Проективное преобразование

Проективное преобразование — это преобразование проективной плоскости, переводящее прямые в прямые.

Определение

Проективное преобразование — это взаимно-однозначное отображение <math>\phi</math> проективного пространства на себя, сохраняющее отношение порядка частично упорядоченного множества всех подпространств.

Проективное преобразование прямой — биективное преобразование прямой, переводящее гармоническую четверку точек в гармоническую четверку точек.

Проективное преобразование плоскости — это взаимно-однозначное отображение <math>\phi\colon\pi\to\pi</math> проективной плоскости <math>\pi</math> на себя, при котором для любой прямой <math>l\subset\pi</math> образ <math>\phi(l)</math> также является прямой.

Свойства

• Проективное преобразование сохраняет двойное отношение.
• Проективное преобразование является взаимно однозначным отображением множества точек проективной плоскости, а также является взаимно однозначным отображением множества лучей пучка с центром P.
• Отображение, обратное проективному, является проективным отображением. Композиция проективных отображений является проективным. То есть множество проективных отображений образует группу.
• Центральное проектирование — частный случай проективного преобразования.
• Аффинное преобразование является частным случаем проективного.
• Каждая прямая плоскости при проективном преобразовании плоскости отображается проективно на некоторую прямую. Каждый пучок лучей плоскости проективно отображается на пучок лучей.
• Проективное преобразование плоскости определяется заданием четырёх пар соответствующих по отображению точек, причём никакие три точки из четверки образов или прообразов не лежат на одной прямой. При нетождественном отображении число неподвижных точек не более трех.
• Каждое проективное преобразование плоскости является обратимым линейным преобразованием соответствующего ей трёхмерного пространства. В однородных координатах оно представляется уравнениями:

<math>\begin{cases} \lambda x_1' = c_{11}x_1+c_{12}x_2+c_{13}x_3 \\ \lambda x_2' = c_{21}x_1+c_{22}x_2+c_{23}x_3 \\ \lambda x_3' = c_{31}x_1+c_{32}x_2+c_{33}x_3

\end{cases}</math>

причём <math>\det (c_{ij}) \neq 0</math>.

Инволюция

Проективное преобразование <math>\phi</math> называется инволюцией, если для любой точки P верно, что <math>\phi (\phi(P))=P</math>.

Если <math>\phi</math> — инволюция, то <math>\phi ^{-1} = \phi</math>.

Если проективное преобразование <math>\phi</math> прямой имеет хотя бы одну такую точку P, что <math>\phi (\phi(P))=P</math>, то <math>\phi</math> — инволюция.

Если нетождественная инволюция проективной прямой имеет неподвижные точки, то их число равно либо двум, либо нулю. Инволюция, имеющая 2 неподвижные точки, называется гиперболической. Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция определяется заданием двух пар соответствующих точек.

Коллинеация

Коллинеацией называется проективное преобразование, переводящее точки в точки, прямые в прямые и сохраняющее отношение инцидентности точек и прямых, а также двойное отношение любой четверки коллинеарных точек точек. Коллинеации образуют группу. Требование сохранения двойного отношения четверки коллинеарных точек избыточно, но это сложно доказывается. Коллинеации рассматривают вместе с корреляциями, проективными преобразованиями, переводящими точки в прямые, а прямые в точки.

Перспектива

Пусть на проективной плоскости имеются 2 различные прямые <math>u_1, u_2</math> и не принадлежащая им точка S. Преобразование <math>\psi</math> проективной плоскости называется перспективой, если <math>\psi : u_1 \to u_2</math> и для любой точки <math>A \in u_1</math> точки <math>S,A, \psi (A)</math> коллинеарны.

Перспективное отображение биективно, сохраняет точку пересечения прямых <math>u_1, u_2</math> и сохраняет двойное отношение четверки точек.

Гомология

Гомологией называется нетождественная коллинеация, для которой существует поточечно неподвижная прямая p, называемая осью гомологии.

Для всякой гомологии существует неподвижная точка P (центр гомологии), обладающая тем свойством, что всякая инцидентная ей прямая неподвижна. Кроме центра P и точек оси p гомология неподвижных точек не имеет. Если <math>P \in p</math>, то гомология называется параболической, иначе — гиперболической.

При гомологии плоскости точка и её образ лежат на одной прямой с центром гомологии, а прямая и её образ пересекаются на оси гомологии.

Гомологию можно задать центром, осью и парой соответственных прямых. Гомологию можно также задать центром, осью и т. н. константой гомологии, отличной от <math>0,1,\infty</math>.

Инволюционная гомология имеет константу гомологии равную −1.

Литература

• Д. А. Граве. Гомография // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979.
• Р. Хартсхорн. Основы проективной геометрии. — М.: Мир, 1970.
• Р. Курант, Г. Роббинс. [www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?]
• Н. В. Ефимов. [eek.diary.ru/p165970944.htm Высшая геометрия]. — ФизМатЛит, 2003.
• С. Л. Певзнер. Проективная геометрия. Учебное пособие по курсу "Геометрия" для студентов- заочников II-III курсов физико-математических факультетов. — М.: Просвещение, 1980.

См. также

• Двойное отношение
• Однородные координаты
• Проективная геометрия
• Проективная плоскость

Отрывок, характеризующий Проективное преобразование

В клубе всё шло своим обыкновенным порядком: гости, съехавшиеся обедать, сидели группами и здоровались с Пьером и говорили о городских новостях. Лакей, поздоровавшись с ним, доложил ему, зная его знакомство и привычки, что место ему оставлено в маленькой столовой, что князь Михаил Захарыч в библиотеке, а Павел Тимофеич не приезжали еще. Один из знакомых Пьера между разговором о погоде спросил у него, слышал ли он о похищении Курагиным Ростовой, про которое говорят в городе, правда ли это? Пьер, засмеявшись, сказал, что это вздор, потому что он сейчас только от Ростовых. Он спрашивал у всех про Анатоля; ему сказал один, что не приезжал еще, другой, что он будет обедать нынче. Пьеру странно было смотреть на эту спокойную, равнодушную толпу людей, не знавшую того, что делалось у него в душе. Он прошелся по зале, дождался пока все съехались, и не дождавшись Анатоля, не стал обедать и поехал домой.
Анатоль, которого он искал, в этот день обедал у Долохова и совещался с ним о том, как поправить испорченное дело. Ему казалось необходимо увидаться с Ростовой. Вечером он поехал к сестре, чтобы переговорить с ней о средствах устроить это свидание. Когда Пьер, тщетно объездив всю Москву, вернулся домой, камердинер доложил ему, что князь Анатоль Васильич у графини. Гостиная графини была полна гостей.
Пьер не здороваясь с женою, которую он не видал после приезда (она больше чем когда нибудь ненавистна была ему в эту минуту), вошел в гостиную и увидав Анатоля подошел к нему.
– Ah, Pierre, – сказала графиня, подходя к мужу. – Ты не знаешь в каком положении наш Анатоль… – Она остановилась, увидав в опущенной низко голове мужа, в его блестящих глазах, в его решительной походке то страшное выражение бешенства и силы, которое она знала и испытала на себе после дуэли с Долоховым.
– Где вы – там разврат, зло, – сказал Пьер жене. – Анатоль, пойдемте, мне надо поговорить с вами, – сказал он по французски.
Анатоль оглянулся на сестру и покорно встал, готовый следовать за Пьером.
Пьер, взяв его за руку, дернул к себе и пошел из комнаты.
– Si vous vous permettez dans mon salon, [Если вы позволите себе в моей гостиной,] – шопотом проговорила Элен; но Пьер, не отвечая ей вышел из комнаты.
Анатоль шел за ним обычной, молодцоватой походкой. Но на лице его было заметно беспокойство.
Войдя в свой кабинет, Пьер затворил дверь и обратился к Анатолю, не глядя на него.
– Вы обещали графине Ростовой жениться на ней и хотели увезти ее?
– Мой милый, – отвечал Анатоль по французски (как и шел весь разговор), я не считаю себя обязанным отвечать на допросы, делаемые в таком тоне.
Лицо Пьера, и прежде бледное, исказилось бешенством. Он схватил своей большой рукой Анатоля за воротник мундира и стал трясти из стороны в сторону до тех пор, пока лицо Анатоля не приняло достаточное выражение испуга.
– Когда я говорю, что мне надо говорить с вами… – повторял Пьер.
– Ну что, это глупо. А? – сказал Анатоль, ощупывая оторванную с сукном пуговицу воротника.
– Вы негодяй и мерзавец, и не знаю, что меня воздерживает от удовольствия разможжить вам голову вот этим, – говорил Пьер, – выражаясь так искусственно потому, что он говорил по французски. Он взял в руку тяжелое пресспапье и угрожающе поднял и тотчас же торопливо положил его на место.
– Обещали вы ей жениться?
– Я, я, я не думал; впрочем я никогда не обещался, потому что…
Пьер перебил его. – Есть у вас письма ее? Есть у вас письма? – повторял Пьер, подвигаясь к Анатолю.
Анатоль взглянул на него и тотчас же, засунув руку в карман, достал бумажник.
Пьер взял подаваемое ему письмо и оттолкнув стоявший на дороге стол повалился на диван.
– Je ne serai pas violent, ne craignez rien, [Не бойтесь, я насилия не употреблю,] – сказал Пьер, отвечая на испуганный жест Анатоля. – Письма – раз, – сказал Пьер, как будто повторяя урок для самого себя. – Второе, – после минутного молчания продолжал он, опять вставая и начиная ходить, – вы завтра должны уехать из Москвы.
– Но как же я могу…
– Третье, – не слушая его, продолжал Пьер, – вы никогда ни слова не должны говорить о том, что было между вами и графиней. Этого, я знаю, я не могу запретить вам, но ежели в вас есть искра совести… – Пьер несколько раз молча прошел по комнате. Анатоль сидел у стола и нахмурившись кусал себе губы.
– Вы не можете не понять наконец, что кроме вашего удовольствия есть счастье, спокойствие других людей, что вы губите целую жизнь из того, что вам хочется веселиться. Забавляйтесь с женщинами подобными моей супруге – с этими вы в своем праве, они знают, чего вы хотите от них. Они вооружены против вас тем же опытом разврата; но обещать девушке жениться на ней… обмануть, украсть… Как вы не понимаете, что это так же подло, как прибить старика или ребенка!…
Пьер замолчал и взглянул на Анатоля уже не гневным, но вопросительным взглядом.
– Этого я не знаю. А? – сказал Анатоль, ободряясь по мере того, как Пьер преодолевал свой гнев. – Этого я не знаю и знать не хочу, – сказал он, не глядя на Пьера и с легким дрожанием нижней челюсти, – но вы сказали мне такие слова: подло и тому подобное, которые я comme un homme d'honneur [как честный человек] никому не позволю.
Пьер с удивлением посмотрел на него, не в силах понять, чего ему было нужно.