Кольцо многочленов

В общей алгебре, кольцо многочленов — это кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

<math>p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0,</math>

где p₀, …, p_m — элементы k, коэффициенты p, а x, x ², … — формальные символы («степени x»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p_kx ^k с нулевым коэффициентом p_k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

<math>p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0 = \sum_{k=0}^m p_k x^k.</math>

Кольцо многочленов k[x]

Легко видеть, что множество всех многочленов с коэффициентами в K образует коммутативное кольцо, обозначаемое k[x] и называемое кольцом многочленов над k. Символ x обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над R или над C. Однако в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем <math>\mathbb F_p </math> из простого числа элементов многочлены <math>x</math> и <math>x^p</math> задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную x нельзя считать принадлежащей полю k; о кольце k[x] можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент x и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы x коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля k, оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем k. Если рассматривать k[x] как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов 1, x, x² и т. д.

Разложение на простые в k[x]

В кольце k[x] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что k[x] — область главных идеалов.

Факторкольца k[x]

Рассмотрим коммутативное кольцо L, содержащее поле k, такое что существует элемент θ кольца L, причем L порождается θ над k, то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k[x] в L, «сохраняющий» k и отправляющий x в θ. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получаем, что L изоморфно факторкольцу k[x] по ядру φ; поскольку любой идеал в k[x] главный,

<math> L \simeq k[x]/(p). </math>

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k, само является полем; обозначим его K. Простота фактормодуля по <math> (p) </math> равносильна неприводимости <math>p</math>. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над R элементом i, таким что i² + 1 = 0. Соответственно, многочлен x² + 1 неприводим над R и

<math> \mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[x]/(X^2+1). </math>

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A, содержащего k и элемента a кольца A, коммутирующего со всеми элементами k, существует единственный гомоморфизм колец из k[x] в A, отправляющий x в a:

<math> \phi: k[x]\to A, \quad \phi(x)=a.</math>

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули

k[x] — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над k[x] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R[x] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Кольцо многочленов от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

<math> X^\alpha = \prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_i} =

X_1^{\alpha_1}\ldots X_n^{\alpha_n}, \quad p_\alpha = p_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\in\mathbb{K}.\ </math>

X^α называется одночленом степени <math> |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i</math>. Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: <math>\sum_\alpha p_\alpha X^\alpha </math>.

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x₁,…, x_n]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x₁, x₂] изоморфно k[x₁][x₂], как и k[x₂][x₁]. Это кольцо игрет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями kⁿ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

• (слабая форма, алгебраически замкнутое поле) Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Тогда любой максимальный идеал m кольца k[x₁,…, x_n] имеет вид

<math> m = (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n), \quad a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n. </math>

• (слабая форма, любое поле коэффициентов) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k и I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в Kⁿ.
• (сильная форма) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n] и V(I) — алгебраическое подмногообразие, Kⁿ определенное I. Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V(I). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I.

Если использовать определение радикала идеала, эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I. Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями n-мерного аффинного пространства Kⁿ.

См. также

• Формальный степенной ряд
• Ряд Лорана

Литература

• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95325-0 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag — ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556
• Osborne, M. Scott (2000), Basic homological algebra, vol. 196, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1757274 1757274], ISBN 978-0-387-98934-1 

Отрывок, характеризующий Кольцо многочленов

– Куда головой лежит? – спросил Николай, подъезжая шагов на сто к подозрившему охотнику. Но не успел еще охотник отвечать, как русак, чуя мороз к завтрашнему утру, не вылежал и вскочил. Стая гончих на смычках, с ревом, понеслась под гору за зайцем; со всех сторон борзые, не бывшие на сворах, бросились на гончих и к зайцу. Все эти медленно двигавшиеся охотники выжлятники с криком: стой! сбивая собак, борзятники с криком: ату! направляя собак – поскакали по полю. Спокойный Илагин, Николай, Наташа и дядюшка летели, сами не зная как и куда, видя только собак и зайца, и боясь только потерять хоть на мгновение из вида ход травли. Заяц попался матёрый и резвый. Вскочив, он не тотчас же поскакал, а повел ушами, прислушиваясь к крику и топоту, раздавшемуся вдруг со всех сторон. Он прыгнул раз десять не быстро, подпуская к себе собак, и наконец, выбрав направление и поняв опасность, приложил уши и понесся во все ноги. Он лежал на жнивьях, но впереди были зеленя, по которым было топко. Две собаки подозрившего охотника, бывшие ближе всех, первые воззрились и заложились за зайцем; но еще далеко не подвинулись к нему, как из за них вылетела Илагинская краснопегая Ерза, приблизилась на собаку расстояния, с страшной быстротой наддала, нацелившись на хвост зайца и думая, что она схватила его, покатилась кубарем. Заяц выгнул спину и наддал еще шибче. Из за Ерзы вынеслась широкозадая, чернопегая Милка и быстро стала спеть к зайцу.
– Милушка! матушка! – послышался торжествующий крик Николая. Казалось, сейчас ударит Милка и подхватит зайца, но она догнала и пронеслась. Русак отсел. Опять насела красавица Ерза и над самым хвостом русака повисла, как будто примеряясь как бы не ошибиться теперь, схватить за заднюю ляжку.
– Ерзанька! сестрица! – послышался плачущий, не свой голос Илагина. Ерза не вняла его мольбам. В тот самый момент, как надо было ждать, что она схватит русака, он вихнул и выкатил на рубеж между зеленями и жнивьем. Опять Ерза и Милка, как дышловая пара, выровнялись и стали спеть к зайцу; на рубеже русаку было легче, собаки не так быстро приближались к нему.
– Ругай! Ругаюшка! Чистое дело марш! – закричал в это время еще новый голос, и Ругай, красный, горбатый кобель дядюшки, вытягиваясь и выгибая спину, сравнялся с первыми двумя собаками, выдвинулся из за них, наддал с страшным самоотвержением уже над самым зайцем, сбил его с рубежа на зеленя, еще злей наддал другой раз по грязным зеленям, утопая по колена, и только видно было, как он кубарем, пачкая спину в грязь, покатился с зайцем. Звезда собак окружила его. Через минуту все стояли около столпившихся собак. Один счастливый дядюшка слез и отпазанчил. Потряхивая зайца, чтобы стекала кровь, он тревожно оглядывался, бегая глазами, не находя положения рукам и ногам, и говорил, сам не зная с кем и что.
«Вот это дело марш… вот собака… вот вытянул всех, и тысячных и рублевых – чистое дело марш!» говорил он, задыхаясь и злобно оглядываясь, как будто ругая кого то, как будто все были его враги, все его обижали, и только теперь наконец ему удалось оправдаться. «Вот вам и тысячные – чистое дело марш!»
– Ругай, на пазанку! – говорил он, кидая отрезанную лапку с налипшей землей; – заслужил – чистое дело марш!
– Она вымахалась, три угонки дала одна, – говорил Николай, тоже не слушая никого, и не заботясь о том, слушают ли его, или нет.
– Да это что же в поперечь! – говорил Илагинский стремянный.
– Да, как осеклась, так с угонки всякая дворняшка поймает, – говорил в то же время Илагин, красный, насилу переводивший дух от скачки и волнения. В то же время Наташа, не переводя духа, радостно и восторженно визжала так пронзительно, что в ушах звенело. Она этим визгом выражала всё то, что выражали и другие охотники своим единовременным разговором. И визг этот был так странен, что она сама должна бы была стыдиться этого дикого визга и все бы должны были удивиться ему, ежели бы это было в другое время.
Дядюшка сам второчил русака, ловко и бойко перекинул его через зад лошади, как бы упрекая всех этим перекидыванием, и с таким видом, что он и говорить ни с кем не хочет, сел на своего каураго и поехал прочь. Все, кроме его, грустные и оскорбленные, разъехались и только долго после могли притти в прежнее притворство равнодушия. Долго еще они поглядывали на красного Ругая, который с испачканной грязью, горбатой спиной, побрякивая железкой, с спокойным видом победителя шел за ногами лошади дядюшки.
«Что ж я такой же, как и все, когда дело не коснется до травли. Ну, а уж тут держись!» казалось Николаю, что говорил вид этой собаки.
Когда, долго после, дядюшка подъехал к Николаю и заговорил с ним, Николай был польщен тем, что дядюшка после всего, что было, еще удостоивает говорить с ним.


Когда ввечеру Илагин распростился с Николаем, Николай оказался на таком далеком расстоянии от дома, что он принял предложение дядюшки оставить охоту ночевать у него (у дядюшки), в его деревеньке Михайловке.
– И если бы заехали ко мне – чистое дело марш! – сказал дядюшка, еще бы того лучше; видите, погода мокрая, говорил дядюшка, отдохнули бы, графинечку бы отвезли в дрожках. – Предложение дядюшки было принято, за дрожками послали охотника в Отрадное; а Николай с Наташей и Петей поехали к дядюшке.
Человек пять, больших и малых, дворовых мужчин выбежало на парадное крыльцо встречать барина. Десятки женщин, старых, больших и малых, высунулись с заднего крыльца смотреть на подъезжавших охотников. Присутствие Наташи, женщины, барыни верхом, довело любопытство дворовых дядюшки до тех пределов, что многие, не стесняясь ее присутствием, подходили к ней, заглядывали ей в глаза и при ней делали о ней свои замечания, как о показываемом чуде, которое не человек, и не может слышать и понимать, что говорят о нем.
– Аринка, глянь ка, на бочькю сидит! Сама сидит, а подол болтается… Вишь рожок!
– Батюшки светы, ножик то…
– Вишь татарка!
– Как же ты не перекувыркнулась то? – говорила самая смелая, прямо уж обращаясь к Наташе.
Дядюшка слез с лошади у крыльца своего деревянного заросшего садом домика и оглянув своих домочадцев, крикнул повелительно, чтобы лишние отошли и чтобы было сделано всё нужное для приема гостей и охоты.
Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.