Квантовая ёмкость
Квантовая ёмкость — дополнительная электрическая ёмкость между затвором и двумерным электронным газом (ДЭГ), возникающая благодаря низкой по сравнению с металлами плотностью состояний в ДЭГ. Была впервые введёна Serge Luryi в1988 году[1] для характеристики изменения химического потенциала в инверсионных слоях кремния и ДЭГ в GaAs.
ДЭГ и затвор представляют собой обычный конденсатор с включённой последовательно квантовой ёмкостью.
Содержание
Теория
Если одна из обкладок конденсатора представляет собой металл с высокой плотностью состояний, а другая, расположенный на расстоянии d, — ДЭГ с много меньшей плотностью состояний, то изменение напряжения δV на этом конденсаторе приводит к изменению электрического поля между обкладками δE, а также к сдвигу химического потенциала δμ, что можно записать в виде:
- <math>\delta V =\delta Ed +\frac{\delta \mu}{e}=\delta Ed+\frac{\partial \mu}{\partial n} \frac{\delta n}{e}.</math>
Это выражение можно переписать с учётом вариации заряда δρ=eδn и, воспользовавшись теоремой Гаусса δE=δρ/ε, где ε=εdε0 произведение диэлектрической постоянной материала диэлектрика и диэлектрической постоянной вакуума, через ёмкость, нормированную на площадь обкладок C/A=δρ/δV в упрощённом виде
- <math>\frac{A}{C} =\frac{d}{\varepsilon}+\frac{1}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}</math>
Первое слагаемое — это обратная ёмкость плоского конденсатора, а второе слагаемое связано с понятием квантовой ёмкости, которая пропорциональна плотности состояний
- <math>C_{Q} = e^2\cdot D_{2D} </math>,
где e — элементарный заряд. Если переписать ёмкость в терминах длины экранирования
- <math>\lambda = \frac{\varepsilon}{e^2}\frac{\partial \mu}{\partial n}</math>,
то выражение примет ещё более прозрачный вид
- <math>\frac{C}{A} =\frac{\varepsilon}{(d+\lambda)},</math>
поясняющий влияние конечной длины проникновения электрического поля в материал с меньшей плотностью состояний, чем у металла. Фактически расстояние между обкладками увеличивается на длину экранирования.[2]
Для ДЭГ плотность состояний равна (учтено только спиновое вырождение)
- <math>D_{2D} = \frac{m^*}{\pi \hbar^2} \ </math>,
где <math>m^{*}</math> — эффективная масса носителей тока. Так как плотность состояний ДЭГ не зависит от концентрации, то квантовая ёмкость тоже не зависит от концентрации, хотя при учёте электрон-электронных взаимодействий квантовая ёмкость зависит от энергии[3][4].
Связь со сжимаемостью электронного газа
Для электронного газа, как и для обычного идеального газа можно ввести понятие сжимаемости K, обратная величина которой определяется как взятое с отрицательным знаком произведение объёма газа V и изменения давления P электронного газа при изменении объёма с сохранением числа частиц N:
- <math>\frac{1}{K}=-V\left(\frac{dP}{dV}\right)_{N}.</math>
Другое важное соотношение получается из теоремы Зейтца[5]:
- <math>\frac{1}{K}=n^2\frac{d\mu}{dn}.</math>
Отсюда следует, что измеряя квантовую ёмкость мы также получаем информацию о сжимаемости электронного газа.
Термодинамическая плотность состояний
Для того чтобы учесть распределение электронов по энергии (распределение Ферми — Дирака f(ε-μ)) из-за конечной температуры T, вводят так называемую термодинамическую плотность состояний, определяемую как[6][7]
- <math>D(\mu)=\int^{\infty}_{-\infty}d\varepsilon N(\varepsilon)\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{N(\varepsilon)d\varepsilon}{4k_BT \textrm{cosh}^2\left(\frac{\varepsilon-\mu}{2k_BT}\right)},</math>
где N(ε) — плотность состояний при нулевой температуре, kB — постоянная Больцмана.
Графен
Для графена, где плотность состояний пропорциональна энергии, квантовая ёмкость зависит от концентрации[8]:
- <math>C_{Q} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{e^2}{\hbar v_F}\sqrt{n},</math>
где <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка, vF — фермиевская скорость.
Напишите отзыв о статье "Квантовая ёмкость"
Примечания
- ↑ Serge Luryi (1988). "Quantum capacitance devices". Appl.Phys.Lett. 52(6). [www.ece.sunysb.edu/~serge/63.pdf Pdf]
- ↑ G. F. Giuliani and G. Vignale Quantum theory of the electron liquid Cambridge university press, 2005.
- ↑ J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West Negative compressibility of interacting two-dimensional electron and quasiparticle gases Phys. Rev. Lett. 68, 674–677 (1992)
- ↑ B. Tanatar and D. M. Ceperley Ground state of the two-dimensional electron gas Phys. Rev. B 39, 5005–5016 (1989)
- ↑ G. D. Mahan Many-particle Physics 3rd edition Kluwer Academic/Plenum Publishers 2000
- ↑ M. I. Katsnelson Graphene: carbon in two dimensions Cambridge University Press 2012.
- ↑ D. L. John, L. C. Castro, and D. L. Pulfrey Quantum capacitance in nanoscale device modeling J. Appl. Phys. 96, 5180 (2004).
- ↑ L. A. Ponomarenko et al. Density of States and Zero Landau Level Probed through Capacitance of Graphene Phys. Rev. Lett. 105, 136801 (2010).
Отрывок, характеризующий Квантовая ёмкость
– Да, отпускай, – сказал он.– Ежели изволили заметить беспорядки в саду, – говорил Алпатыч, – то невозмежио было предотвратить: три полка проходили и ночевали, в особенности драгуны. Я выписал чин и звание командира для подачи прошения.
– Ну, что ж ты будешь делать? Останешься, ежели неприятель займет? – спросил его князь Андрей.
Алпатыч, повернув свое лицо к князю Андрею, посмотрел на него; и вдруг торжественным жестом поднял руку кверху.
– Он мой покровитель, да будет воля его! – проговорил он.
Толпа мужиков и дворовых шла по лугу, с открытыми головами, приближаясь к князю Андрею.
– Ну прощай! – сказал князь Андрей, нагибаясь к Алпатычу. – Уезжай сам, увози, что можешь, и народу вели уходить в Рязанскую или в Подмосковную. – Алпатыч прижался к его ноге и зарыдал. Князь Андрей осторожно отодвинул его и, тронув лошадь, галопом поехал вниз по аллее.
На выставке все так же безучастно, как муха на лице дорогого мертвеца, сидел старик и стукал по колодке лаптя, и две девочки со сливами в подолах, которые они нарвали с оранжерейных деревьев, бежали оттуда и наткнулись на князя Андрея. Увидав молодого барина, старшая девочка, с выразившимся на лице испугом, схватила за руку свою меньшую товарку и с ней вместе спряталась за березу, не успев подобрать рассыпавшиеся зеленые сливы.
Князь Андрей испуганно поспешно отвернулся от них, боясь дать заметить им, что он их видел. Ему жалко стало эту хорошенькую испуганную девочку. Он боялся взглянуть на нее, по вместе с тем ему этого непреодолимо хотелось. Новое, отрадное и успокоительное чувство охватило его, когда он, глядя на этих девочек, понял существование других, совершенно чуждых ему и столь же законных человеческих интересов, как и те, которые занимали его. Эти девочки, очевидно, страстно желали одного – унести и доесть эти зеленые сливы и не быть пойманными, и князь Андрей желал с ними вместе успеха их предприятию. Он не мог удержаться, чтобы не взглянуть на них еще раз. Полагая себя уже в безопасности, они выскочили из засады и, что то пища тоненькими голосками, придерживая подолы, весело и быстро бежали по траве луга своими загорелыми босыми ножонками.
Князь Андрей освежился немного, выехав из района пыли большой дороги, по которой двигались войска. Но недалеко за Лысыми Горами он въехал опять на дорогу и догнал свой полк на привале, у плотины небольшого пруда. Был второй час после полдня. Солнце, красный шар в пыли, невыносимо пекло и жгло спину сквозь черный сюртук. Пыль, все такая же, неподвижно стояла над говором гудевшими, остановившимися войсками. Ветру не было, В проезд по плотине на князя Андрея пахнуло тиной и свежестью пруда. Ему захотелось в воду – какая бы грязная она ни была. Он оглянулся на пруд, с которого неслись крики и хохот. Небольшой мутный с зеленью пруд, видимо, поднялся четверти на две, заливая плотину, потому что он был полон человеческими, солдатскими, голыми барахтавшимися в нем белыми телами, с кирпично красными руками, лицами и шеями. Все это голое, белое человеческое мясо с хохотом и гиком барахталось в этой грязной луже, как караси, набитые в лейку. Весельем отзывалось это барахтанье, и оттого оно особенно было грустно.
Один молодой белокурый солдат – еще князь Андрей знал его – третьей роты, с ремешком под икрой, крестясь, отступал назад, чтобы хорошенько разбежаться и бултыхнуться в воду; другой, черный, всегда лохматый унтер офицер, по пояс в воде, подергивая мускулистым станом, радостно фыркал, поливая себе голову черными по кисти руками. Слышалось шлепанье друг по другу, и визг, и уханье.
На берегах, на плотине, в пруде, везде было белое, здоровое, мускулистое мясо. Офицер Тимохин, с красным носиком, обтирался на плотине и застыдился, увидав князя, однако решился обратиться к нему:
– То то хорошо, ваше сиятельство, вы бы изволили! – сказал он.
– Грязно, – сказал князь Андрей, поморщившись.
– Мы сейчас очистим вам. – И Тимохин, еще не одетый, побежал очищать.
