Итерационная формула Герона

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид <math>x_{n+1}=\frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>,

где a — фиксированное положительное число, а <math>x_1</math> — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе <math>x_1</math> быстро сходится к величине <math>\sqrt{a}</math> (квадратный корень из числа), то есть

<math>\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = \sqrt{a}</math>

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения <math>a - x^2 = 0</math>.

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения <math>\sqrt{25}</math> будет значение 3.

n	<math>x_n</math>	<math>x_{n+1} = \frac{1}{2}~\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right)\ </math>	Приблизительное значение <math>x_{n+1}</math>
1	3	<math>\frac{1}{2}~\left(3 + \frac{25}{3}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(3 + 8.33) = \frac{1}{2} \cdot 11.33 \approx 5.67 </math>
2	5.67	<math>\frac{1}{2}~\left(5.67 + \frac{25}{5.67}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5.67 + 4.41) = \frac{1}{2} \cdot 10.08 = 5.04 </math>
3	5.04	<math>\frac{1}{2}~\left(5.04 + \frac{25}{5.04}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5.04 + 4.96) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math>
4	5	<math>\frac{1}{2}~\left(5 + \frac{25}{5}\right)\ </math>	<math>\frac{1}{2}~(5 + 5) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 </math>

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

Литература

• www.mathpages.com/home/kmath190.htm
• books.google.ru/books?id=raKRY3KQspsC&pg=PA65&lpg=PA65&dq=heron+formula

Отрывок, характеризующий Итерационная формула Герона

– Посмотрите, князь, – сказал другой, которому очень хотелось взять еще пирожок, но совестно было, и который поэтому притворялся, что он оглядывает местность, – посмотрите ка, уж забрались туда наши пехотные. Вон там, на лужку, за деревней, трое тащут что то. .Они проберут этот дворец, – сказал он с видимым одобрением.
– И то, и то, – сказал Несвицкий. – Нет, а чего бы я желал, – прибавил он, прожевывая пирожок в своем красивом влажном рте, – так это вон туда забраться.
Он указывал на монастырь с башнями, видневшийся на горе. Он улыбнулся, глаза его сузились и засветились.
– А ведь хорошо бы, господа!
Офицеры засмеялись.
– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.