Определённый интеграл

Определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть <math>f(x)</math> определена на отрезке <math>[a ; b]</math>. Разобьём <math>[a ; b]</math> на части несколькими произвольными точками: <math>a=x_{0} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} = b</math>.

Тогда говорят, что произведено разбиение <math>R</math> отрезка <math>[a ; b].</math> Далее выберем произвольную точку <math>\xi_{i} \in [x_{i} ; x_{i+1}]</math>, <math>i=\overline{0,n-1}</math>.

Определённым интегралом от функции <math>f(x)</math> на отрезке <math>[a ; b]</math>называется предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю <math>\lambda_{R}\rightarrow 0</math>, если он существует независимо от разбиения <math>R</math> и выбора точек <math>\xi_{i}</math>, то есть

<math>\int\limits^{b}_{a}f(x)dx=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\sum\limits^{n-1}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}</math>

Если существует указанный предел, то функция <math>f(x)</math> называется интегрируемой на <math>[a ; b]</math> по Риману.

Обозначения

<math>\int\limits_{a}^{b}f(x)dx</math>

• <math>a</math> — нижний предел.
• <math>b</math> — верхний предел.
• <math>f(x)</math> — подынтегральная функция.
• <math>\Delta x_{i}</math> — длина частичного отрезка.
• <math>\sigma_{R}</math> — интегральная сумма от функции <math>f(x)</math> на <math>[a ; b]</math> соответствующей разбиению <math>R</math>.
• <math>\lambda_{R}=\sup{\Delta x_i}</math> — максимальная из длин частичных отрезков.

Свойства

Если функция <math>f(x)</math> интегрируема по Риману на <math>[a ; b]</math>, то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл <math>\int\limits_a^b f(x)\, dx</math> численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми <math>x = a</math> и <math>x = b</math> и графиком функции <math>f(x)</math>.

Примеры вычислений

Далее приведены примеры взятий определенных интегралов с помощью формулы Ньютона — Лейбница.

<math>1.</math> <math>\int\limits_8^9 x^2\,dx = \Bigl. \frac {x^3}{3} \Bigr|_8^9 = \frac {729}{3} - \frac {512}{3} = \frac {217}{3} = 72,(3) \approx 72,3 </math>

<math>2.</math> <math>\int\limits_1^b \frac {dx}{x} = \Bigl. \ln x \Bigr|_1^b = \ln b</math>

<math>3.</math> <math>\int\limits_1^4 \frac {2dx}{x} = 2 \Bigl. \ln x \Bigr|_1^4 \approx 2,8</math>

Отрывок, характеризующий Определённый интеграл

– Ну, как вам, капитан Тушин, не стыдно? – продолжал штаб офицер, – вам бы, кажется, как артиллеристу надо пример показывать, а вы без сапог. Забьют тревогу, а вы без сапог очень хороши будете. (Штаб офицер улыбнулся.) Извольте отправляться к своим местам, господа, все, все, – прибавил он начальнически.
Князь Андрей невольно улыбнулся, взглянув на штабс капитана Тушина. Молча и улыбаясь, Тушин, переступая с босой ноги на ногу, вопросительно глядел большими, умными и добрыми глазами то на князя Андрея, то на штаб офицера.
– Солдаты говорят: разумшись ловчее, – сказал капитан Тушин, улыбаясь и робея, видимо, желая из своего неловкого положения перейти в шутливый тон.
Но еще он не договорил, как почувствовал, что шутка его не принята и не вышла. Он смутился.
– Извольте отправляться, – сказал штаб офицер, стараясь удержать серьезность.
Князь Андрей еще раз взглянул на фигурку артиллериста. В ней было что то особенное, совершенно не военное, несколько комическое, но чрезвычайно привлекательное.
Штаб офицер и князь Андрей сели на лошадей и поехали дальше.
Выехав за деревню, беспрестанно обгоняя и встречая идущих солдат, офицеров разных команд, они увидали налево краснеющие свежею, вновь вскопанною глиною строящиеся укрепления. Несколько баталионов солдат в одних рубахах, несмотря на холодный ветер, как белые муравьи, копошились на этих укреплениях; из за вала невидимо кем беспрестанно выкидывались лопаты красной глины. Они подъехали к укреплению, осмотрели его и поехали дальше. За самым укреплением наткнулись они на несколько десятков солдат, беспрестанно переменяющихся, сбегающих с укрепления. Они должны были зажать нос и тронуть лошадей рысью, чтобы выехать из этой отравленной атмосферы.
– Voila l'agrement des camps, monsieur le prince, [Вот удовольствие лагеря, князь,] – сказал дежурный штаб офицер.
Они выехали на противоположную гору. С этой горы уже видны были французы. Князь Андрей остановился и начал рассматривать.
– Вот тут наша батарея стоит, – сказал штаб офицер, указывая на самый высокий пункт, – того самого чудака, что без сапог сидел; оттуда всё видно: поедемте, князь.