Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций <math>f_\alpha:X\to\R</math>, где <math>\alpha\in A</math>, <math>A</math> — некоторое множество индексов, <math>X</math> — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой <math>C</math>.

<math>\exists C > 0 \; \forall \alpha \in A \; \forall x \in X \; |f_\alpha(x)|\leqslant C.</math>

Вариации и обобщения

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений <math>f_\alpha:X\to Y</math>, где <math>Y</math> — полунормированное пространство с полунормой <math>\Vert*\Vert</math>, называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная <math>C > 0</math>, что для всех <math>\alpha\in A</math> и всех <math>x\in X</math> выполняется неравенство

<math>\Vert f_\alpha(x)\Vert\leqslant C</math>

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная <math>C\in\R</math>, что для всех а <math>\alpha\in A</math> и всех <math>x\in X</math> выполняется неравенство <math>f_\alpha(x)\leqslant C</math> (соответственно <math>f_\alpha(x)\geqslant C</math>)

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений <math>f_\alpha:X\to Y</math> в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. также

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Равномерная ограниченность

Долго не мог понять Пьер того, что с ним было. Со всех сторон он слышал вопли радости товарищей.
– Братцы! Родимые мои, голубчики! – плача, кричали старые солдаты, обнимая казаков и гусар. Гусары и казаки окружали пленных и торопливо предлагали кто платья, кто сапоги, кто хлеба. Пьер рыдал, сидя посреди их, и не мог выговорить ни слова; он обнял первого подошедшего к нему солдата и, плача, целовал его.
Долохов стоял у ворот разваленного дома, пропуская мимо себя толпу обезоруженных французов. Французы, взволнованные всем происшедшим, громко говорили между собой; но когда они проходили мимо Долохова, который слегка хлестал себя по сапогам нагайкой и глядел на них своим холодным, стеклянным, ничего доброго не обещающим взглядом, говор их замолкал. С другой стороны стоял казак Долохова и считал пленных, отмечая сотни чертой мела на воротах.
– Сколько? – спросил Долохов у казака, считавшего пленных.
– На вторую сотню, – отвечал казак.
– Filez, filez, [Проходи, проходи.] – приговаривал Долохов, выучившись этому выражению у французов, и, встречаясь глазами с проходившими пленными, взгляд его вспыхивал жестоким блеском.
Денисов, с мрачным лицом, сняв папаху, шел позади казаков, несших к вырытой в саду яме тело Пети Ростова.