Алгебра над полем

Эта статья — о векторном пространстве, снабженном произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над полем — это векторное пространство, снабженное билинейным произведением. Это значит, что алгебра над полем является одновременно векторным пространством и кольцом, причём эти структуры согласованы. Обобщением этого понятия является алгебра над кольцом, которая, вообще говоря, является не векторным пространством, а модулем над некоторым кольцом.

Алгебра называется ассоциативной, если операция умножения в ней ассоциативна; соответственно, алгебра с единицей — алгебра, в которой существует нейтральный относительно умножения элемент. В некоторых учебниках под словом «алгебра» подразумевается «ассоциативная алгебра», однако неассоциативные алгебры также представляют определённую важность.

Определение

Пусть A — векторное пространство над полем K, снабженное операцией <math>A\times A\to A</math>, называемой умножением. Тогда A является алгеброй над K, если для любых <math>x,y,z\in A, \; a,b\in K</math> выполняются следующие свойства:

• <math>(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z</math>
• <math>x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z</math>
• <math>(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)</math>.

Эти три свойства можно выразить одним словом, сказав, что операция умножения является билинейной. В случае алгебр с единицей часто дают следующее эквивалентное определение:

Алгебра с единицей над полем K — это кольцо с единицей A, снабженное гомоморфизмом колец с единицей <math>f:K\to A</math>, таким, что <math>f(K)</math> принадлежит центру кольца A (то есть множеству элементов, коммутирующих по умножению со всеми остальными элементами). После этого можно считать, что A является векторным пространством над K со следующей операцией умножения на скаляр <math>\alpha\in K</math>: <math>\alpha x=f(\alpha)\cdot x.</math>

Связанные определения

• Гомоморфизм K-алгебр — это K-линейное отображение, такое что <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> для любых <math>a,b</math> из области определения.
• Подалгебра алгебры над полем K — это линейное подпространство, такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит.
• Левый идеал K-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения идеала кольца — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.
• Алгебра с делением — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов <math>a\neq 0</math> и <math>b</math> уравнения <math>ax=b</math> и <math>ya=b</math> разрешимы. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является телом.
• Центр алгебры А — это множество элементов <math>a \in A</math>, таких что <math>x a = a x</math> для любого элемента <math>x \in A</math>.

Примеры

Ассоциативные алгебры

• Комплексные числа естественным образом являются двумерной алгеброй над вещественными числами.
• Кватернионы являются четырёхмерной алгеброй над вещественными числами.
• Предыдущие два примера являются полем и телом соответственно, и это не случайно: любая конечномерная алгебра над полем, не имеющая делителей нуля, является алгеброй с делением. Действительно, умножение на x слева является линейным преобразованием этой алгебры как векторного пространства, у этого преобразования нулевое ядро (так как x не является делителем нуля), следовательно, оно сюръективно; в частности, существует прообраз произвольного элемента b, то есть такой элемент y, что xy = b. Второе условие доказывается аналогично.
• Коммутативная (и бесконечномерная) алгебра многочленов K[x].
• Алгебры функций, такие как R-алгебра вещественнозначных непрерывных функций, определённых на интервале (0, 1) или C-алгебра голоморфных функций, определенных на зафиксированном открытом подмножестве комплексной плоскости.
• Алгебры линейных операторов на гильбертовом пространстве.

Неассоциативные алгебры

• Алгебры Кэли, или октавы.
• Общие алгебры Ли.
• Йордановы алгебры.
• Альтернативные алгебры.

Структурные коэффициенты

Умножение в алгебре над полем однозначно задаётся произведениями базисных векторов. Таким образом, для задания алгебры над полем K достаточно указать её размерность <math>n</math> и <math>n^3</math> структурных коэффициентов <math>c_{i,j,k}</math>, являющихся элементами поля. Эти коэффициенты определяются следующим образом:

<math>\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}</math>

где <math>(e_1,e_2,\ldots e_n)</math> — некоторый базис A. Различные множества структурных коэффициентов могут соответствовать изоморфным алгебрам.

Если K — только коммутативное кольцо, а не поле, это описание возможно, только когда алгебра A является свободным модулем.

См. также

• Дифференциальная алгебра

Примечания

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. — ISBN 1-4020-2690-0

Отрывок, характеризующий Алгебра над полем

Офицер этот стал ходить к Пьеру, и княжна смеялась над теми нежными чувствами, которые выражал итальянец к Пьеру.
Итальянец, видимо, был счастлив только тогда, когда он мог приходить к Пьеру и разговаривать и рассказывать ему про свое прошедшее, про свою домашнюю жизнь, про свою любовь и изливать ему свое негодование на французов, и в особенности на Наполеона.
– Ежели все русские хотя немного похожи на вас, – говорил он Пьеру, – c'est un sacrilege que de faire la guerre a un peuple comme le votre. [Это кощунство – воевать с таким народом, как вы.] Вы, пострадавшие столько от французов, вы даже злобы не имеете против них.
И страстную любовь итальянца Пьер теперь заслужил только тем, что он вызывал в нем лучшие стороны его души и любовался ими.
Последнее время пребывания Пьера в Орле к нему приехал его старый знакомый масон – граф Вилларский, – тот самый, который вводил его в ложу в 1807 году. Вилларский был женат на богатой русской, имевшей большие имения в Орловской губернии, и занимал в городе временное место по продовольственной части.
Узнав, что Безухов в Орле, Вилларский, хотя и никогда не был коротко знаком с ним, приехал к нему с теми заявлениями дружбы и близости, которые выражают обыкновенно друг другу люди, встречаясь в пустыне. Вилларский скучал в Орле и был счастлив, встретив человека одного с собой круга и с одинаковыми, как он полагал, интересами.
Но, к удивлению своему, Вилларский заметил скоро, что Пьер очень отстал от настоящей жизни и впал, как он сам с собою определял Пьера, в апатию и эгоизм.
– Vous vous encroutez, mon cher, [Вы запускаетесь, мой милый.] – говорил он ему. Несмотря на то, Вилларскому было теперь приятнее с Пьером, чем прежде, и он каждый день бывал у него. Пьеру же, глядя на Вилларского и слушая его теперь, странно и невероятно было думать, что он сам очень недавно был такой же.
Вилларский был женат, семейный человек, занятый и делами имения жены, и службой, и семьей. Он считал, что все эти занятия суть помеха в жизни и что все они презренны, потому что имеют целью личное благо его и семьи. Военные, административные, политические, масонские соображения постоянно поглощали его внимание. И Пьер, не стараясь изменить его взгляд, не осуждая его, с своей теперь постоянно тихой, радостной насмешкой, любовался на это странное, столь знакомое ему явление.
В отношениях своих с Вилларским, с княжною, с доктором, со всеми людьми, с которыми он встречался теперь, в Пьере была новая черта, заслуживавшая ему расположение всех людей: это признание возможности каждого человека думать, чувствовать и смотреть на вещи по своему; признание невозможности словами разубедить человека. Эта законная особенность каждого человека, которая прежде волновала и раздражала Пьера, теперь составляла основу участия и интереса, которые он принимал в людях. Различие, иногда совершенное противоречие взглядов людей с своею жизнью и между собою, радовало Пьера и вызывало в нем насмешливую и кроткую улыбку.
В практических делах Пьер неожиданно теперь почувствовал, что у него был центр тяжести, которого не было прежде. Прежде каждый денежный вопрос, в особенности просьбы о деньгах, которым он, как очень богатый человек, подвергался очень часто, приводили его в безвыходные волнения и недоуменья. «Дать или не дать?» – спрашивал он себя. «У меня есть, а ему нужно. Но другому еще нужнее. Кому нужнее? А может быть, оба обманщики?» И из всех этих предположений он прежде не находил никакого выхода и давал всем, пока было что давать. Точно в таком же недоуменье он находился прежде при каждом вопросе, касающемся его состояния, когда один говорил, что надо поступить так, а другой – иначе.
Теперь, к удивлению своему, он нашел, что во всех этих вопросах не было более сомнений и недоумений. В нем теперь явился судья, по каким то неизвестным ему самому законам решавший, что было нужно и чего не нужно делать.
Он был так же, как прежде, равнодушен к денежным делам; но теперь он несомненно знал, что должно сделать и чего не должно. Первым приложением этого нового судьи была для него просьба пленного французского полковника, пришедшего к нему, много рассказывавшего о своих подвигах и под конец заявившего почти требование о том, чтобы Пьер дал ему четыре тысячи франков для отсылки жене и детям. Пьер без малейшего труда и напряжения отказал ему, удивляясь впоследствии, как было просто и легко то, что прежде казалось неразрешимо трудным. Вместе с тем тут же, отказывая полковнику, он решил, что необходимо употребить хитрость для того, чтобы, уезжая из Орла, заставить итальянского офицера взять денег, в которых он, видимо, нуждался. Новым доказательством для Пьера его утвердившегося взгляда на практические дела было его решение вопроса о долгах жены и о возобновлении или невозобновлении московских домов и дач.
В Орел приезжал к нему его главный управляющий, и с ним Пьер сделал общий счет своих изменявшихся доходов. Пожар Москвы стоил Пьеру, по учету главно управляющего, около двух миллионов.
Главноуправляющий, в утешение этих потерь, представил Пьеру расчет о том, что, несмотря на эти потери, доходы его не только не уменьшатся, но увеличатся, если он откажется от уплаты долгов, оставшихся после графини, к чему он не может быть обязан, и если он не будет возобновлять московских домов и подмосковной, которые стоили ежегодно восемьдесят тысяч и ничего не приносили.