пасьянс с старушкой дворянкой, жившей у них в доме. Денисов с блестящими глазами и взъерошенными волосами сидел, откинув ножку назад, у клавикорд, и хлопая по ним своими коротенькими пальцами, брал аккорды, и закатывая глаза, своим маленьким, хриплым, но верным голосом, пел сочиненное им стихотворение «Волшебница», к которому он пытался найти музыку.
Волшебница, скажи, какая сила
Влечет меня к покинутым струнам;
Какой огонь ты в сердце заронила,
Какой восторг разлился по перстам!
Пел он страстным голосом, блестя на испуганную и счастливую Наташу своими агатовыми, черными глазами.
– Прекрасно! отлично! – кричала Наташа. – Еще другой куплет, – говорила она, не замечая Николая.
«У них всё то же» – подумал Николай, заглядывая в гостиную, где он увидал Веру и мать с старушкой.
– А! вот и Николенька! – Наташа подбежала к нему.
– Папенька дома? – спросил он.
– Как я рада, что ты приехал! – не отвечая, сказала Наташа, – нам так весело. Василий Дмитрич остался для меня еще день, ты знаешь?
– Нет, еще не приезжал папа, – сказала Соня.
– Коко, ты приехал, поди ко мне, дружок! – сказал голос графини из гостиной. Николай подошел к матери, поцеловал ее руку и, молча подсев к ее столу, стал смотреть на ее руки, раскладывавшие карты. Из залы всё слышались смех и веселые голоса, уговаривавшие Наташу.
– Ну, хорошо, хорошо, – закричал Денисов, – теперь нечего отговариваться, за вами barcarolla, умоляю вас.
Графиня оглянулась на молчаливого сына.
– Что с тобой? – спросила мать у Николая.