Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Гомеоморфи́зм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> и <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> — два топологических пространства. Функция <math>f:X \to Y</math> называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также <math>f</math> и обратная функция <math>f^{-1}</math> непрерывны.

Связанные определения

• Пространства <math>X</math> и <math>Y</math> в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.
  • Обычно это отношение обозначается <math>X\simeq Y</math>.

Теорема о гомеоморфизме

Пусть <math>|a,b|\subset \mathbb{R}</math> — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть <math>f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R</math> — биекция. Тогда <math>f</math> является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>f</math> строго монотонна и непрерывна на <math>|a,b|.</math>

Пример

• Произвольный открытый интервал <math>(a,b) \subset \mathbb{R}</math> гомеоморфен всей числовой прямой <math>\mathbb{R}</math>. Гомеоморфизм <math>f:(a,b) \to \mathbb{R}</math> задаётся, например, формулой

<math>f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).</math>

• Интервал <math>(0, \; 1)</math> гомеоморфен отрезку <math>[0, \; 1]</math> в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.</span>
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.</span>
• Тимофеева Н. В. [cito-web.yspu.org/link1/metod/met59/node3.html Дифференциальная геометрия и элементы топологии]. — ЯГПУ, 2007.</span>
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

Ссылки

• Горбов А. И. Гомеоморфизм // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Отрывок, характеризующий Гомеоморфизм

Наполеон, выехав 24 го к Валуеву, не увидал (как говорится в историях) позицию русских от Утицы к Бородину (он не мог увидать эту позицию, потому что ее не было) и не увидал передового поста русской армии, а наткнулся в преследовании русского арьергарда на левый фланг позиции русских, на Шевардинский редут, и неожиданно для русских перевел войска через Колочу. И русские, не успев вступить в генеральное сражение, отступили своим левым крылом из позиции, которую они намеревались занять, и заняли новую позицию, которая была не предвидена и не укреплена. Перейдя на левую сторону Колочи, влево от дороги, Наполеон передвинул все будущее сражение справа налево (со стороны русских) и перенес его в поле между Утицей, Семеновским и Бородиным (в это поле, не имеющее в себе ничего более выгодного для позиции, чем всякое другое поле в России), и на этом поле произошло все сражение 26 го числа. В грубой форме план предполагаемого сражения и происшедшего сражения будет следующий:

Ежели бы Наполеон не выехал вечером 24 го числа на Колочу и не велел бы тотчас же вечером атаковать редут, а начал бы атаку на другой день утром, то никто бы не усомнился в том, что Шевардинский редут был левый фланг нашей позиции; и сражение произошло бы так, как мы его ожидали. В таком случае мы, вероятно, еще упорнее бы защищали Шевардинский редут, наш левый фланг; атаковали бы Наполеона в центре или справа, и 24 го произошло бы генеральное сражение на той позиции, которая была укреплена и предвидена. Но так как атака на наш левый фланг произошла вечером, вслед за отступлением нашего арьергарда, то есть непосредственно после сражения при Гридневой, и так как русские военачальники не хотели или не успели начать тогда же 24 го вечером генерального сражения, то первое и главное действие Бородинского сражения было проиграно еще 24 го числа и, очевидно, вело к проигрышу и того, которое было дано 26 го числа.
После потери Шевардинского редута к утру 25 го числа мы оказались без позиции на левом фланге и были поставлены в необходимость отогнуть наше левое крыло и поспешно укреплять его где ни попало.
Но мало того, что 26 го августа русские войска стояли только под защитой слабых, неконченных укреплений, – невыгода этого положения увеличилась еще тем, что русские военачальники, не признав вполне совершившегося факта (потери позиции на левом фланге и перенесения всего будущего поля сражения справа налево), оставались в своей растянутой позиции от села Нового до Утицы и вследствие того должны были передвигать свои войска во время сражения справа налево. Таким образом, во все время сражения русские имели против всей французской армии, направленной на наше левое крыло, вдвое слабейшие силы. (Действия Понятовского против Утицы и Уварова на правом фланге французов составляли отдельные от хода сражения действия.)
Итак, Бородинское сражение произошло совсем не так, как (стараясь скрыть ошибки наших военачальников и вследствие того умаляя славу русского войска и народа) описывают его. Бородинское сражение не произошло на избранной и укрепленной позиции с несколько только слабейшими со стороны русских силами, а Бородинское сражение, вследствие потери Шевардинского редута, принято было русскими на открытой, почти не укрепленной местности с вдвое слабейшими силами против французов, то есть в таких условиях, в которых не только немыслимо было драться десять часов и сделать сражение нерешительным, но немыслимо было удержать в продолжение трех часов армию от совершенного разгрома и бегства.