Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это матрица, чьи строки или колонки дают в сумме единицу.

Определения

• Матрица <math>P = (P_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</math> называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

<math>P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots</math> и <math>\sum\limits_{j=1}^{\infty} P_{ij} = 1, \quad \forall i</math>.

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

<math>P_{ij} \ge 0, \quad \forall i,j=1,2,\ldots</math> и <math>\sum\limits_{i=1}^{\infty} P_{ij} = 1,\quad \forall j</math>.

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

Замечание

Стохастическая матрица справа является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

Свойства

• Если <math>P</math> и <math>Q</math> — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение <math>R = P Q</math> также является матрицей стохастической слева (справа, дважды).

Регулярная стохастическая матрица

Конечная стохастическая матрица <math>P = (P_{ij}),\; i,j=1,\ldots, N</math> называется регуля́рной, если существует такое <math>n \in \mathbb{N}</math>, что

<math>p^{(n)}_{ij} > 0,\quad \forall i,j=1,\ldots,N</math>,

где <math>p^{(n)}_{ij}</math> — элементы <math>n</math>-ой степени матрицы <math>P</math>, то есть <math>P^n = \left(p^{(n)}_{ij}\right)</math>.

Эргодическая теорема

Если <math>P</math> — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор <math>\mathbf{\pi} = (\pi_1,\ldots,\pi_N)</math> такой, что

<math>P^n \to \mathbf{1}^{\top} \mathbf{\pi}</math>,

где <math>\mathbf{1} = (1,\ldots, 1)</math> — вектор размерности <math>N \times 1</math>, состоящий из единиц.

Отрывок, характеризующий Стохастическая матрица

– Беру, беру назад, – проговорил Пьер и прошу вас извинить меня. Пьер взглянул невольно на оторванную пуговицу. – И денег, ежели вам нужно на дорогу. – Анатоль улыбнулся.
Это выражение робкой и подлой улыбки, знакомой ему по жене, взорвало Пьера.
– О, подлая, бессердечная порода! – проговорил он и вышел из комнаты.
На другой день Анатоль уехал в Петербург.


Пьер поехал к Марье Дмитриевне, чтобы сообщить об исполнении ее желанья – об изгнании Курагина из Москвы. Весь дом был в страхе и волнении. Наташа была очень больна, и, как Марья Дмитриевна под секретом сказала ему, она в ту же ночь, как ей было объявлено, что Анатоль женат, отравилась мышьяком, который она тихонько достала. Проглотив его немного, она так испугалась, что разбудила Соню и объявила ей то, что она сделала. Во время были приняты нужные меры против яда, и теперь она была вне опасности; но всё таки слаба так, что нельзя было думать везти ее в деревню и послано было за графиней. Пьер видел растерянного графа и заплаканную Соню, но не мог видеть Наташи.
Пьер в этот день обедал в клубе и со всех сторон слышал разговоры о попытке похищения Ростовой и с упорством опровергал эти разговоры, уверяя всех, что больше ничего не было, как только то, что его шурин сделал предложение Ростовой и получил отказ. Пьеру казалось, что на его обязанности лежит скрыть всё дело и восстановить репутацию Ростовой.
Он со страхом ожидал возвращения князя Андрея и каждый день заезжал наведываться о нем к старому князю.