Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

<math>a_n(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)z'(t)+a_0(t)z(t)=f(t)</math>

Метод состоит в замене произвольных постоянных <math>c_k</math> в общем решении

<math>z(t)=c_1 z_1(t)+c_2z_2(t)+...+c_nz_n(t)</math>

соответствующего однородного уравнения

<math>a_n(t) z^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) z^{(n-1)}(t) + ... +a_1(t) z'(t) + a_0(t) z(t) = 0</math>

на вспомогательные функции <math>c_k(t)</math>, производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

<math> \left\{ \begin{matrix} z_1(t)c_1'(t) &+& z_2(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n(t)c_n'(t) &=& 0 \\ \vdots\\ z_1^{(n-2)}(t)c_1'(t) &+& z_2^{(n-2)}(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-2)}(t)c_n'(t) &=& 0 \\ z_1^{(n-1)}(t)c_1'(t) &+& z_2^{(n-1)}(t)c_2'(t) &+& ... &+& z_n^{(n-1)}(t)c_n'(t) &=& f(t)/ a_n(t) \end{matrix} \right. \qquad(1)</math>

Определителем системы (1) служит вронскиан функций <math>z_1, z_2, ..., z_n</math>, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно <math>{c_k'}</math>.

Если <math>\widetilde{c_k}</math> — первообразные для <math>c_k'</math>, взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

<math>z = z^*(t) = \widetilde{c_1}(t)z_1(t) + ... + \widetilde{c_n}(t)z_n(t)</math>

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

<math>\frac{d \bar{x}}{dt} = A(t)\bar{x} + \bar{f}(t), t\in I\qquad(1)</math>

состоит в построении общего решения (1) в виде

<math>\bar{x} = \bar{x^*}(t) = Z(t)\bar{u}(t)</math>

где <math>Z(t)</math> — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция <math>\bar{u}</math>, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением <math>\bar{u'}(t) = Z^{-1}(t)\bar{f}(t)</math>. Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при <math>t = t_0</math> имеет вид

<math>\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int\limits_{t_0}^{t} Z(t)Z^{-1}(\tau)\bar{f}(\tau) d\tau</math>

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

<math>\bar{x} = \bar{x^*}(t) = \int\limits_{t_0}^{t} Z(t - \tau) \bar{f}(\tau) d\tau</math>

Матрица <math>Z(t)Z^{-1}(\tau)</math> называется матрицей Коши оператора <math>L = A(t)</math>.

Ссылки

• [www.exponenta.ru/educat/class/courses/ode/theme11/theory.asp exponenta.ru] — Теоретическая справка c примерами

Отрывок, характеризующий Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

– Как доносили лазутчики, в ночь на плотах переправились последние.
– Достаточно ли фуража в Кремсе?
– Фураж не был доставлен в том количестве…
Император перебил его.
– В котором часу убит генерал Шмит?…
– В семь часов, кажется.
– В 7 часов. Очень печально! Очень печально!
Император сказал, что он благодарит, и поклонился. Князь Андрей вышел и тотчас же со всех сторон был окружен придворными. Со всех сторон глядели на него ласковые глаза и слышались ласковые слова. Вчерашний флигель адъютант делал ему упреки, зачем он не остановился во дворце, и предлагал ему свой дом. Военный министр подошел, поздравляя его с орденом Марии Терезии З й степени, которым жаловал его император. Камергер императрицы приглашал его к ее величеству. Эрцгерцогиня тоже желала его видеть. Он не знал, кому отвечать, и несколько секунд собирался с мыслями. Русский посланник взял его за плечо, отвел к окну и стал говорить с ним.
Вопреки словам Билибина, известие, привезенное им, было принято радостно. Назначено было благодарственное молебствие. Кутузов был награжден Марией Терезией большого креста, и вся армия получила награды. Болконский получал приглашения со всех сторон и всё утро должен был делать визиты главным сановникам Австрии. Окончив свои визиты в пятом часу вечера, мысленно сочиняя письмо отцу о сражении и о своей поездке в Брюнн, князь Андрей возвращался домой к Билибину. У крыльца дома, занимаемого Билибиным, стояла до половины уложенная вещами бричка, и Франц, слуга Билибина, с трудом таща чемодан, вышел из двери.
Прежде чем ехать к Билибину, князь Андрей поехал в книжную лавку запастись на поход книгами и засиделся в лавке.
– Что такое? – спросил Болконский.
– Ach, Erlaucht? – сказал Франц, с трудом взваливая чемодан в бричку. – Wir ziehen noch weiter. Der Bosewicht ist schon wieder hinter uns her! [Ах, ваше сиятельство! Мы отправляемся еще далее. Злодей уж опять за нами по пятам.]
– Что такое? Что? – спрашивал князь Андрей.
Билибин вышел навстречу Болконскому. На всегда спокойном лице Билибина было волнение.
– Non, non, avouez que c'est charmant, – говорил он, – cette histoire du pont de Thabor (мост в Вене). Ils l'ont passe sans coup ferir. [Нет, нет, признайтесь, что это прелесть, эта история с Таборским мостом. Они перешли его без сопротивления.]
Князь Андрей ничего не понимал.
– Да откуда же вы, что вы не знаете того, что уже знают все кучера в городе?
– Я от эрцгерцогини. Там я ничего не слыхал.
– И не видали, что везде укладываются?