Равносторонний многоугольник
Равносторонний многоугольник — многоугольник, у которого все стороны равны. Например, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны одинаковы; все равносторонние треугольники подобны и имеют внутренние углы[en] 60 градусов. Равносторонний четырёхугольник — это ромб, и квадрат является частным случаем ромба.
Содержание
Свойства
Равносторонний многоугольник, который также и равноуголен является правильным многоугольником.
Равносторонний многоугольник, вписанный в окружность (его вершины лежат на окружности) является правильным многоугольником (то есть многоугольником, одновременно и равносторонним, и равноугольным).
Описанный многоугольник (у которого существует окружность, касающаяся всех его сторон) является равносторонним в том и только в том случае, когда углы через один равны (то есть, при последовательной нумерации углов углы с номерами 1, 3, 5, … равны и углы 2, 4, … равны). Таким образом, если <math>n</math> — нечётно, описанный многоугольник является равносторонним в том и только в том случае, когда он правильный[1].
Все равносторонние четырёхугольники выпуклы[en], но существуют вогнутые[en] равносторонние пятиугольники, как и выпуклые равносторонние многоугольники с большим числом сторон.
Каждая главная диагональ шестиугольника делит его на четырёхугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике с общей стороной <math>a</math> существует[2] главная диагональ <math>d_1</math>, такая что:
- <math>\frac{d_1}{a} \leqslant 2</math>,
и главная диагональ <math>d_2</math>, такая, что:
- <math>\frac{d_2}{a} > \sqrt{3}</math>.
Существует конечная последовательность элементарных отражений, переводящих любой равносторонний многоугольник в правильный[3][4].
Теорема Вивиани
Теорема Вивиани в части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до каждой из сторон обобщается для равносторонних многоугольников[5]. Действительно, представив стороны многоугольника в виде векторов <math>(a_i,b_i)</math>, притом выбрав направления так, чтобы конец одного вектора был началом другого, сумма этих векторов равна нулю, а следовательно:
- <math>\sum_{i=1}^n a_i = 0</math>, <math>\sum_{i=1}^n b_i = 0</math>.
Без умаления общности можно считать, что все длины векторов равны 1. Повернув все векторы на 90° в одном направлении, получатся векторы <math>(-b_i,a_i)</math>, и все они будут нормалями к сторонам. Уравнение прямой, проходящей через сторону <math>i</math> будет задаваться уравнением <math>-b_ix + a_iy + c_i = 0</math>. Поскольку длина вектора равна единице, расстояние до прямой от любой точки <math>(x, y)</math> плоскости будет равно <math>-b_ix + a_iy + c_i</math> (расстояние может быть отрицательным — зависит от того, в какой полуплоскости лежит точка), а сумма расстояний равна <math>\sum_{i=1}^n (-b_ix + a_iy + c_i) = -x\sum_{i=1}^n b_i + y\sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=1}^n c_i = \sum_{i=1}^n c_i</math>, то есть, не зависит от положения точки.
Площадь и периметр равносторонних многоугольников
- Если <math>n</math> нечётно, то правильный <math>n</math>-угольник единичного диаметра даёт максимальную возможную площадь и периметр[6].
- Правильный <math>n</math>-угольник является единственным решением в задаче нахождения максимальной площади фигуры единичного диаметра, если <math>n</math> нечётно, но в задаче нахождения максимального периода при <math>n</math> нечётном решение единственно только для простых <math>n</math>.
- Если <math>n</math> чётно и <math>n \geqslant 6</math>, то правильный <math>n</math>-угольник единичного диаметра не даёт ни максимальной площади, ни максимального периметра.
- Если <math>n</math> имеет нечётный делитель, то любой многоугольник с максимальным периметром является равносторонним.
См. также
Напишите отзыв о статье "Равносторонний многоугольник"
Примечания
- ↑ Michael De Villiers Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — March 2011. — Вып. 95. — С. 102-107.
- ↑ Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf]. p.184,#286.3
- ↑ Godfried Toussaint The Erds–Nagy theorem and its ramifications // Computational Geometry. — 2005. — Вып. 31. — С. 219-236.
- ↑ Kenneth C. Millett Knotting of regular polygons in 3-space // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1994. — Т. 3, вып. 3. — С. 263-278.
- ↑ Elias Abboud On Viviani’s Theorem and its Extensions // College Mathematics Journal. — March, 2010. — Т. 43 (3).
- ↑ Michael J. Mossinghoff An Isodiametric Problem for Equilateral Polygons // Contemporary Mathematics. — 2008. — Т. 457,.
Ссылки
- [www.mathopenref.com/equilateral.html Equilateral triangle] With interactive animation
- [www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/EquiangularPoly.shtml A Property of Equiangular Polygons: What Is It About?] a discussion of Viviani’s theorem at Cut-the-knot.
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
Отрывок, характеризующий Равносторонний многоугольник
Ложа Элен наполнилась и окружилась со стороны партера самыми знатными и умными мужчинами, которые, казалось, наперерыв желали показать всем, что они знакомы с ней.Курагин весь этот антракт стоял с Долоховым впереди у рампы, глядя на ложу Ростовых. Наташа знала, что он говорил про нее, и это доставляло ей удовольствие. Она даже повернулась так, чтобы ему виден был ее профиль, по ее понятиям, в самом выгодном положении. Перед началом второго акта в партере показалась фигура Пьера, которого еще с приезда не видали Ростовы. Лицо его было грустно, и он еще потолстел, с тех пор как его последний раз видела Наташа. Он, никого не замечая, прошел в первые ряды. Анатоль подошел к нему и стал что то говорить ему, глядя и указывая на ложу Ростовых. Пьер, увидав Наташу, оживился и поспешно, по рядам, пошел к их ложе. Подойдя к ним, он облокотился и улыбаясь долго говорил с Наташей. Во время своего разговора с Пьером, Наташа услыхала в ложе графини Безуховой мужской голос и почему то узнала, что это был Курагин. Она оглянулась и встретилась с ним глазами. Он почти улыбаясь смотрел ей прямо в глаза таким восхищенным, ласковым взглядом, что казалось странно быть от него так близко, так смотреть на него, быть так уверенной, что нравишься ему, и не быть с ним знакомой.
Во втором акте были картины, изображающие монументы и была дыра в полотне, изображающая луну, и абажуры на рампе подняли, и стали играть в басу трубы и контрабасы, и справа и слева вышло много людей в черных мантиях. Люди стали махать руками, и в руках у них было что то вроде кинжалов; потом прибежали еще какие то люди и стали тащить прочь ту девицу, которая была прежде в белом, а теперь в голубом платье. Они не утащили ее сразу, а долго с ней пели, а потом уже ее утащили, и за кулисами ударили три раза во что то металлическое, и все стали на колена и запели молитву. Несколько раз все эти действия прерывались восторженными криками зрителей.
Во время этого акта Наташа всякий раз, как взглядывала в партер, видела Анатоля Курагина, перекинувшего руку через спинку кресла и смотревшего на нее. Ей приятно было видеть, что он так пленен ею, и не приходило в голову, чтобы в этом было что нибудь дурное.
Когда второй акт кончился, графиня Безухова встала, повернулась к ложе Ростовых (грудь ее совершенно была обнажена), пальчиком в перчатке поманила к себе старого графа, и не обращая внимания на вошедших к ней в ложу, начала любезно улыбаясь говорить с ним.
– Да познакомьте же меня с вашими прелестными дочерьми, – сказала она, – весь город про них кричит, а я их не знаю.
Наташа встала и присела великолепной графине. Наташе так приятна была похвала этой блестящей красавицы, что она покраснела от удовольствия.
– Я теперь тоже хочу сделаться москвичкой, – говорила Элен. – И как вам не совестно зарыть такие перлы в деревне!
Графиня Безухая, по справедливости, имела репутацию обворожительной женщины. Она могла говорить то, чего не думала, и в особенности льстить, совершенно просто и натурально.
– Нет, милый граф, вы мне позвольте заняться вашими дочерьми. Я хоть теперь здесь не надолго. И вы тоже. Я постараюсь повеселить ваших. Я еще в Петербурге много слышала о вас, и хотела вас узнать, – сказала она Наташе с своей однообразно красивой улыбкой. – Я слышала о вас и от моего пажа – Друбецкого. Вы слышали, он женится? И от друга моего мужа – Болконского, князя Андрея Болконского, – сказала она с особенным ударением, намекая этим на то, что она знала отношения его к Наташе. – Она попросила, чтобы лучше познакомиться, позволить одной из барышень посидеть остальную часть спектакля в ее ложе, и Наташа перешла к ней.
В третьем акте был на сцене представлен дворец, в котором горело много свечей и повешены были картины, изображавшие рыцарей с бородками. В середине стояли, вероятно, царь и царица. Царь замахал правою рукою, и, видимо робея, дурно пропел что то, и сел на малиновый трон. Девица, бывшая сначала в белом, потом в голубом, теперь была одета в одной рубашке с распущенными волосами и стояла около трона. Она о чем то горестно пела, обращаясь к царице; но царь строго махнул рукой, и с боков вышли мужчины с голыми ногами и женщины с голыми ногами, и стали танцовать все вместе. Потом скрипки заиграли очень тонко и весело, одна из девиц с голыми толстыми ногами и худыми руками, отделившись от других, отошла за кулисы, поправила корсаж, вышла на середину и стала прыгать и скоро бить одной ногой о другую. Все в партере захлопали руками и закричали браво. Потом один мужчина стал в угол. В оркестре заиграли громче в цимбалы и трубы, и один этот мужчина с голыми ногами стал прыгать очень высоко и семенить ногами. (Мужчина этот был Duport, получавший 60 тысяч в год за это искусство.) Все в партере, в ложах и райке стали хлопать и кричать изо всех сил, и мужчина остановился и стал улыбаться и кланяться на все стороны. Потом танцовали еще другие, с голыми ногами, мужчины и женщины, потом опять один из царей закричал что то под музыку, и все стали петь. Но вдруг сделалась буря, в оркестре послышались хроматические гаммы и аккорды уменьшенной септимы, и все побежали и потащили опять одного из присутствующих за кулисы, и занавесь опустилась. Опять между зрителями поднялся страшный шум и треск, и все с восторженными лицами стали кричать: Дюпора! Дюпора! Дюпора! Наташа уже не находила этого странным. Она с удовольствием, радостно улыбаясь, смотрела вокруг себя.
