Квадратура (математика)

Квадрату́ра (лат. quadratura, придание квадратной формы) — математический термин, первоначально обозначавший нахождение площади заданной фигуры или поверхности. В дальнейшем смысл термина постепенно менялся Задачи квадратуры послужили одним из главных источников возникновения в конце XVII века математического анализа.

В античные времена проведение квадратуры понималось как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре (например, квадратура круга, Гиппократовы луночки). В качестве основного метода анализа тогда был принят метод исчерпывания Евдокса.

В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади заданной области (например, квадратура арки циклоиды). Для этого чаще всего использовался метод неделимых.

С появлением интегрального исчисления вычисление площади свелось к интегрированию, и термин квадратура стал пониматься как синоним (определённого или неопределённого) интеграла. «Стало обычным вычисление интеграла называть квадратурой».

В настоящее время термин употребляется редко, в основном в следующих устойчивых словосочетаниях:

• Квадратурные формулы — формулы для оценки значения определённого интеграла.
• Привести к квадратурам (выразить в квадратурах, решить в квадратурах) — выразить в виде интеграла от комбинаций стандартных функций.

Исторический очерк

Математики Древней Греции, в соответствии с пифагорейской доктриной, понимали определение площади фигуры как построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого данной фигуре. Отсюда и происходит термин квадратура.

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b надо построить квадрат со стороной <math>x=\sqrt{ab}</math> (среднее геометрическое a и b). Для этого можно использовать следующий факт: если построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, то высота BH, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст их среднее геометрическое. Аналогичная геометрическая конструкция решает задачу квадратуры параллелограмма и треугольника. В общем виде задача квадратуры многоугольника решается в «Началах» Евклида (предложение 45 книги I и предложение 14 книги II).

Гораздо сложнее оказались задачи квадратуры криволинейных фигур. Квадратура круга, как окончательно было доказано в XIX веке, с помощью циркуля и линейки невозможна. Однако для некоторых фигур (например, Гиппократовы луночки) квадратуру всё же удалось провести. Высшим достижением античного анализа стали проведенные Архимедом квадратуры поверхности сферы и сегмента параболы:

• площадь поверхности сферы равна учетверённой площади большого круга этой сферы;
• площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Надо отметить, что результат Архимеда для поверхности сферы уже выходит за пределы пифагорейского определения, так как не сводится к явному построению квадрата.

Для доказательства своих результатов Архимед использовал восходящий к Евдоксу «метод исчерпывания».

В XVII веке появился «метод неделимых», менее строгий, но более простой и мощный, чем метод исчерпывания. С его помощью Галилей и Роберваль нашли площадь арки циклоиды, а фламандец Грегуар де Сен-Венсан исследовал площадь под гиперболой («Opus Geometricum», 1647), причём Сараса (фр. Alphonse Antonio de Sarasa), ученик и комментатор де Сен-Венсана, уже отметил связь этой площади с логарифмами. Джон Валлис провёл алгебраизацию метода: он строит в «Арифметике бесконечных» (1656) числовые ряды, которые мы сейчас называем интегральными суммами, и находит эти суммы. Техника Валлиса получила дальнейшее развитие в трудах Исаака Барроу и Джеймса Грегори; были получены квадратуры для множества алгебраических кривых, а также спиралей. Гюйгенс успешно провёл квадратуру ряда поверхностей вращения, в частности, в 1651 году он опубликовал труд о квадратуре конических сечений под названием «Рассуждения о квадратуре гиперболы, эллипса и круга».

Дальнейший прогресс был связан с появлением интегрального исчисления, которое дало универсальный метод для вычисления площади. В связи с этим термин квадратура стал постепенно выходить из употребления, а в тех случаях, когда он использовался, стал синонимом термина интеграл. Небезынтересно, что Исаак Ньютон пытался вместо привычного для нас, лейбницевского обозначения интеграла, ввести свой символ — квадрат, который ставился перед интегрируемой функцией или содержал её внутри себя.

См. также

• Квадратриса
• Квадратура круга
• Численное интегрирование
• Список квадратурных формул

Литература

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции. // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 225-440.
• Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.

• Том 1 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat1.htm С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)]
• Том 2 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat2.htm Математика XVII столетия. (1970)]
• Том 3 [ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия. (1972)]

Ссылки

• Бендукидзе А. Д. [kvant.mirror1.mccme.ru/1971/07/arhimed_i_kvadratura_paraboly.htm Архимед и квадратура параболы.] Квант, 1971, № 7, стр. 7-10.

Отрывок, характеризующий Квадратура (математика)

– De beaux hommes! [Красавцы!] – сказал Наполеон, глядя на убитого русского гренадера, который с уткнутым в землю лицом и почернелым затылком лежал на животе, откинув далеко одну уже закоченевшую руку.
– Les munitions des pieces de position sont epuisees, sire! [Батарейных зарядов больше нет, ваше величество!] – сказал в это время адъютант, приехавший с батарей, стрелявших по Аугесту.
– Faites avancer celles de la reserve, [Велите привезти из резервов,] – сказал Наполеон, и, отъехав несколько шагов, он остановился над князем Андреем, лежавшим навзничь с брошенным подле него древком знамени (знамя уже, как трофей, было взято французами).
– Voila une belle mort, [Вот прекрасная смерть,] – сказал Наполеон, глядя на Болконского.
Князь Андрей понял, что это было сказано о нем, и что говорит это Наполеон. Он слышал, как называли sire того, кто сказал эти слова. Но он слышал эти слова, как бы он слышал жужжание мухи. Он не только не интересовался ими, но он и не заметил, а тотчас же забыл их. Ему жгло голову; он чувствовал, что он исходит кровью, и он видел над собою далекое, высокое и вечное небо. Он знал, что это был Наполеон – его герой, но в эту минуту Наполеон казался ему столь маленьким, ничтожным человеком в сравнении с тем, что происходило теперь между его душой и этим высоким, бесконечным небом с бегущими по нем облаками. Ему было совершенно всё равно в эту минуту, кто бы ни стоял над ним, что бы ни говорил об нем; он рад был только тому, что остановились над ним люди, и желал только, чтоб эти люди помогли ему и возвратили бы его к жизни, которая казалась ему столь прекрасною, потому что он так иначе понимал ее теперь. Он собрал все свои силы, чтобы пошевелиться и произвести какой нибудь звук. Он слабо пошевелил ногою и произвел самого его разжалобивший, слабый, болезненный стон.
– А! он жив, – сказал Наполеон. – Поднять этого молодого человека, ce jeune homme, и свезти на перевязочный пункт!
Сказав это, Наполеон поехал дальше навстречу к маршалу Лану, который, сняв шляпу, улыбаясь и поздравляя с победой, подъезжал к императору.
Князь Андрей не помнил ничего дальше: он потерял сознание от страшной боли, которую причинили ему укладывание на носилки, толчки во время движения и сондирование раны на перевязочном пункте. Он очнулся уже только в конце дня, когда его, соединив с другими русскими ранеными и пленными офицерами, понесли в госпиталь. На этом передвижении он чувствовал себя несколько свежее и мог оглядываться и даже говорить.
Первые слова, которые он услыхал, когда очнулся, – были слова французского конвойного офицера, который поспешно говорил:
– Надо здесь остановиться: император сейчас проедет; ему доставит удовольствие видеть этих пленных господ.
– Нынче так много пленных, чуть не вся русская армия, что ему, вероятно, это наскучило, – сказал другой офицер.
– Ну, однако! Этот, говорят, командир всей гвардии императора Александра, – сказал первый, указывая на раненого русского офицера в белом кавалергардском мундире.
Болконский узнал князя Репнина, которого он встречал в петербургском свете. Рядом с ним стоял другой, 19 летний мальчик, тоже раненый кавалергардский офицер.
Бонапарте, подъехав галопом, остановил лошадь.
– Кто старший? – сказал он, увидав пленных.
Назвали полковника, князя Репнина.
– Вы командир кавалергардского полка императора Александра? – спросил Наполеон.
– Я командовал эскадроном, – отвечал Репнин.
– Ваш полк честно исполнил долг свой, – сказал Наполеон.
– Похвала великого полководца есть лучшая награда cолдату, – сказал Репнин.
– С удовольствием отдаю ее вам, – сказал Наполеон. – Кто этот молодой человек подле вас?
Князь Репнин назвал поручика Сухтелена.
Посмотрев на него, Наполеон сказал, улыбаясь:
– II est venu bien jeune se frotter a nous. [Молод же явился он состязаться с нами.]
– Молодость не мешает быть храбрым, – проговорил обрывающимся голосом Сухтелен.
– Прекрасный ответ, – сказал Наполеон. – Молодой человек, вы далеко пойдете!
Князь Андрей, для полноты трофея пленников выставленный также вперед, на глаза императору, не мог не привлечь его внимания. Наполеон, видимо, вспомнил, что он видел его на поле и, обращаясь к нему, употребил то самое наименование молодого человека – jeune homme, под которым Болконский в первый раз отразился в его памяти.
– Et vous, jeune homme? Ну, а вы, молодой человек? – обратился он к нему, – как вы себя чувствуете, mon brave?
Несмотря на то, что за пять минут перед этим князь Андрей мог сказать несколько слов солдатам, переносившим его, он теперь, прямо устремив свои глаза на Наполеона, молчал… Ему так ничтожны казались в эту минуту все интересы, занимавшие Наполеона, так мелочен казался ему сам герой его, с этим мелким тщеславием и радостью победы, в сравнении с тем высоким, справедливым и добрым небом, которое он видел и понял, – что он не мог отвечать ему.
Да и всё казалось так бесполезно и ничтожно в сравнении с тем строгим и величественным строем мысли, который вызывали в нем ослабление сил от истекшей крови, страдание и близкое ожидание смерти. Глядя в глаза Наполеону, князь Андрей думал о ничтожности величия, о ничтожности жизни, которой никто не мог понять значения, и о еще большем ничтожестве смерти, смысл которой никто не мог понять и объяснить из живущих.
Император, не дождавшись ответа, отвернулся и, отъезжая, обратился к одному из начальников:
– Пусть позаботятся об этих господах и свезут их в мой бивуак; пускай мой доктор Ларрей осмотрит их раны. До свидания, князь Репнин, – и он, тронув лошадь, галопом поехал дальше.
На лице его было сиянье самодовольства и счастия.
Солдаты, принесшие князя Андрея и снявшие с него попавшийся им золотой образок, навешенный на брата княжною Марьею, увидав ласковость, с которою обращался император с пленными, поспешили возвратить образок.
Князь Андрей не видал, кто и как надел его опять, но на груди его сверх мундира вдруг очутился образок на мелкой золотой цепочке.
«Хорошо бы это было, – подумал князь Андрей, взглянув на этот образок, который с таким чувством и благоговением навесила на него сестра, – хорошо бы это было, ежели бы всё было так ясно и просто, как оно кажется княжне Марье. Как хорошо бы было знать, где искать помощи в этой жизни и чего ждать после нее, там, за гробом! Как бы счастлив и спокоен я был, ежели бы мог сказать теперь: Господи, помилуй меня!… Но кому я скажу это! Или сила – неопределенная, непостижимая, к которой я не только не могу обращаться, но которой не могу выразить словами, – великое всё или ничего, – говорил он сам себе, – или это тот Бог, который вот здесь зашит, в этой ладонке, княжной Марьей? Ничего, ничего нет верного, кроме ничтожества всего того, что мне понятно, и величия чего то непонятного, но важнейшего!»