Биномиальный коэффициент

В математике биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома Ньютона <math>(1+x)^n</math> по степеням x. Коэффициент при <math>x^k</math> обозначается <math>\textstyle\binom{n}{k}</math> или <math>\textstyle C_n^k</math> и читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):

{{{2}}}

(1)

для натуральных степеней <math>n</math>. Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных чисел <math>n</math>. В случае произвольного действительного числа <math>n</math> биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражение <math>(1+x)^n</math> в бесконечный ряд Тейлора:

<math>(1+x)^n=\sum_{k=0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k,</math>

Для неотрицательных целых n все коэффициенты с индексами k>n в этом ряду являются нулевыми (т.е. <math>\textstyle\binom{n}{k}=0</math>), и поэтому данное разложение представляет собой конечную сумму (1).

В комбинаторике биномиальный коэффициент <math>\textstyle\binom{n}{k}</math> для неотрицательных целых чисел n и k интерпретируется как количество сочетаний из n по k, то есть количество всех подмножеств (выборок) размера k в n-элементном множестве.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Явные формулы

Значение биномиального коэффициента <math>\textstyle\binom{n}{k}</math> определено для всех действительных чисел n и целых чисел k по формулам:

<math>\binom{n}{k}=\begin{cases}

\frac{n(n-1)(n-2)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)}{k!}, & k\geqslant 0,\\ 0, & k<0, \end{cases}</math> где <math>k!</math> обозначает факториал числа k.

Для неотрицательных целых n и k также справедливы формулы:

<math>\binom{n}{k} = \begin{cases}

\frac{n!}{k!(n-k)!}, & k\leqslant n.\\ 0, & k>n. \end{cases}</math>

Треугольник Паскаля

Тождество

<math>{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}</math>

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных целых чисел n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

<math>\begin{matrix}

n=0: & & & & & 1 & & & &\\ n=1: & & & & 1 & & 1 & & &\\ n=2: & & & 1 & & 2 & & 1 & &\\ n=3: & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 &\\ n=4: & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \end{matrix}</math> Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).

Строки в треугольнике Паскаля, делённые на <math>2^n</math> (сумма всех чисел в строке), в пределе стремятся к функции нормального распределения.

Визуализация биномиального коэффициента до 4 степени [upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Binomial_theorem_visualisation.svg/450px-Binomial_theorem_visualisation.svg.png]

Свойства

Производящие функции

Для фиксированного значения n производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов <math>\tbinom{n}{0},\;\tbinom{n}{1},\;\tbinom{n}{2},\;\ldots</math> является:

<math>\sum_k \binom{n}{k} x^k = (1+x)^n.</math>

Для фиксированного значения k производящей функцией последовательности биномиальных коэффициентов <math>\tbinom{0}{k},\;\tbinom{1}{k},\;\tbinom{2}{k},\;\ldots</math> является:

<math>\sum_n \binom{n}{k} y^n = \frac{y^k}{(1-y)^{k+1}}.</math>

Двумерной производящей функцией биномиальных коэффициентов <math>\tbinom{n}{k}</math> для целых <math>n,\,k</math> является:

<math>\sum_{n,k} \binom{n}{k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy}.</math>

Делимость

Из теоремы Люка следует, что:

• <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> нечётен <math>\iff</math> в двоичной записи числа k единицы не стоят в тех разрядах, где в числе n стоят нули.
• <math>\textstyle \binom{n}{k}</math> некратен простому p <math>\iff</math> в p-ичной записи числа k все разряды не превосходят соответствующих разрядов числа n.
• В последовательности биномиальных коэффициентов <math>\textstyle \binom{n}{0},\;\binom{n}{1},\;\ldots,\;\binom{n}{n}</math>:
  • все числа не кратны заданному простому p <math>\iff</math> <math>n=mp^k-1</math>, где натуральное число m < p;
  • все числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому p <math>\iff</math> <math>n=p^k</math>;
  • количество нечётных чисел равно степени двойки (степень двойки равна количеству единиц в двоичной записи числа n);
  • не может быть поровну чётных и нечётных чисел;
  • количество не кратных простому p чисел равно <math>(a_1+1)\cdots(a_m+1)</math>, где числа <math>a_1,\;\ldots,\;a_m</math> — разряды p-ичной записи числа n; а число <math>\textstyle m=\lfloor\log_p{n}\rfloor + 1</math> — её длина.

Основные тождества

• <math>{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}.</math>
• <math>\binom{n}{k}=(-1)^k\binom{-n+k-1}{k}.</math>
• <math>{n\choose k}={n\choose n-k}</math> (правило симметрии).
• <math>{n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1}</math> (вынесение за скобки).
• <math>{n\choose m}{m\choose k}={n\choose k}{n-k\choose m-k}</math> (замена индексов).

Бином Ньютона и следствия

• <math>{n\choose 0}+{n\choose 1}+\ldots+{n\choose n}=2^n.</math>
• <math>\sum_{i+j=m}\binom{n}{j}\binom{n}{i}(-1)^j=

\begin{cases} (-1)^{m/2} \binom{n}{m/2} & \text{if}\ m\equiv 0\pmod{2},\\ 0 & \text{if}\ m\equiv 1\pmod{2}. \end{cases} </math>

• <math>\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}.</math>
• <math>{n\choose 0}-{n\choose 1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0.</math> Это тождество можно усилить:
• <math>{n\choose 0}+{n\choose 2}+\ldots+{n\choose 2\lfloor n/2\rfloor}=2^{n-1}.</math>
• <math>\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}</math>

или, в более общем виде,

<math>\sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}\,,</math>

Свёртка Вандермонда и следствия

• <math>\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{r\choose m+k}{s\choose n-k}={r+s\choose m+n}</math> (свёртка Вандермонда).
• <math>{n\choose 0}{a\choose a}-{n\choose 1}{a+1\choose a}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}{a+n\choose a}=(-1)^n{a\choose n}</math>.
• <math>\sum_{i=0}^{p} (-1)^i{p\choose i}\prod_{m=1}^{n} {i+s_m\choose s_m} =0</math>, если <math>\sum_{m=1}^n{s_m} <p </math>, — более общий вид тождества выше.
• <math>{n\choose 0}^2+{n\choose 1}^2+\ldots+{n\choose n}^2={2n\choose n}.</math>

Другие тождества

• <math>\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^{k-1}}{k}{m \choose k}=\sum_{k=1}^m \frac{1}{k} = H_m</math> — m-ое гармоническое число.
• Мультисекция ряда <math>(1+x)^n</math> даёт тождество, выражающее сумму биномиальных коэффициентов с произвольным шагом s и смещением t <math>(0\leqslant t<s)</math> в виде замкнутой суммы из s слагаемых:

<math>\binom{n}{t}+\binom{n}{t+s}+\binom{n}{t+2s}+\ldots=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}{s}\right)^n\cos\frac{\pi(n-2t)j}{s}.</math>

Матричные соотношения

Если взять квадратную матрицу, отсчитав N элементов по катетам треугольника Паскаля и повернув матрицу на любой из четырёх углов, то детерминант этих четырёх матриц равен ±1 при любом N, причём детерминант матрицы с вершиной треугольника в верхнем левом углу равен 1.

В матрице <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math> числа на диагонали i + j = const повторяют числа строк треугольника Паскаля (i, j = 0,1,…). Её можно разложить в произведение двух строго диагональных матриц: нижнетреугольной и получаемой из неё транспонированием. А именно:

<math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix} = UU^T,</math>

где <math>U=\begin{bmatrix}\tbinom{i}{j}\end{bmatrix}</math>. Обратная матрица к U имеет вид:

<math> U^{-1}=\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}\binom{i}{j}\end{bmatrix}.</math>

Таким образом, можно разложить обратную матрицу к <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math> в произведение двух строго диагональных матриц: первая матрица — верхнетреугольная, а вторая получается из первой путём транспонирования, что позволяет дать явное выражение для обратных элементов:

<math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}=\sum_{k=0}^{p}(-1)^{m+n}\binom{k}{m}\binom{k}{n}</math>, где i, j , m, n = 0..p.

Элементы обратной матрицы меняются при изменении её размера и, в отличие от матрицы <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math>, недостаточно приписать новую строку и столбец. Столбец j матрицы <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math> есть многочлен степени j по аргументу i, следовательно, первые p столбцов образуют полный базис в пространстве векторов длины p+1, чьи координаты могут быть интерполированы многочленом равной или меньшей степени p-1. Нижняя строка матрицы <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> ортогональна любому такому вектору.

<math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{p,n}=\sum_{k=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{k}{p}\binom{k}{n} = (-1)^{p+n}\binom{p}{n}</math>

<math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{P}_{a}(n) = 0</math> при <math>a<p</math>, где <math>{P}_{a}(n)</math> многочлен степени a.

Если произвольный вектор длины <math>p+1</math> можно интерполировать многочленом степени <math>i < p</math>, то скалярное произведение со строками <math>i+1, i+2, \dots, p</math> (нумерация с 0) матрицы <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> равно нулю. Используя тождество выше и равенство единицы скалярного произведения нижней строки матрицы <math>\begin{bmatrix}\binom{i+j}{i}\end{bmatrix}^{-1}_{m,n}</math> на последний столбец матрицы <math>\begin{bmatrix}\tbinom{i+j}{i}\end{bmatrix}</math>, получаем:

<math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{n}^{p} = p!.</math>

Для показателя большего p можно задать рекуррентную формулу:

<math>\sum_{n=0}^{p}(-1)^{p+n}\binom{p}{n}{n}^{p+a} = p!{P}_{2a}(p)={f}_{a}(p),</math>

где многочлен

<math>{P}_{2a+2}(p) = \sum_{x=1}^{p} x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad {P}_{0}(p)=1.</math>

Для доказательства сперва доказывается тождество:

<math>{f}_{a}(p+1)=\sum_{x=0}^{a} {(p+1)}^{x+1}{f}_{a-x}(p).</math>

Если требуется найти формулу не для всех показателей степени, то

<math>{P}_{2a}(p) = \frac{p}{{2}^{a}}\binom{p+a}{a}{Q}_{a-1}(p);\quad a>0.</math>

Старший коэффициент <math> {Q}_{a-1}(p)</math> равен 1, потребуется a-1 значений, чтобы найти другие коэффициенты:

<math> {Q}_{a-1}(p)=p(p+1){T}_{a-3}(p)</math> для <math>a\equiv 1\pmod{2}; a\geqslant 3.</math>

Асимптотика и оценки

• <math>\binom{2n}{n}\sim\frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}.</math>
• <math>\sum^{m}_{k=0} \binom{n}{k}\leqslant\frac{n}{(n/2-m)^2}2^{n-3}</math> при <math>m<\frac{n}{2}</math> (неравенство Чебышёва).
• <math>\sum\limits_{k=0}^{m} \binom{n}{k}\leqslant 2^{nH(\frac{m}{n})}</math>, при <math>m \le \frac{n}{2}</math> (энтропийная оценка), где <math>H(x)=-x\log_2x-(1-x)\log_2(1-x)</math> — энтропия.
• <math>\sum^{n/2-\lambda}_{k=0} \binom{n}{k}\leqslant 2^ne^{-2\lambda^2/n}</math> (неравенство Чернова).

Непосредственно из формулы Стирлинга следует, что для <math>\alpha \in (0;1)</math> верно <math>C_n^{\alpha n} \sim \sqrt{\frac{1}{2 \pi \alpha (1-\alpha) n}} \left({\frac{1}{\alpha}}\right)^{\alpha n} \left({\frac{1}{1-\alpha}}\right)^{(1-\alpha)n} = \left({\frac{1}{\alpha^\alpha {(1-\alpha)}^{(1-\alpha)}} + o(1)}\right)^{n}</math>.

Целозначные полиномы

Нетрудно видеть, что биномиальные коэффициенты <math>\tbinom{x}{0}=1, \tbinom{x}{1}=x, \tbinom{x}{2}=\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2}, \dots</math> являются целозначными полиномами от <math>x</math>, т.е. принимают целые значения при целых значениях <math>x</math>. Более того, они образуют базис целозначных полиномов, в котором все целозначные полиномы выражаются как линейные комбинации с целыми коэффициентами.

В то же время стандартный базис <math>1, x, x^2, \dots</math> не позволяет выразить все целочисленные полиномы, используя только целые коэффициенты, так как уже <math>\tbinom{x}{2}=\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x}{2}</math> имеет дробные коэффициенты при степенях <math>x</math>.

Этот результат обобщается на полиномы многих переменных. А именно, если полином <math>R(x_1, \dots, x_m)</math> степени <math>k</math> имеет вещественные коэффициенты и принимает целые значения при целых значениях переменных, то

<math>R(x_1, \dots, x_m) = P\left(\binom{x_1}{1}, \dots, \binom{x_1}{k}, \dots, \binom{x_m}{1}, \dots, \binom{x_m}{k}\right),</math>

где <math>P</math> — полином с целыми коэффициентами.

Алгоритмы вычисления

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы <math>\tbinom{n}{k}=\tbinom{n-1}{k}+\tbinom{n-1}{k-1}</math>, если на каждом шаге хранить значения <math>\tbinom{n}{k}</math> при <math>k=0,\;1,\;\ldots,\;n</math>. Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения <math>\tbinom{n}{k}</math> при фиксированном <math>n</math>. Алгоритм требует <math>O(n)</math> памяти (<math>O(n^2)</math> при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и <math>O(n^2)</math> времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

При фиксированном значении k биномиальные коэффициенты могут быть вычислены по рекуррентной формуле <math>\tbinom{n}{k}=\tfrac{n}{n-k}\cdot\tbinom{n-1}{k}</math> с начальным значением <math>\tbinom{k}{k}=1</math>. Для вычисления значения <math>\tbinom{n}{k}</math> этот метод требует <math>O(1)</math> памяти и <math>O(n)</math> времени.

Если требуется вычислить коэффициенты <math>\tbinom{n}{k}</math> при фиксированном значении <math>n</math> можно воспользоваться формулой <math>\tbinom{n}{k}=\tfrac{n-k+1}{k}\cdot\tbinom{n}{k-1}</math> при начальном задании <math>\tbinom{n}{0}=1</math>. При каждом шаге итерации числитель уменьшается на <math>1</math> (начальное значение <math>n</math>), а знаменатель соответственно увеличивается на <math>1</math> (начальное значение <math>1</math>). Для вычисления значения <math>\tbinom{n}{k}</math> этот метод требует <math>O(1)</math> памяти и <math>O(k)</math> времени.

См. также

• Биномиальное распределение
• Бином Ньютона
• История комбинаторики
• Композиция (теория чисел)
• Разбиение числа
• Треугольник Паскаля
• Треугольное число
• Теорема Люка

Литература

• Биномиальные коэффициенты // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Фукс Д., Фукс М. [kvant.mccme.ru/1970/06/arifmetika_binomialnyh_koeffic.htm Арифметика биномиальных коэффициентов] // Квант. — 1970. — № 6. — С. 17—25.
• Кузьмин О. В. [www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/0005_101.pdf Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения] // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 5. — С. 101—109.
• Ландо С. К. [www.mccme.ru/dubna/2008/notes/Lando/Umbral.pdf Теневое исчисление] // VIII летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• Винберг Э. Б. [mi.mathnet.ru/mp237 Удивительные арифметические свойства биномиальных коэффициентов] // Математическое просвещение. — 2008. — Вып. 12. — С. 33–42.
• Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Математические основы информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. — 2-е. — М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний; «Вильямс», 1998 — 2009. — 703, 784 с. — ISBN 95-94774-560-7, 78-5-8459-1588-7.

Отрывок, характеризующий Биномиальный коэффициент

На другой день были у фельдмаршала обед и бал, которые государь удостоил своим присутствием. Кутузову пожалован Георгий 1 й степени; государь оказывал ему высочайшие почести; но неудовольствие государя против фельдмаршала было известно каждому. Соблюдалось приличие, и государь показывал первый пример этого; но все знали, что старик виноват и никуда не годится. Когда на бале Кутузов, по старой екатерининской привычке, при входе государя в бальную залу велел к ногам его повергнуть взятые знамена, государь неприятно поморщился и проговорил слова, в которых некоторые слышали: «старый комедиант».
Неудовольствие государя против Кутузова усилилось в Вильне в особенности потому, что Кутузов, очевидно, не хотел или не мог понимать значение предстоящей кампании.
Когда на другой день утром государь сказал собравшимся у него офицерам: «Вы спасли не одну Россию; вы спасли Европу», – все уже тогда поняли, что война не кончена.
Один Кутузов не хотел понимать этого и открыто говорил свое мнение о том, что новая война не может улучшить положение и увеличить славу России, а только может ухудшить ее положение и уменьшить ту высшую степень славы, на которой, по его мнению, теперь стояла Россия. Он старался доказать государю невозможность набрания новых войск; говорил о тяжелом положении населений, о возможности неудач и т. п.
При таком настроении фельдмаршал, естественно, представлялся только помехой и тормозом предстоящей войны.
Для избежания столкновений со стариком сам собою нашелся выход, состоящий в том, чтобы, как в Аустерлице и как в начале кампании при Барклае, вынуть из под главнокомандующего, не тревожа его, не объявляя ему о том, ту почву власти, на которой он стоял, и перенести ее к самому государю.
С этою целью понемногу переформировался штаб, и вся существенная сила штаба Кутузова была уничтожена и перенесена к государю. Толь, Коновницын, Ермолов – получили другие назначения. Все громко говорили, что фельдмаршал стал очень слаб и расстроен здоровьем.
Ему надо было быть слабым здоровьем, для того чтобы передать свое место тому, кто заступал его. И действительно, здоровье его было слабо.
Как естественно, и просто, и постепенно явился Кутузов из Турции в казенную палату Петербурга собирать ополчение и потом в армию, именно тогда, когда он был необходим, точно так же естественно, постепенно и просто теперь, когда роль Кутузова была сыграна, на место его явился новый, требовавшийся деятель.
Война 1812 го года, кроме своего дорогого русскому сердцу народного значения, должна была иметь другое – европейское.
За движением народов с запада на восток должно было последовать движение народов с востока на запад, и для этой новой войны нужен был новый деятель, имеющий другие, чем Кутузов, свойства, взгляды, движимый другими побуждениями.
Александр Первый для движения народов с востока на запад и для восстановления границ народов был так же необходим, как необходим был Кутузов для спасения и славы России.
Кутузов не понимал того, что значило Европа, равновесие, Наполеон. Он не мог понимать этого. Представителю русского народа, после того как враг был уничтожен, Россия освобождена и поставлена на высшую степень своей славы, русскому человеку, как русскому, делать больше было нечего. Представителю народной войны ничего не оставалось, кроме смерти. И он умер.


Пьер, как это большею частью бывает, почувствовал всю тяжесть физических лишений и напряжений, испытанных в плену, только тогда, когда эти напряжения и лишения кончились. После своего освобождения из плена он приехал в Орел и на третий день своего приезда, в то время как он собрался в Киев, заболел и пролежал больным в Орле три месяца; с ним сделалась, как говорили доктора, желчная горячка. Несмотря на то, что доктора лечили его, пускали кровь и давали пить лекарства, он все таки выздоровел.
Все, что было с Пьером со времени освобождения и до болезни, не оставило в нем почти никакого впечатления. Он помнил только серую, мрачную, то дождливую, то снежную погоду, внутреннюю физическую тоску, боль в ногах, в боку; помнил общее впечатление несчастий, страданий людей; помнил тревожившее его любопытство офицеров, генералов, расспрашивавших его, свои хлопоты о том, чтобы найти экипаж и лошадей, и, главное, помнил свою неспособность мысли и чувства в то время. В день своего освобождения он видел труп Пети Ростова. В тот же день он узнал, что князь Андрей был жив более месяца после Бородинского сражения и только недавно умер в Ярославле, в доме Ростовых. И в тот же день Денисов, сообщивший эту новость Пьеру, между разговором упомянул о смерти Элен, предполагая, что Пьеру это уже давно известно. Все это Пьеру казалось тогда только странно. Он чувствовал, что не может понять значения всех этих известий. Он тогда торопился только поскорее, поскорее уехать из этих мест, где люди убивали друг друга, в какое нибудь тихое убежище и там опомниться, отдохнуть и обдумать все то странное и новое, что он узнал за это время. Но как только он приехал в Орел, он заболел. Проснувшись от своей болезни, Пьер увидал вокруг себя своих двух людей, приехавших из Москвы, – Терентия и Ваську, и старшую княжну, которая, живя в Ельце, в имении Пьера, и узнав о его освобождении и болезни, приехала к нему, чтобы ходить за ним.
Во время своего выздоровления Пьер только понемногу отвыкал от сделавшихся привычными ему впечатлений последних месяцев и привыкал к тому, что его никто никуда не погонит завтра, что теплую постель его никто не отнимет и что у него наверное будет обед, и чай, и ужин. Но во сне он еще долго видел себя все в тех же условиях плена. Так же понемногу Пьер понимал те новости, которые он узнал после своего выхода из плена: смерть князя Андрея, смерть жены, уничтожение французов.
Радостное чувство свободы – той полной, неотъемлемой, присущей человеку свободы, сознание которой он в первый раз испытал на первом привале, при выходе из Москвы, наполняло душу Пьера во время его выздоровления. Он удивлялся тому, что эта внутренняя свобода, независимая от внешних обстоятельств, теперь как будто с излишком, с роскошью обставлялась и внешней свободой. Он был один в чужом городе, без знакомых. Никто от него ничего не требовал; никуда его не посылали. Все, что ему хотелось, было у него; вечно мучившей его прежде мысли о жене больше не было, так как и ее уже не было.
– Ах, как хорошо! Как славно! – говорил он себе, когда ему подвигали чисто накрытый стол с душистым бульоном, или когда он на ночь ложился на мягкую чистую постель, или когда ему вспоминалось, что жены и французов нет больше. – Ах, как хорошо, как славно! – И по старой привычке он делал себе вопрос: ну, а потом что? что я буду делать? И тотчас же он отвечал себе: ничего. Буду жить. Ах, как славно!
То самое, чем он прежде мучился, чего он искал постоянно, цели жизни, теперь для него не существовало. Эта искомая цель жизни теперь не случайно не существовала для него только в настоящую минуту, но он чувствовал, что ее нет и не может быть. И это то отсутствие цели давало ему то полное, радостное сознание свободы, которое в это время составляло его счастие.
Он не мог иметь цели, потому что он теперь имел веру, – не веру в какие нибудь правила, или слова, или мысли, но веру в живого, всегда ощущаемого бога. Прежде он искал его в целях, которые он ставил себе. Это искание цели было только искание бога; и вдруг он узнал в своем плену не словами, не рассуждениями, но непосредственным чувством то, что ему давно уж говорила нянюшка: что бог вот он, тут, везде. Он в плену узнал, что бог в Каратаеве более велик, бесконечен и непостижим, чем в признаваемом масонами Архитектоне вселенной. Он испытывал чувство человека, нашедшего искомое у себя под ногами, тогда как он напрягал зрение, глядя далеко от себя. Он всю жизнь свою смотрел туда куда то, поверх голов окружающих людей, а надо было не напрягать глаз, а только смотреть перед собой.
Он не умел видеть прежде великого, непостижимого и бесконечного ни в чем. Он только чувствовал, что оно должно быть где то, и искал его. Во всем близком, понятном он видел одно ограниченное, мелкое, житейское, бессмысленное. Он вооружался умственной зрительной трубой и смотрел в даль, туда, где это мелкое, житейское, скрываясь в тумане дали, казалось ему великим и бесконечным оттого только, что оно было неясно видимо. Таким ему представлялась европейская жизнь, политика, масонство, философия, филантропия. Но и тогда, в те минуты, которые он считал своей слабостью, ум его проникал и в эту даль, и там он видел то же мелкое, житейское, бессмысленное. Теперь же он выучился видеть великое, вечное и бесконечное во всем, и потому естественно, чтобы видеть его, чтобы наслаждаться его созерцанием, он бросил трубу, в которую смотрел до сих пор через головы людей, и радостно созерцал вокруг себя вечно изменяющуюся, вечно великую, непостижимую и бесконечную жизнь. И чем ближе он смотрел, тем больше он был спокоен и счастлив. Прежде разрушавший все его умственные постройки страшный вопрос: зачем? теперь для него не существовал. Теперь на этот вопрос – зачем? в душе его всегда готов был простой ответ: затем, что есть бог, тот бог, без воли которого не спадет волос с головы человека.


Пьер почти не изменился в своих внешних приемах. На вид он был точно таким же, каким он был прежде. Так же, как и прежде, он был рассеян и казался занятым не тем, что было перед глазами, а чем то своим, особенным. Разница между прежним и теперешним его состоянием состояла в том, что прежде, когда он забывал то, что было перед ним, то, что ему говорили, он, страдальчески сморщивши лоб, как будто пытался и не мог разглядеть чего то, далеко отстоящего от него. Теперь он так же забывал то, что ему говорили, и то, что было перед ним; но теперь с чуть заметной, как будто насмешливой, улыбкой он всматривался в то самое, что было перед ним, вслушивался в то, что ему говорили, хотя очевидно видел и слышал что то совсем другое. Прежде он казался хотя и добрым человеком, но несчастным; и потому невольно люди отдалялись от него. Теперь улыбка радости жизни постоянно играла около его рта, и в глазах его светилось участие к людям – вопрос: довольны ли они так же, как и он? И людям приятно было в его присутствии.
Прежде он много говорил, горячился, когда говорил, и мало слушал; теперь он редко увлекался разговором и умел слушать так, что люди охотно высказывали ему свои самые задушевные тайны.
Княжна, никогда не любившая Пьера и питавшая к нему особенно враждебное чувство с тех пор, как после смерти старого графа она чувствовала себя обязанной Пьеру, к досаде и удивлению своему, после короткого пребывания в Орле, куда она приехала с намерением доказать Пьеру, что, несмотря на его неблагодарность, она считает своим долгом ходить за ним, княжна скоро почувствовала, что она его любит. Пьер ничем не заискивал расположения княжны. Он только с любопытством рассматривал ее. Прежде княжна чувствовала, что в его взгляде на нее были равнодушие и насмешка, и она, как и перед другими людьми, сжималась перед ним и выставляла только свою боевую сторону жизни; теперь, напротив, она чувствовала, что он как будто докапывался до самых задушевных сторон ее жизни; и она сначала с недоверием, а потом с благодарностью выказывала ему затаенные добрые стороны своего характера.
Самый хитрый человек не мог бы искуснее вкрасться в доверие княжны, вызывая ее воспоминания лучшего времени молодости и выказывая к ним сочувствие. А между тем вся хитрость Пьера состояла только в том, что он искал своего удовольствия, вызывая в озлобленной, cyхой и по своему гордой княжне человеческие чувства.
– Да, он очень, очень добрый человек, когда находится под влиянием не дурных людей, а таких людей, как я, – говорила себе княжна.
Перемена, происшедшая в Пьере, была замечена по своему и его слугами – Терентием и Васькой. Они находили, что он много попростел. Терентий часто, раздев барина, с сапогами и платьем в руке, пожелав покойной ночи, медлил уходить, ожидая, не вступит ли барин в разговор. И большею частью Пьер останавливал Терентия, замечая, что ему хочется поговорить.
– Ну, так скажи мне… да как же вы доставали себе еду? – спрашивал он. И Терентий начинал рассказ о московском разорении, о покойном графе и долго стоял с платьем, рассказывая, а иногда слушая рассказы Пьера, и, с приятным сознанием близости к себе барина и дружелюбия к нему, уходил в переднюю.
Доктор, лечивший Пьера и навещавший его каждый день, несмотря на то, что, по обязанности докторов, считал своим долгом иметь вид человека, каждая минута которого драгоценна для страждущего человечества, засиживался часами у Пьера, рассказывая свои любимые истории и наблюдения над нравами больных вообще и в особенности дам.