Неравенство Берри — Эссеена

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремы

Случай одинаково распределённых величин

Пусть дана бесконечная последовательность <math>X_n</math> независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что <math> M(X_n) = 0, M(X_n^2) = \sigma^2 > 0, M(|X_n^3|) = \rho < \infty</math>. Обозначим через <math>F_n</math> распределение суммы вида <math>\sum_{i=1}^n X_i / \sigma \sqrt{n}</math>. Тогда для всех <math>x</math> и <math>n</math>

<math> \left|F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt{n}}</math>,

где <math>\mathcal{N}</math> обозначает стандартное нормальное распределение, а <math>C</math> — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, <math>C < 0.4784</math>.

Разнораспределённые случайные величины

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть <math>X_k</math> — это независимые случайные величины, <math> M(X_k) = 0, M(X_k^2) = \sigma_k^2, M(|X_k^3|) = \rho_k</math>. Введём обозначения: <math> s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2, r_n = \sum_{i=1}^n \rho_i</math>. Обозначим через <math>F_n</math> распределение случайной величины вида <math> \sum_{i=1}^n X_i / s_n</math>. Тогда для всех <math>x</math> и <math>n</math>

<math> \left| F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq C \frac{r_n}{s_n^3}</math>.

Литература

• В. Фёллер. «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.

Отрывок, характеризующий Неравенство Берри — Эссеена

– Подлаживай, что ль, Хведор, а Хведор, – говорил передний мужик.
– Вот так, важно, – радостно сказал задний, попав в ногу.
– Ваше сиятельство? А? Князь? – дрожащим голосом сказал подбежавший Тимохин, заглядывая в носилки.
Князь Андрей открыл глаза и посмотрел из за носилок, в которые глубоко ушла его голова, на того, кто говорил, и опять опустил веки.
Ополченцы принесли князя Андрея к лесу, где стояли фуры и где был перевязочный пункт. Перевязочный пункт состоял из трех раскинутых, с завороченными полами, палаток на краю березника. В березнике стояла фуры и лошади. Лошади в хребтугах ели овес, и воробьи слетали к ним и подбирали просыпанные зерна. Воронья, чуя кровь, нетерпеливо каркая, перелетали на березах. Вокруг палаток, больше чем на две десятины места, лежали, сидели, стояли окровавленные люди в различных одеждах. Вокруг раненых, с унылыми и внимательными лицами, стояли толпы солдат носильщиков, которых тщетно отгоняли от этого места распоряжавшиеся порядком офицеры. Не слушая офицеров, солдаты стояли, опираясь на носилки, и пристально, как будто пытаясь понять трудное значение зрелища, смотрели на то, что делалось перед ними. Из палаток слышались то громкие, злые вопли, то жалобные стенания. Изредка выбегали оттуда фельдшера за водой и указывали на тех, который надо было вносить. Раненые, ожидая у палатки своей очереди, хрипели, стонали, плакали, кричали, ругались, просили водки. Некоторые бредили. Князя Андрея, как полкового командира, шагая через неперевязанных раненых, пронесли ближе к одной из палаток и остановились, ожидая приказания. Князь Андрей открыл глаза и долго не мог понять того, что делалось вокруг него. Луг, полынь, пашня, черный крутящийся мячик и его страстный порыв любви к жизни вспомнились ему. В двух шагах от него, громко говоря и обращая на себя общее внимание, стоял, опершись на сук и с обвязанной головой, высокий, красивый, черноволосый унтер офицер. Он был ранен в голову и ногу пулями. Вокруг него, жадно слушая его речь, собралась толпа раненых и носильщиков.