Игра «Ястребы и голуби»

Игра «Ястребы и голуби» (англ. Hawks and Doves) — одна из простейших моделей теории игр, описывающая конкурентные отношения в некоторой популяции животных и выработку эволюционно стабильной стратегии.

Правила игры

Представим себе популяцию животных, в которой отдельные особи конкурируют между собой за некоторый ресурс. В простейшем случае это могут быть брачные турниры самцов за право спариться с самкой. Поскольку в брачном турнире участвуют два самца, турнир можно представить как игру двух участников. Предположим, что по темпераменту самцы распадаются на две группы – условно назовём их «Голуби» и «Ястребы». Эти названия не имеют отношения к конкретному виду животного, а понимаются в переносном смысле: ястребы как символ агрессивности, а голуби – как символ миролюбия. В действительности эти названия не имеют ничего общего с реальностью: в природе голуби (так же как и любые другие животные) достаточно агрессивны.

Особи каждой группы обладают следующими особенностями. Ястребы всегда дерутся до победы и отступают только в том случае, если получат серьёзные увечья. Голуби ограничиваются угрозами и демонстрацией агрессивности, стремясь психологически подавить соперника, однако если дело доходит до настоящей схватки, они отступают.

Таким образом, если голубь дерётся с ястребом, победа достаётся ястребу, однако отступивший голубь не получает в схватке никаких повреждений и в принципе ничего не теряет. Если дерутся два голубя, то победа достаётся одному из них (тому, у кого крепче нервы), увечий никто из них не получает, однако оба затрачивают определённую энергию на длительное психологическое противостояние. Если дерутся два ястреба, то побеждает один из них, а для другого схватка заканчивается тяжёлыми увечьями.

Математическая формулировка

Чтобы перевести игру на язык математики, оценим результаты турнира в виде условных единиц (очков), полученных или потерянных участниками. Победу в турнире (возможность оставить потомство) оценим в V = 50 очков, проигрыш в L = 0 очков, получение тяжёлого увечья в W = –100 очков, а затраты энергии на длительное противостояние в E = –10 очков.

Тогда в схватке двух голубей один из них получает 50 очков выигрыша и, кроме того, оба растрачивают 10 очков в процессе длительного противостояния. Считая, что вероятность победы для каждого одинакова (т.е. 0.5), получим, что средний выигрыш голубя в схватке с другим голубем составит S(Г, Г) = 50∙0,5 – 10 = 15 очков.

В схватке двух ястребов каждый с вероятностью 0,5 получает выигрыш в 50 очков и с такой же вероятностью – увечье, которое мы оценили в –100 очков. Средний выигрыш составит S(Я, Я) = (50–100)∙0,5 = –25 очков.

В схватке голубя с ястребом голубь проигрывает и получает S(Г, Я) = 0 очков, ястреб выигрывает и получает S(Я, Г) = 50 очков.

Результаты турнира можно наглядно представить в виде так называемой платёжной матрицы:

	Голубь	Ястреб
Голубь	15	0
Ястреб	50	–25

Обозначим долю ястребов в популяции через z, тогда доля голубей составит 1–z. Если в схватке случайным образом участвуют два самца, то с вероятностью z² это два ястреба, с вероятностью (1–z)² – два голубя и с вероятностью 2z(1-z) – голубь против ястреба.

Найдём среднее количество очков, которое получают соперники в результате схватки.

Ястреб с вероятностью z дерётся с другим ястребом и получает в среднем –25 очков и с вероятностью 1–z с голубем и получает 50 очков. В среднем это составит

S_Я(z) = –25∙z + 50∙(1–z) = –25z + 50 – 50z = 50 – 75z.

Аналогично для голубя получим

S_Г(z) = 0∙z + 15∙(1–z) = 15 – 15z.

Построим графики этих уравнений в осях координат S – z.

Как видно из графика, линии выигрыша для голубей и ястребов пересекаются в некоторой точке, определяемой соотношением: 50 – 75z = 15 – 15z 60z = 35

z = 35/60 = 0,583…

Правее этой точки (т.е. при увеличении доли ястребов) преимущество имеют голуби, поэтому их относительное количество будет увеличиваться, тем самым уменьшая z. Левее этой точки (при уменьшении количества ястребов) ястребы имеют преимущество, поэтому их количество будет увеличиваться, тем самым увеличивая z. Таким образом, любое смещение z от точки равенства выигрышей голубей и ястребов вызывает процессы, которые стремятся вернуть популяцию в точку равновесия. Состояние популяции, соответствующее точке равновесия, называется эволюционно стабильной стратегией.

Формулировка в общем виде

Обозначим выигрыш в случае победы в турнире V, проигрыш L, ущерб от тяжёлого увечья W, и затраты энергии на длительное противостояние E.

Тогда элементы платёжной матрицы можно выразить следующими соотношениями:

<math>

S(D,D) = \frac{V-L}{2}-E; </math>

<math>

S(H,H) = \frac{V-W}{2}; </math>

<math>S(D,H) = -L;

</math>

<math>S(H,D) = V.

</math>

Платёжная матрица будет иметь вид:

	Голубь	Ястреб
Голубь	<math>\frac{V-L}{2}-E</math>	<math>-L</math>
Ястреб	<math>V</math>	<math>\frac{V-W}{2}</math>

Средний выигрыш ястребов при их доле в популяции z составит

<math>

S_H(z) = \frac{(V-W)z}{2}+V(1-z) = V-\frac{(V+W)z}{2}; </math>

а средний выигрыш голубей

<math>

S_D(z) = -Lz + \left( \frac{V-L}{2}-E \right)(1-z) = \frac{V-L}{2} - E - \left( \frac{V+L}{2}-E \right)z; </math>

Точка равновесия популяции будет достигнута при следующей доле ястребов:

<math>

V-\frac{(V+W)z}{2} = \frac{V-L}{2} - E - \left( \frac{V+L}{2}-E \right)z; </math>

<math>

\left( \frac{W-L}{2}+E \right)z = \frac{V+L}{2}+E; </math>

<math>

z = \frac{V+L+2E}{W-L+2E}. </math>

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Игра «Ястребы и голуби»

«Сами себя богу предадим, – повторила в своей душе Наташа. – Боже мой, предаю себя твоей воле, – думала она. – Ничего не хочу, не желаю; научи меня, что мне делать, куда употребить свою волю! Да возьми же меня, возьми меня! – с умиленным нетерпением в душе говорила Наташа, не крестясь, опустив свои тонкие руки и как будто ожидая, что вот вот невидимая сила возьмет ее и избавит от себя, от своих сожалений, желаний, укоров, надежд и пороков.
Графиня несколько раз во время службы оглядывалась на умиленное, с блестящими глазами, лицо своей дочери и молилась богу о том, чтобы он помог ей.
Неожиданно, в середине и не в порядке службы, который Наташа хорошо знала, дьячок вынес скамеечку, ту самую, на которой читались коленопреклоненные молитвы в троицын день, и поставил ее перед царскими дверьми. Священник вышел в своей лиловой бархатной скуфье, оправил волосы и с усилием стал на колена. Все сделали то же и с недоумением смотрели друг на друга. Это была молитва, только что полученная из Синода, молитва о спасении России от вражеского нашествия.
– «Господи боже сил, боже спасения нашего, – начал священник тем ясным, ненапыщенным и кротким голосом, которым читают только одни духовные славянские чтецы и который так неотразимо действует на русское сердце. – Господи боже сил, боже спасения нашего! Призри ныне в милости и щедротах на смиренные люди твоя, и человеколюбно услыши, и пощади, и помилуй нас. Се враг смущаяй землю твою и хотяй положити вселенную всю пусту, восста на ны; се людие беззаконии собрашася, еже погубити достояние твое, разорити честный Иерусалим твой, возлюбленную тебе Россию: осквернити храмы твои, раскопати алтари и поругатися святыне нашей. Доколе, господи, доколе грешницы восхвалятся? Доколе употребляти имать законопреступный власть?
Владыко господи! Услыши нас, молящихся тебе: укрепи силою твоею благочестивейшего, самодержавнейшего великого государя нашего императора Александра Павловича; помяни правду его и кротость, воздаждь ему по благости его, ею же хранит ны, твой возлюбленный Израиль. Благослови его советы, начинания и дела; утверди всемогущною твоею десницею царство его и подаждь ему победу на врага, яко же Моисею на Амалика, Гедеону на Мадиама и Давиду на Голиафа. Сохрани воинство его; положи лук медян мышцам, во имя твое ополчившихся, и препояши их силою на брань. Приими оружие и щит, и восстани в помощь нашу, да постыдятся и посрамятся мыслящий нам злая, да будут пред лицем верного ти воинства, яко прах пред лицем ветра, и ангел твой сильный да будет оскорбляяй и погоняяй их; да приидет им сеть, юже не сведают, и их ловитва, юже сокрыша, да обымет их; да падут под ногами рабов твоих и в попрание воем нашим да будут. Господи! не изнеможет у тебе спасати во многих и в малых; ты еси бог, да не превозможет противу тебе человек.
Боже отец наших! Помяни щедроты твоя и милости, яже от века суть: не отвержи нас от лица твоего, ниже возгнушайся недостоинством нашим, но помилуй нас по велицей милости твоей и по множеству щедрот твоих презри беззакония и грехи наша. Сердце чисто созижди в нас, и дух прав обнови во утробе нашей; всех нас укрепи верою в тя, утверди надеждою, одушеви истинною друг ко другу любовию, вооружи единодушием на праведное защищение одержания, еже дал еси нам и отцем нашим, да не вознесется жезл нечестивых на жребий освященных.
Господи боже наш, в него же веруем и на него же уповаем, не посрами нас от чаяния милости твоея и сотвори знамение во благо, яко да видят ненавидящий нас и православную веру нашу, и посрамятся и погибнут; и да уведят все страны, яко имя тебе господь, и мы людие твои. Яви нам, господи, ныне милость твою и спасение твое даждь нам; возвесели сердце рабов твоих о милости твоей; порази враги наши, и сокруши их под ноги верных твоих вскоре. Ты бо еси заступление, помощь и победа уповающим на тя, и тебе славу воссылаем, отцу и сыну и святому духу и ныне, и присно, и во веки веков. Аминь».
В том состоянии раскрытости душевной, в котором находилась Наташа, эта молитва сильно подействовала на нее. Она слушала каждое слово о победе Моисея на Амалика, и Гедеона на Мадиама, и Давида на Голиафа, и о разорении Иерусалима твоего и просила бога с той нежностью и размягченностью, которою было переполнено ее сердце; но не понимала хорошенько, о чем она просила бога в этой молитве. Она всей душой участвовала в прошении о духе правом, об укреплении сердца верою, надеждою и о воодушевлении их любовью. Но она не могла молиться о попрании под ноги врагов своих, когда она за несколько минут перед этим только желала иметь их больше, чтобы любить их, молиться за них. Но она тоже не могла сомневаться в правоте читаемой колено преклонной молитвы. Она ощущала в душе своей благоговейный и трепетный ужас перед наказанием, постигшим людей за их грехи, и в особенности за свои грехи, и просила бога о том, чтобы он простил их всех и ее и дал бы им всем и ей спокойствия и счастия в жизни. И ей казалось, что бог слышит ее молитву.