Квадрат (алгебра)

Квадра́т числа <math>x</math> — это результат умножения числа на себя: <math>x \cdot x</math>. Обозначение: <math>x^2</math>.

Вычисление <math>x^2</math> — это математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа <math>x</math> в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500...

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления

Квадрат натурального числа <math>n</math> можно представить в виде суммы первых <math>n</math> нечетных чисел:

1: <math>1 = 1</math>

2: <math>4 = 1 + 3</math>

…

7: <math>49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13</math>

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
<math>n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n</math>
Пример:

1: <math>1 = 1</math>

2: <math>4 = 1 + 1 + 2 </math>

…

4: <math>16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4</math>

…

Сумма квадратов первых <math>n</math> натуральных чисел вычисляется по формуле:
<math>\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac {n(n + 1)(2n + 1)} {6}</math>

Вывод  

{{{1}}}

Квадрат комплексного числа

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

<math>\left(a+bi\right)^2 = \left(a^2 - b^2\right) + 2abi.</math>

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

<math>\left(r\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^2 = r^2\left(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi}\right).</math>

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также

• Извлечение квадратного корня — обратная операция по отношению к возведению в квадрат.
• Куб числа
• Обобщение на более высокие степени [mathworld.wolfram.com/FaulhabersFormula.html на Вольфраме].

Отрывок, характеризующий Квадрат (алгебра)

Несколько офицеров подбежало к нему. С правой стороны живота расходилось по траве большое пятно крови.
Вызванные ополченцы с носилками остановились позади офицеров. Князь Андрей лежал на груди, опустившись лицом до травы, и, тяжело, всхрапывая, дышал.
– Ну что стали, подходи!
Мужики подошли и взяли его за плечи и ноги, но он жалобно застонал, и мужики, переглянувшись, опять отпустили его.
– Берись, клади, всё одно! – крикнул чей то голос. Его другой раз взяли за плечи и положили на носилки.
– Ах боже мой! Боже мой! Что ж это?.. Живот! Это конец! Ах боже мой! – слышались голоса между офицерами. – На волосок мимо уха прожужжала, – говорил адъютант. Мужики, приладивши носилки на плечах, поспешно тронулись по протоптанной ими дорожке к перевязочному пункту.
– В ногу идите… Э!.. мужичье! – крикнул офицер, за плечи останавливая неровно шедших и трясущих носилки мужиков.
– Подлаживай, что ль, Хведор, а Хведор, – говорил передний мужик.
– Вот так, важно, – радостно сказал задний, попав в ногу.
– Ваше сиятельство? А? Князь? – дрожащим голосом сказал подбежавший Тимохин, заглядывая в носилки.
Князь Андрей открыл глаза и посмотрел из за носилок, в которые глубоко ушла его голова, на того, кто говорил, и опять опустил веки.
Ополченцы принесли князя Андрея к лесу, где стояли фуры и где был перевязочный пункт. Перевязочный пункт состоял из трех раскинутых, с завороченными полами, палаток на краю березника. В березнике стояла фуры и лошади. Лошади в хребтугах ели овес, и воробьи слетали к ним и подбирали просыпанные зерна. Воронья, чуя кровь, нетерпеливо каркая, перелетали на березах. Вокруг палаток, больше чем на две десятины места, лежали, сидели, стояли окровавленные люди в различных одеждах. Вокруг раненых, с унылыми и внимательными лицами, стояли толпы солдат носильщиков, которых тщетно отгоняли от этого места распоряжавшиеся порядком офицеры. Не слушая офицеров, солдаты стояли, опираясь на носилки, и пристально, как будто пытаясь понять трудное значение зрелища, смотрели на то, что делалось перед ними. Из палаток слышались то громкие, злые вопли, то жалобные стенания. Изредка выбегали оттуда фельдшера за водой и указывали на тех, который надо было вносить. Раненые, ожидая у палатки своей очереди, хрипели, стонали, плакали, кричали, ругались, просили водки. Некоторые бредили. Князя Андрея, как полкового командира, шагая через неперевязанных раненых, пронесли ближе к одной из палаток и остановились, ожидая приказания. Князь Андрей открыл глаза и долго не мог понять того, что делалось вокруг него. Луг, полынь, пашня, черный крутящийся мячик и его страстный порыв любви к жизни вспомнились ему. В двух шагах от него, громко говоря и обращая на себя общее внимание, стоял, опершись на сук и с обвязанной головой, высокий, красивый, черноволосый унтер офицер. Он был ранен в голову и ногу пулями. Вокруг него, жадно слушая его речь, собралась толпа раненых и носильщиков.
– Мы его оттеда как долбанули, так все побросал, самого короля забрали! – блестя черными разгоряченными глазами и оглядываясь вокруг себя, кричал солдат. – Подойди только в тот самый раз лезервы, его б, братец ты мой, звания не осталось, потому верно тебе говорю…