Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов
Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что
|
Всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. |
Доказательство теоремы предоставляет собой алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа <math>N</math> с помощью <math>O(N^2\log_{2}{N})</math> арифметических операций[1].
Теорема является решением проблемы Варинга для степени <math>n=2</math>. Поскольку числа вида <math>4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots</math> не представимы суммой трёх квадратов[2], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди <math>G(2)=4</math>.
Примеры
- <math>\begin{align}
3 &= 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2\\ 31 &= 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2\\ 310 &= 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2.
\end{align}</math>
История
Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы[2] и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году.
Напишите отзыв о статье "Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов"
Примечания
- ↑ Тихомиров В. М. [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=1&page=5 Глава 4. Лагранж и его теорема о четырех квадратах] // [www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.1.pdf Великие математики прошлого и их великие теоремы]. — 2-е изд., испр. — МЦНМО, 2003. — Т. 1. — 16 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-94057-110-7.
- ↑ 1 2 [dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с. 22]
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
Отрывок, характеризующий Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов
Все те прежние приемы, бывало, неизменно увенчиваемые успехом: и сосредоточение батарей на один пункт, и атака резервов для прорвания линии, и атака кавалерии des hommes de fer [железных людей], – все эти приемы уже были употреблены, и не только не было победы, но со всех сторон приходили одни и те же известия об убитых и раненых генералах, о необходимости подкреплений, о невозможности сбить русских и о расстройстве войск.Прежде после двух трех распоряжений, двух трех фраз скакали с поздравлениями и веселыми лицами маршалы и адъютанты, объявляя трофеями корпуса пленных, des faisceaux de drapeaux et d'aigles ennemis, [пуки неприятельских орлов и знамен,] и пушки, и обозы, и Мюрат просил только позволения пускать кавалерию для забрания обозов. Так было под Лоди, Маренго, Арколем, Иеной, Аустерлицем, Ваграмом и так далее, и так далее. Теперь же что то странное происходило с его войсками.
Несмотря на известие о взятии флешей, Наполеон видел, что это было не то, совсем не то, что было во всех его прежних сражениях. Он видел, что то же чувство, которое испытывал он, испытывали и все его окружающие люди, опытные в деле сражений. Все лица были печальны, все глаза избегали друг друга. Только один Боссе не мог понимать значения того, что совершалось. Наполеон же после своего долгого опыта войны знал хорошо, что значило в продолжение восьми часов, после всех употрсбленных усилий, невыигранное атакующим сражение. Он знал, что это было почти проигранное сражение и что малейшая случайность могла теперь – на той натянутой точке колебания, на которой стояло сражение, – погубить его и его войска.
Когда он перебирал в воображении всю эту странную русскую кампанию, в которой не было выиграно ни одного сраженья, в которой в два месяца не взято ни знамен, ни пушек, ни корпусов войск, когда глядел на скрытно печальные лица окружающих и слушал донесения о том, что русские всё стоят, – страшное чувство, подобное чувству, испытываемому в сновидениях, охватывало его, и ему приходили в голову все несчастные случайности, могущие погубить его. Русские могли напасть на его левое крыло, могли разорвать его середину, шальное ядро могло убить его самого. Все это было возможно. В прежних сражениях своих он обдумывал только случайности успеха, теперь же бесчисленное количество несчастных случайностей представлялось ему, и он ожидал их всех. Да, это было как во сне, когда человеку представляется наступающий на него злодей, и человек во сне размахнулся и ударил своего злодея с тем страшным усилием, которое, он знает, должно уничтожить его, и чувствует, что рука его, бессильная и мягкая, падает, как тряпка, и ужас неотразимой погибели обхватывает беспомощного человека.
