Оператор координаты

В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

Определение

Оператор <math>\hat{X}</math> в координатном представлении есть сама координата x. В импульсном представлении оператор координаты выражается через производную по импульсу, <math>\hat{X} = i\hbar \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}</math>.

Свойства

Оператор координаты не коммутирует с оператором импульса, то есть

<math> [\hat{X}, \hat{P}] \not\equiv 0</math>

Таким образом, для пары наблюдаемых величин x и p выполняется соотношение неопределённостей Гейзенберга:

<math> \Delta x \Delta p \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>,

где ħ — приведённая постоянная Планка.

Согласно каноническому коммутационному соотношению:

<math> [\hat{X},\hat{P_{x}}]= i\hbar </math>
<math> [\hat{Y},\hat{P_{y}}]= i\hbar </math>
<math> [\hat{Z},\hat{P_{z}}]= i\hbar </math>
и все остальные коммутаторы между <math> \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z}, \hat{P_{x}}, \hat{P_{y}}, \hat{P_{z}}</math> равны 0

Применение

Среднее значение координаты для состояния с волновой функцией ψ определяется как

<math> \langle x\rangle =(\hat{X}\psi,\psi ) = \langle\psi\vert\hat{X}\vert\psi\rangle = \int\limits_{V}{x\psi^\ast\psi}dV</math>

Источники

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.

Отрывок, характеризующий Оператор координаты

В то время как Ростов делал эти соображения и печально отъезжал от государя, капитан фон Толь случайно наехал на то же место и, увидав государя, прямо подъехал к нему, предложил ему свои услуги и помог перейти пешком через канаву. Государь, желая отдохнуть и чувствуя себя нездоровым, сел под яблочное дерево, и Толь остановился подле него. Ростов издалека с завистью и раскаянием видел, как фон Толь что то долго и с жаром говорил государю, как государь, видимо, заплакав, закрыл глаза рукой и пожал руку Толю.
«И это я мог бы быть на его месте?» подумал про себя Ростов и, едва удерживая слезы сожаления об участи государя, в совершенном отчаянии поехал дальше, не зная, куда и зачем он теперь едет.
Его отчаяние было тем сильнее, что он чувствовал, что его собственная слабость была причиной его горя.
Он мог бы… не только мог бы, но он должен был подъехать к государю. И это был единственный случай показать государю свою преданность. И он не воспользовался им… «Что я наделал?» подумал он. И он повернул лошадь и поскакал назад к тому месту, где видел императора; но никого уже не было за канавой. Только ехали повозки и экипажи. От одного фурмана Ростов узнал, что Кутузовский штаб находится неподалеку в деревне, куда шли обозы. Ростов поехал за ними.
Впереди его шел берейтор Кутузова, ведя лошадей в попонах. За берейтором ехала повозка, и за повозкой шел старик дворовый, в картузе, полушубке и с кривыми ногами.