Погружение (топология)

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Иное название этого понятия — «Иммерсия»; см. также другие значения.

В топологии, погружение или иммерсия — такое отображение <math>f:X\to Y</math> одного топологического пространства в другое, при котором каждая точка в <math>X</math> имеет окрестность <math>U</math>, которую <math>f</math> гомеоморфно отображает на <math>f(U)</math>.

Это понятие применяется главным образом к отображению многообразий, где часто дополнительно требуется еще выполнение условия локальной плоскости. Последнее условие автоматически выполнено, если многообразия <math>X</math> и <math>Y</math> являются дифференцируемыми, и матрица Якоби отображения <math>f</math> имеет в каждой точке максимальный ранг, равный размерности <math>X</math>.

Классификация погружений

Задача классификации погружений одного многообразия в другое с точностью до так называемой регулярной гомотопии сведена к чисто гомотопической задаче. В дифференцируемом случае, гомотопия <math>f_t:X\to Y</math> называется регулярной, если матрица Якоби имеет максимальный ранг при каждом <math>t</math> и непрерывно зависит от <math>t</math>. Дифференциал <math>D:TX\to TY</math> погружения определяет послойный мономорфизм касательного расслоения <math>X</math> в касательное расслоение <math>Y</math>. Регулярная гомотопия определяет гомотопию таких мономорфизмов.

Оказывается, что этим устанавливается биекция между классами регулярных гомотопий и гомотопическими классами мономорфизмов расслоений.

Задача погружения в евклидовы пространства сводится к задаче гомотопической классификации погружений в многообразия Штифеля <math>V_n^m</math>. Например, так как <math>\pi_2(V^3_2)=0</math>, то имеется только один класс погружений сферы <math>S^2</math> в <math>\R^3</math>, так что стандартное вложение регулярно гомотопно своему зеркальному отражению (то есть сферу можно «регулярно вывернуть наизнанку», см. парадокс Смейла). Так как <math>\pi_1(V^2_1)=\Z</math>, то имеется счётное число классов погружений окружности в плоскость, а так как расслоение Штифеля над <math>S^2</math> гомеоморфно проективному пространству <math>\R P^3</math> и <math>\pi_1(\R P^3)=\Z_2</math>, то имеется только два класса погружений <math>S^1</math> в <math>S^2</math>.

Отрывок, характеризующий Погружение (топология)

Второе распоряжение состояло в том, чтобы Понятовский, направясь на деревню в лес, обошел левое крыло русских. Это не могло быть и не было сделано потому, что Понятовский, направясь на деревню в лес, встретил там загораживающего ему дорогу Тучкова и не мог обойти и не обошел русской позиции.
Третье распоряжение: Генерал Компан двинется в лес, чтоб овладеть первым укреплением. Дивизия Компана не овладела первым укреплением, а была отбита, потому что, выходя из леса, она должна была строиться под картечным огнем, чего не знал Наполеон.
Четвертое: Вице король овладеет деревнею (Бородиным) и перейдет по своим трем мостам, следуя на одной высоте с дивизиями Марана и Фриана (о которых не сказано: куда и когда они будут двигаться), которые под его предводительством направятся к редуту и войдут в линию с прочими войсками.
Сколько можно понять – если не из бестолкового периода этого, то из тех попыток, которые деланы были вице королем исполнить данные ему приказания, – он должен был двинуться через Бородино слева на редут, дивизии же Морана и Фриана должны были двинуться одновременно с фронта.
Все это, так же как и другие пункты диспозиции, не было и не могло быть исполнено. Пройдя Бородино, вице король был отбит на Колоче и не мог пройти дальше; дивизии же Морана и Фриана не взяли редута, а были отбиты, и редут уже в конце сражения был захвачен кавалерией (вероятно, непредвиденное дело для Наполеона и неслыханное). Итак, ни одно из распоряжений диспозиции не было и не могло быть исполнено. Но в диспозиции сказано, что по вступлении таким образом в бой будут даны приказания, соответственные действиям неприятеля, и потому могло бы казаться, что во время сражения будут сделаны Наполеоном все нужные распоряжения; но этого не было и не могло быть потому, что во все время сражения Наполеон находился так далеко от него, что (как это и оказалось впоследствии) ход сражения ему не мог быть известен и ни одно распоряжение его во время сражения не могло быть исполнено.


Многие историки говорят, что Бородинское сражение не выиграно французами потому, что у Наполеона был насморк, что ежели бы у него не было насморка, то распоряжения его до и во время сражения были бы еще гениальнее, и Россия бы погибла, et la face du monde eut ete changee. [и облик мира изменился бы.] Для историков, признающих то, что Россия образовалась по воле одного человека – Петра Великого, и Франция из республики сложилась в империю, и французские войска пошли в Россию по воле одного человека – Наполеона, такое рассуждение, что Россия осталась могущественна потому, что у Наполеона был большой насморк 26 го числа, такое рассуждение для таких историков неизбежно последовательно.