Лемма Безиковича

Лемма Безиковича о покрытиях — классический результат комбинаторной геометрии важный в теории меры и близкий к лемме Витали.

Доказана Безиковичем в 1945-м году.

Формулировка

Для любого натурального <math>n</math> существует такое натуральное <math>M = M (n)</math>, что верно следующее. Пусть <math>\mathfrak B</math> — произвольное множество замкнутых шаров в <math>\R^n</math> с радиусами не больше 1. Тогда можно выбрать не более чем счётный набор шаров <math>\mathfrak B'\subset \mathfrak B</math>, такой что центр любого шара из <math>\mathfrak B</math> принадлежит хотя бы одному шару из <math>\mathfrak B'</math> и при этом семейство <math>\mathfrak B'</math> можно разбить на <math>M</math> подсемейств с попарно непересекающимися шарами в каждом.

Применения

Область применений леммы Бизековича близла к области применених леммы Витали. Но лемма Бизековича применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер <math>\mu</math> обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы <math>C</math> и произвольного шара <math>B</math> имеем

<math>\mu(2\cdot B)\le C\cdot\mu(B)</math>.

Литература

• С. В. Иванов, [www.pdmi.ras.ru/~svivanov/gmt.pdf Введение в геометрическую теорию меры] лекции 2008.
• Besicovitch, A. S. (1945), "[dx.doi.org/10.1017%2FS0305004100022453 A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, I]", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 41 (02): 103–110, DOI 10.1017/S0305004100022453 .
  • "A general form of the covering principle and relative differentiation of additive functions, II", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society Т. 42: 205–235, 1946 .
• DiBenedetto, E (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5 .

Отрывок, характеризующий Лемма Безиковича

– Мне сказали, что ты велел закладывать, – сказала она, запыхавшись (она, видно, бежала), – а мне так хотелось еще поговорить с тобой наедине. Бог знает, на сколько времени опять расстаемся. Ты не сердишься, что я пришла? Ты очень переменился, Андрюша, – прибавила она как бы в объяснение такого вопроса.
Она улыбнулась, произнося слово «Андрюша». Видно, ей самой было странно подумать, что этот строгий, красивый мужчина был тот самый Андрюша, худой, шаловливый мальчик, товарищ детства.
– А где Lise? – спросил он, только улыбкой отвечая на ее вопрос.
– Она так устала, что заснула у меня в комнате на диване. Ax, Andre! Que! tresor de femme vous avez, [Ax, Андрей! Какое сокровище твоя жена,] – сказала она, усаживаясь на диван против брата. – Она совершенный ребенок, такой милый, веселый ребенок. Я так ее полюбила.
Князь Андрей молчал, но княжна заметила ироническое и презрительное выражение, появившееся на его лице.
– Но надо быть снисходительным к маленьким слабостям; у кого их нет, Аndre! Ты не забудь, что она воспитана и выросла в свете. И потом ее положение теперь не розовое. Надобно входить в положение каждого. Tout comprendre, c'est tout pardonner. [Кто всё поймет, тот всё и простит.] Ты подумай, каково ей, бедняжке, после жизни, к которой она привыкла, расстаться с мужем и остаться одной в деревне и в ее положении? Это очень тяжело.
Князь Андрей улыбался, глядя на сестру, как мы улыбаемся, слушая людей, которых, нам кажется, что мы насквозь видим.
– Ты живешь в деревне и не находишь эту жизнь ужасною, – сказал он.
– Я другое дело. Что обо мне говорить! Я не желаю другой жизни, да и не могу желать, потому что не знаю никакой другой жизни. А ты подумай, Andre, для молодой и светской женщины похорониться в лучшие годы жизни в деревне, одной, потому что папенька всегда занят, а я… ты меня знаешь… как я бедна en ressources, [интересами.] для женщины, привыкшей к лучшему обществу. M lle Bourienne одна…