Поверхностные интегралы

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода

Определение

Пусть <math>\Phi</math> — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на <math>\Phi</math> задана функция <math>f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)</math>. Рассмотрим разбиение <math>T</math> этой поверхности на части <math>\Phi_i \left(i = 1,...,n \right)</math> кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку <math>M_i \left(x_i, y_i, z_i \right)</math>. Вычислив значение функции в этой точке <math>f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right)</math> и, приняв за <math>\sigma_i</math> — площадь поверхности <math>\Phi_i</math> рассмотрим сумму <math>I\{\Phi_i, M_i\} = \sum_{i} {f \left(M_i \right)\sigma_i}</math>.

Тогда число <math>I</math> называется пределом сумм <math>I\{\Phi_i, M_i\}</math>, если:

<math>\forall \varepsilon > 0 \;\; \exists \delta > 0 \;\; \forall T : d \left(T \right) < \delta \;\; \forall \{M_i\}\ \bigl| I\{\Phi_i, M_i\} - I \bigr| < \varepsilon</math>

Предел <math>I</math> сумм <math>I\{\Phi_i, M_i\}</math> при <math>d \left(T \right) \to 0</math> называется поверхностным интегралом первого рода от функции <math>f \left(M \right)</math> по поверхности <math>\Phi</math> и обозначается следующим образом:

<math>I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma}</math>

Параметрическая форма

Пусть на поверхности <math>\Phi</math> можно ввести единую параметризацию посредством функций

<math>x = x\left(u, v\right), \;\;\;\; y = y\left(u, v\right), \;\;\;\; z = z\left(u, v\right),</math>

заданных в ограниченной замкнутой области <math>\Omega</math> плоскости <math>\left(u, v\right)</math> и принадлежащих классу <math>C^1</math> в этой области. Если функция <math>f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)</math> непрерывна на поверхности <math>\Phi</math>, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности <math>\Phi</math> существует и может быть вычислен по формуле:

<math>I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)d\sigma} = \iint \limits_{\Omega} {f \left(x \left( u, v \right), y \left( u, v \right), z \left( u, v \right) \right) \sqrt{EG - F^2} \;du \;dv}</math>, где:

<math>E = \left(x_u'\right)^2 + \left(y_u'\right)^2 + \left(z_u'\right)^2</math>

<math>F = x_u' \; x_v' + y_u' \; y_v' + z_u' \; z_v'</math>

<math>G = \left(x_v'\right)^2 + \left(y_v'\right)^2 + \left(z_v'\right)^2</math>

Свойства

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции <math>f</math> и <math>g</math> интегрируемы по областям <math>\Phi, \Phi_1, \Phi_2</math>:

1. Линейность: <math>\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)d\sigma = \alpha \iint\limits_{\Phi}fd\sigma + \beta \iint\limits_{\Phi}gd\sigma</math> для любых вещественных чисел <math>\alpha, \beta \in\mathbb{R}</math>;
2. Аддитивность: <math>\iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma + \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma = \iint\limits_{\Phi_1\cup\Phi_2}fd\sigma</math> при условии, что <math>\Phi_1</math> и <math>\Phi_2</math> не имеют общих внутренних точек;
3. Монотонность:
   • если <math>f \geqslant g</math>, то <math>\iint\limits_{\Phi}fd\sigma \geqslant \iint\limits_{\Phi}gd\sigma</math>
   • для <math>f \geqslant 0</math> если <math>\Phi_1 \subset \Phi_2</math>, то <math>\iint\limits_{\Phi_1}fd\sigma < \iint\limits_{\Phi_2}fd\sigma</math>
4. Теорема о среднем для непрерывной функции <math>f</math> и замкнутой ограниченной поверхности <math>\Phi</math>:

<math>\iint\limits_{\Phi}fd\sigma = f(\xi)\iint\limits_{\Phi}d\sigma = f(\xi)\;\mu(\Phi)</math>, где <math>\xi\in\Phi</math>, а <math>\mu(\Phi)</math> — площадь области <math>\Phi</math>.

Поверхностный интеграл второго рода

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность <math>\Phi</math>, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением <math>z = z\left(x, y \right)</math> причем точка <math>\left(x, y \right)</math> изменяется в области <math>\left(D \right)</math> на плоскости <math>x\;y</math>, ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности <math>\Phi</math> определена некоторая функция <math>f \left(M \right) = f \left(x, y, z \right)</math>. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части <math>\Phi_i \left(i = 1,...,n \right)</math> и выбрав на каждой такой части точку <math>M_i \left(x_i, y_i, z_i \right)</math> вычисляем значение функции <math>f \left(M_i \right) = f \left(x_i, y_i, z_i \right)</math> в данной точке и умножим его на площадь <math>D_i</math> проекции на плоскость <math>x \;y</math> элемента <math>\Phi_i</math>, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

<math>\sum_{i = 1}^{n} {f \left(M_i \right)D_i} = \sum_{i = 1}^{n} {f \left(x_i, y_i, z_i \right)D_i}</math>.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

<math>f \left(M \right)\;dx\;dy = f\left(x, y, z \right)\;dx\;dy</math>,

распространенным на выбранную сторону поверхности <math>\Phi</math>, и обозначают символом

<math>I = \iint \limits_{\Phi} {f \left(M \right)\;dx\;dy} = \iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dx\;dy}</math>

(здесь <math>dx\;dy</math>) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость <math>xy</math>

Если вместо плоскости <math>xy</math> спроектировать элементы поверхности на плоскость <math>yz</math> или <math>zx</math>, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

<math>\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dy\;dz}</math> или <math>\iint \limits_{\Phi} {f \left(x, y, z \right)\;dz\;dx}</math>.

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

<math>\iint \limits_{\Phi} {P\;dy\;dz + Q \;dz\; dx + R \; dx \; dy}</math>

где <math>P, Q, R</math> суть функции от <math>\left( x, y, z \right)</math>, определенные в точках поверхности <math>\Phi</math>.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

<math>\iint\limits_{\Sigma+}f(x,y,z)dydz = \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\cos(\nu\hat{\;}i)d\sigma</math>, где <math>\nu</math> — единичный вектор нормали поверхности <math>\Sigma</math>, <math>i</math> — орт.

Свойства

1. Линейность: <math>\iint\limits_{\Phi}(\alpha f + \beta g)dx\;dy = \alpha \iint\limits_{\Phi}fdx\;dy + \beta \iint\limits_{\Phi}gdx\;dy</math>;
2. Аддитивность: <math>\iint\limits_{\Phi_1}fdx\;dy + \iint\limits_{\Phi_2}fdx\;dy = \iint\limits_{\Phi_1+\Phi_2}fdx\;dy</math>;
3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

См. также

• Криволинейный интеграл
• Поток векторного поля
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Теорема Стокса

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• [eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-integrals.htm Мир математических уравнений]

Отрывок, характеризующий Поверхностные интегралы

– Сказался больным, завтг'а велено пг'иказом исключить, – проговорил Денисов.
– Это болезнь, иначе нельзя объяснить, – сказал штаб ротмистр.
– Уж там болезнь не болезнь, а не попадайся он мне на глаза – убью! – кровожадно прокричал Денисов.
В комнату вошел Жерков.
– Ты как? – обратились вдруг офицеры к вошедшему.
– Поход, господа. Мак в плен сдался и с армией, совсем.
– Врешь!
– Сам видел.
– Как? Мака живого видел? с руками, с ногами?
– Поход! Поход! Дать ему бутылку за такую новость. Ты как же сюда попал?
– Опять в полк выслали, за чорта, за Мака. Австрийской генерал пожаловался. Я его поздравил с приездом Мака…Ты что, Ростов, точно из бани?
– Тут, брат, у нас, такая каша второй день.
Вошел полковой адъютант и подтвердил известие, привезенное Жерковым. На завтра велено было выступать.
– Поход, господа!
– Ну, и слава Богу, засиделись.


Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября .русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.
День был теплый, осенний и дождливый. Пространная перспектива, раскрывавшаяся с возвышения, где стояли русские батареи, защищавшие мост, то вдруг затягивалась кисейным занавесом косого дождя, то вдруг расширялась, и при свете солнца далеко и ясно становились видны предметы, точно покрытые лаком. Виднелся городок под ногами с своими белыми домами и красными крышами, собором и мостом, по обеим сторонам которого, толпясь, лилися массы русских войск. Виднелись на повороте Дуная суда, и остров, и замок с парком, окруженный водами впадения Энса в Дунай, виднелся левый скалистый и покрытый сосновым лесом берег Дуная с таинственною далью зеленых вершин и голубеющими ущельями. Виднелись башни монастыря, выдававшегося из за соснового, казавшегося нетронутым, дикого леса; далеко впереди на горе, по ту сторону Энса, виднелись разъезды неприятеля.
Между орудиями, на высоте, стояли спереди начальник ариергарда генерал с свитским офицером, рассматривая в трубу местность. Несколько позади сидел на хоботе орудия Несвицкий, посланный от главнокомандующего к ариергарду.
Казак, сопутствовавший Несвицкому, подал сумочку и фляжку, и Несвицкий угощал офицеров пирожками и настоящим доппелькюмелем. Офицеры радостно окружали его, кто на коленах, кто сидя по турецки на мокрой траве.
– Да, не дурак был этот австрийский князь, что тут замок выстроил. Славное место. Что же вы не едите, господа? – говорил Несвицкий.
– Покорно благодарю, князь, – отвечал один из офицеров, с удовольствием разговаривая с таким важным штабным чиновником. – Прекрасное место. Мы мимо самого парка проходили, двух оленей видели, и дом какой чудесный!
– Посмотрите, князь, – сказал другой, которому очень хотелось взять еще пирожок, но совестно было, и который поэтому притворялся, что он оглядывает местность, – посмотрите ка, уж забрались туда наши пехотные. Вон там, на лужку, за деревней, трое тащут что то. .Они проберут этот дворец, – сказал он с видимым одобрением.
– И то, и то, – сказал Несвицкий. – Нет, а чего бы я желал, – прибавил он, прожевывая пирожок в своем красивом влажном рте, – так это вон туда забраться.
Он указывал на монастырь с башнями, видневшийся на горе. Он улыбнулся, глаза его сузились и засветились.
– А ведь хорошо бы, господа!
Офицеры засмеялись.
– Хоть бы попугать этих монашенок. Итальянки, говорят, есть молоденькие. Право, пять лет жизни отдал бы!
– Им ведь и скучно, – смеясь, сказал офицер, который был посмелее.
Между тем свитский офицер, стоявший впереди, указывал что то генералу; генерал смотрел в зрительную трубку.
– Ну, так и есть, так и есть, – сердито сказал генерал, опуская трубку от глаз и пожимая плечами, – так и есть, станут бить по переправе. И что они там мешкают?
На той стороне простым глазом виден был неприятель и его батарея, из которой показался молочно белый дымок. Вслед за дымком раздался дальний выстрел, и видно было, как наши войска заспешили на переправе.
Несвицкий, отдуваясь, поднялся и, улыбаясь, подошел к генералу.
– Не угодно ли закусить вашему превосходительству? – сказал он.
– Нехорошо дело, – сказал генерал, не отвечая ему, – замешкались наши.
– Не съездить ли, ваше превосходительство? – сказал Несвицкий.
– Да, съездите, пожалуйста, – сказал генерал, повторяя то, что уже раз подробно было приказано, – и скажите гусарам, чтобы они последние перешли и зажгли мост, как я приказывал, да чтобы горючие материалы на мосту еще осмотреть.
– Очень хорошо, – отвечал Несвицкий.
Он кликнул казака с лошадью, велел убрать сумочку и фляжку и легко перекинул свое тяжелое тело на седло.
– Право, заеду к монашенкам, – сказал он офицерам, с улыбкою глядевшим на него, и поехал по вьющейся тропинке под гору.
– Нут ка, куда донесет, капитан, хватите ка! – сказал генерал, обращаясь к артиллеристу. – Позабавьтесь от скуки.
– Прислуга к орудиям! – скомандовал офицер.
И через минуту весело выбежали от костров артиллеристы и зарядили.
– Первое! – послышалась команда.
Бойко отскочил 1 й номер. Металлически, оглушая, зазвенело орудие, и через головы всех наших под горой, свистя, пролетела граната и, далеко не долетев до неприятеля, дымком показала место своего падения и лопнула.
Лица солдат и офицеров повеселели при этом звуке; все поднялись и занялись наблюдениями над видными, как на ладони, движениями внизу наших войск и впереди – движениями приближавшегося неприятеля. Солнце в ту же минуту совсем вышло из за туч, и этот красивый звук одинокого выстрела и блеск яркого солнца слились в одно бодрое и веселое впечатление.