Нормальное число
Нормальное число по основанию n (<math>n \in \mathbb{N}, n \geqslant 2</math>) — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления каждая группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n-k для каждого k = 1, 2, ….
Числа, нормальные по любому основанию n, называются нормальными или абсолютно нормальными.
Основные свойства и примеры
Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.
Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[1]. В то же время неизвестно, нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[2].
В 2002 году Бехер и Фигейра[3] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.
Открытые проблемы
Существует общее мнение, что числа π и e нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого не ясны.
Напишите отзыв о статье "Нормальное число"
Примечания
- ↑ D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
- ↑ Bailey, D. H.; Crandall, R. E. [www.emis.ams.org/journals/EM/expmath/volumes/11/11.4/pp527_546.pdf Random Generators and Normal Numbers] // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546.
- ↑ Becher, V. & Figueira, S. (2002), "[dx.doi.org/10.1016%2FS0304-3975%2801%2900170-0 An example of a computable absolutely normal number]", Theoretical Computer Science Т. 270: 947–958, DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html Normal Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/ChampernowneConstant.html Champernowne Constant] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Отрывок, характеризующий Нормальное число
Он воображал себе, что по его воле произошла война с Россией, и ужас совершившегося не поражал его душу. Он смело принимал на себя всю ответственность события, и его помраченный ум видел оправдание в том, что в числе сотен тысяч погибших людей было меньше французов, чем гессенцев и баварцев.Несколько десятков тысяч человек лежало мертвыми в разных положениях и мундирах на полях и лугах, принадлежавших господам Давыдовым и казенным крестьянам, на тех полях и лугах, на которых сотни лет одновременно сбирали урожаи и пасли скот крестьяне деревень Бородина, Горок, Шевардина и Семеновского. На перевязочных пунктах на десятину места трава и земля были пропитаны кровью. Толпы раненых и нераненых разных команд людей, с испуганными лицами, с одной стороны брели назад к Можайску, с другой стороны – назад к Валуеву. Другие толпы, измученные и голодные, ведомые начальниками, шли вперед. Третьи стояли на местах и продолжали стрелять.
Над всем полем, прежде столь весело красивым, с его блестками штыков и дымами в утреннем солнце, стояла теперь мгла сырости и дыма и пахло странной кислотой селитры и крови. Собрались тучки, и стал накрапывать дождик на убитых, на раненых, на испуганных, и на изнуренных, и на сомневающихся людей. Как будто он говорил: «Довольно, довольно, люди. Перестаньте… Опомнитесь. Что вы делаете?»
Измученным, без пищи и без отдыха, людям той и другой стороны начинало одинаково приходить сомнение о том, следует ли им еще истреблять друг друга, и на всех лицах было заметно колебанье, и в каждой душе одинаково поднимался вопрос: «Зачем, для кого мне убивать и быть убитому? Убивайте, кого хотите, делайте, что хотите, а я не хочу больше!» Мысль эта к вечеру одинаково созрела в душе каждого. Всякую минуту могли все эти люди ужаснуться того, что они делали, бросить всо и побежать куда попало.
Но хотя уже к концу сражения люди чувствовали весь ужас своего поступка, хотя они и рады бы были перестать, какая то непонятная, таинственная сила еще продолжала руководить ими, и, запотелые, в порохе и крови, оставшиеся по одному на три, артиллеристы, хотя и спотыкаясь и задыхаясь от усталости, приносили заряды, заряжали, наводили, прикладывали фитили; и ядра так же быстро и жестоко перелетали с обеих сторон и расплюскивали человеческое тело, и продолжало совершаться то страшное дело, которое совершается не по воле людей, а по воле того, кто руководит людьми и мирами.
