Проблема Варинга
Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого <math>n>1</math> существует такое число <math>k=k(n)</math>, что всякое натуральное число <math>N</math> может быть представлено в виде:
- <math>x_1^n+x_2^n+\ldots+x_k^n=N\quad</math>
с целыми неотрицательными <math>x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_k</math>.
Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Уорингом (Варингом)[1], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня[2].
Содержание
Основные результаты
До ХХ века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено <math>k=4</math> для проблемы в случае <math>n=2</math>.
Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом[3], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.
В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод[4]. Они ввели две функции — <math>g(n)</math> и <math>G(n)</math>; <math>g(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant 1</math>; <math>G(n)</math> — наименьшее <math>k</math> такое, что проблема Варинга разрешима при <math>N\geqslant N_0(n)</math>. (Ясно, что <math>G(n)\leqslant g(n)</math>.) Харди и Литтлвуд дали для <math>G(n)</math> оценку снизу <math>n<G(n)</math>, которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.
Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов[5].
Функция <math>g(n)</math> известна. Для более фундаментальной функции <math>G(n)</math> получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых <math>n</math> .
Функция g(n)
Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года[6], что:
- <math>g(n)=2^n+[(3/2)^n]-2</math>.
В 1940-е годы Диксон (англ. Leonard Eugene Dickson), Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен[7] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)[8] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений <math>n</math>, превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.
Несколько первых значений <math>g(n)</math>:
- 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1 079, 2 132, 4 223, 8 384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …[9]
Примечательно, что, например, для <math>n=3</math> только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.
Функция G(n)
В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм[10], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для <math>G(n)</math>. После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:
- <math>G(n)<2n\log n+4n\log\log n+2n\log\log\log n+13n</math>.
Применяя сконструированную им <math>p</math>-адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил[11] эту оценку. При <math>n\geqslant 400</math>:
- <math>G(n)<2n\log n+2n\log\log n+12n</math>.
В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года[12], затем — в 1995 году[13]:
- <math>G(n)\leqslant n\log n+n\log\log n+2+O(\log\log n/\log n)</math>.
Вон (англ. Bob Vaughan) и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью[14], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вона 1989 года[15].
| Границы[14] |
|---|
| 4 ≤ G(2) ≤ 4 |
| 4 ≤ G(3) ≤ 7 |
| 16 ≤ G(4) ≤ 16 |
| 6 ≤ G(5) ≤ 17 |
| 9 ≤ G(6) ≤ 24 |
| 8 ≤ G(7) ≤ 33 |
| 32 ≤ G(8) ≤ 42 |
| 13 ≤ G(9) ≤ 50 |
| 12 ≤ G(10) ≤ 59 |
| 12 ≤ G(11) ≤ 67 |
| 16 ≤ G(12) ≤ 76 |
| 14 ≤ G(13) ≤ 84 |
| 15 ≤ G(14) ≤ 92 |
| 16 ≤ G(15) ≤ 100 |
| 64 ≤ G(16) ≤ 109 |
| 18 ≤ G(17) ≤ 117 |
| 27 ≤ G(18) ≤ 125 |
| 20 ≤ G(19) ≤ 134 |
| 25 ≤ G(20) ≤ 142 |
Фактически величина <math>G(n)</math> известна только для 2 значений аргумента, именно <math>G(2)=4</math> и <math>G(4)=16</math>, этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт (англ. Harold Davenport)[16].
То, что <math>G(3)\leqslant 7</math>, доказал[5] Линник. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4[17], наибольшее известное число, не представимое суммой 4 кубов, это 7 373 170 279 850[18]. Также на основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что <math>G(5)<G(4)</math>.
Помимо точных значений <math>G(n)</math> открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми» [19].
Обобщения
Проблема Варинга — Гольдбаха
Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.
Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху <math>O(n^2\log n)</math>[20].
На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков[21], однако в единственной статье 2009 года[22] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха[23].
Точность представления целого числа суммой степеней
Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной <math>2</math>.
Все натуральные числа, за исключением чисел вида <math>4^m(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots,</math> представимы в виде <math>x^2+y^2+z^2</math>. Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу <math>N</math> можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как <math>(n+1)^2-n^2=2n+1</math> и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из <math>n^2</math>, то одним квадратом можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/2}</math>. Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к <math>N</math> на расстояние порядка <math>N^{1/4}</math>. А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что
- <math>\min_{x,\;y\in Z}|N-x^2-y^2|\leqslant N^\varepsilon,</math>
где <math>\varepsilon>0,\;\varepsilon</math> — любое, <math>N\geqslant N_1(\varepsilon)</math>. Заменить <math>1/4</math> в предыдущем рассуждении на <math>1/4-c</math> со сколь угодно малым фиксированным <math>c>0</math>, не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века[24].
Многомерный аналог проблемы Варинга
В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил[25][26] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:
- <math>x_1^{n-i}y_1^i+\ldots+x_k^{n-i}y_k^i=N_i,\quad i=0,\;1,\;\ldots,\;n</math>,
где <math>N_i</math> — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, <math>N_0\to+\infty</math>, а <math>x_{\varkappa},\;y_{\varkappa}</math> — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если <math>k>cn^2\log n</math>, а если <math>k<c_1n^2</math>, то существуют такие <math>N_i</math>, что система не имеет решений.
Напишите отзыв о статье "Проблема Варинга"
Примечания
- ↑ Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
- ↑ [msc2010.org/mscwiki/index.php?title=11Pxx 11P05 Waring’s problem and variants]] // Mathematical Subject Classification, 2010
- ↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
- ↑ Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
- ↑ 1 2 Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
- ↑ Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
- ↑ Niven, Ivan M. (1944). «An unsolved case of the Waring problem». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 66 (1): 137–143. DOI:10.2307/2371901.
- ↑ (1957) «On the fractional parts of the powers of a rational number II». Mathematika 4: 122—124.
- ↑ последовательность A002804 в OEIS
- ↑ Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
- ↑ Карацуба, А. А. (1985). «О функции G(n) в проблеме Варинга». Изв. РАН. Сер. матем. (49:5): 935—947.
- ↑ Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
- ↑ Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
- ↑ 1 2 Vaughan R. C., Wooley T. D. [citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.145.8949&rep=rep1&type=pdf Waring's Problem: A Survey Number Theory for the Millennium]. — A. K. Peters, 2002. — Vol. III. — P. 301–340. — ISBN 978-1-56881-152-9.
- ↑ Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
- ↑ Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
- ↑ Nathanson (1996), p. 71
- ↑ (2000) «7373170279850». Mathematics of Computation 69 (229): 421–439. DOI:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
- ↑ Мирзоабдугафуров К. И. [www.dissland.com/catalog/problema_varinga_dlya_devyati_kubov_s_pochti_ravnimi_slagaemimi.html=article Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми]. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
- ↑ Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
- ↑ [www.math.msu.ru/dean И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков]
- ↑ Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
- ↑ [www.zentralblatt-math.org/zbmath/search/?q=an%3A1220.11128 Рецензия: Zbl 1220.11128]
- ↑ [dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22]
- ↑ Архипов Г. И., Карацуба А. А. (1987). «Многомерный аналог проблемы Варинга». Докл. АН СССР (295:3): 521—523.
- ↑ Karatsuba A. A. (1988). «Waring's problem in several dimension». Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht (42): 5–6.
Литература
- Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.
- Nathanson Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — ISBN 0-387-94656-X.
- [www.mathnet.ru/links/ea2f035d2847e905f2ae7231af7f65ad/fpm260.pdf А. Буфетов, А. Я. Канель. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252]
Отрывок, характеризующий Проблема Варинга
– Ну, хорошо. Нельзя говорить, как скучно!– Qu'est ce qui est la fable de tout Moscou? [Что знает вся Москва?] – вставая, сказал сердито Пьер.
– Полноте, граф. Вы знаете!
– Ничего не знаю, – сказал Пьер.
– Я знаю, что вы дружны были с Натали, и потому… Нет, я всегда дружнее с Верой. Cette chere Vera! [Эта милая Вера!]
– Non, madame, [Нет, сударыня.] – продолжал Пьер недовольным тоном. – Я вовсе не взял на себя роль рыцаря Ростовой, и я уже почти месяц не был у них. Но я не понимаю жестокость…
– Qui s'excuse – s'accuse, [Кто извиняется, тот обвиняет себя.] – улыбаясь и махая корпией, говорила Жюли и, чтобы за ней осталось последнее слово, сейчас же переменила разговор. – Каково, я нынче узнала: бедная Мари Волконская приехала вчера в Москву. Вы слышали, она потеряла отца?
– Неужели! Где она? Я бы очень желал увидать ее, – сказал Пьер.
– Я вчера провела с ней вечер. Она нынче или завтра утром едет в подмосковную с племянником.
– Ну что она, как? – сказал Пьер.
– Ничего, грустна. Но знаете, кто ее спас? Это целый роман. Nicolas Ростов. Ее окружили, хотели убить, ранили ее людей. Он бросился и спас ее…
– Еще роман, – сказал ополченец. – Решительно это общее бегство сделано, чтобы все старые невесты шли замуж. Catiche – одна, княжна Болконская – другая.
– Вы знаете, что я в самом деле думаю, что она un petit peu amoureuse du jeune homme. [немножечко влюблена в молодого человека.]
– Штраф! Штраф! Штраф!
– Но как же это по русски сказать?..
Когда Пьер вернулся домой, ему подали две принесенные в этот день афиши Растопчина.
В первой говорилось о том, что слух, будто графом Растопчиным запрещен выезд из Москвы, – несправедлив и что, напротив, граф Растопчин рад, что из Москвы уезжают барыни и купеческие жены. «Меньше страху, меньше новостей, – говорилось в афише, – но я жизнью отвечаю, что злодей в Москве не будет». Эти слова в первый раз ясно ыоказали Пьеру, что французы будут в Москве. Во второй афише говорилось, что главная квартира наша в Вязьме, что граф Витгснштейн победил французов, но что так как многие жители желают вооружиться, то для них есть приготовленное в арсенале оружие: сабли, пистолеты, ружья, которые жители могут получать по дешевой цене. Тон афиш был уже не такой шутливый, как в прежних чигиринских разговорах. Пьер задумался над этими афишами. Очевидно, та страшная грозовая туча, которую он призывал всеми силами своей души и которая вместе с тем возбуждала в нем невольный ужас, – очевидно, туча эта приближалась.
«Поступить в военную службу и ехать в армию или дожидаться? – в сотый раз задавал себе Пьер этот вопрос. Он взял колоду карт, лежавших у него на столе, и стал делать пасьянс.
– Ежели выйдет этот пасьянс, – говорил он сам себе, смешав колоду, держа ее в руке и глядя вверх, – ежели выйдет, то значит… что значит?.. – Он не успел решить, что значит, как за дверью кабинета послышался голос старшей княжны, спрашивающей, можно ли войти.
– Тогда будет значить, что я должен ехать в армию, – договорил себе Пьер. – Войдите, войдите, – прибавил он, обращаясь к княжие.
(Одна старшая княжна, с длинной талией и окаменелым лидом, продолжала жить в доме Пьера; две меньшие вышли замуж.)
– Простите, mon cousin, что я пришла к вам, – сказала она укоризненно взволнованным голосом. – Ведь надо наконец на что нибудь решиться! Что ж это будет такое? Все выехали из Москвы, и народ бунтует. Что ж мы остаемся?
– Напротив, все, кажется, благополучно, ma cousine, – сказал Пьер с тою привычкой шутливости, которую Пьер, всегда конфузно переносивший свою роль благодетеля перед княжною, усвоил себе в отношении к ней.
– Да, это благополучно… хорошо благополучие! Мне нынче Варвара Ивановна порассказала, как войска наши отличаются. Уж точно можно чести приписать. Да и народ совсем взбунтовался, слушать перестают; девка моя и та грубить стала. Этак скоро и нас бить станут. По улицам ходить нельзя. А главное, нынче завтра французы будут, что ж нам ждать! Я об одном прошу, mon cousin, – сказала княжна, – прикажите свезти меня в Петербург: какая я ни есть, а я под бонапартовской властью жить не могу.
– Да полноте, ma cousine, откуда вы почерпаете ваши сведения? Напротив…
– Я вашему Наполеону не покорюсь. Другие как хотят… Ежели вы не хотите этого сделать…
– Да я сделаю, я сейчас прикажу.
Княжне, видимо, досадно было, что не на кого было сердиться. Она, что то шепча, присела на стул.
– Но вам это неправильно доносят, – сказал Пьер. – В городе все тихо, и опасности никакой нет. Вот я сейчас читал… – Пьер показал княжне афишки. – Граф пишет, что он жизнью отвечает, что неприятель не будет в Москве.
– Ах, этот ваш граф, – с злобой заговорила княжна, – это лицемер, злодей, который сам настроил народ бунтовать. Разве не он писал в этих дурацких афишах, что какой бы там ни был, тащи его за хохол на съезжую (и как глупо)! Кто возьмет, говорит, тому и честь и слава. Вот и долюбезничался. Варвара Ивановна говорила, что чуть не убил народ ее за то, что она по французски заговорила…
– Да ведь это так… Вы всё к сердцу очень принимаете, – сказал Пьер и стал раскладывать пасьянс.
Несмотря на то, что пасьянс сошелся, Пьер не поехал в армию, а остался в опустевшей Москве, все в той же тревоге, нерешимости, в страхе и вместе в радости ожидая чего то ужасного.
На другой день княжна к вечеру уехала, и к Пьеру приехал его главноуправляющий с известием, что требуемых им денег для обмундирования полка нельзя достать, ежели не продать одно имение. Главноуправляющий вообще представлял Пьеру, что все эти затеи полка должны были разорить его. Пьер с трудом скрывал улыбку, слушая слова управляющего.
– Ну, продайте, – говорил он. – Что ж делать, я не могу отказаться теперь!
Чем хуже было положение всяких дел, и в особенности его дел, тем Пьеру было приятнее, тем очевиднее было, что катастрофа, которой он ждал, приближается. Уже никого почти из знакомых Пьера не было в городе. Жюли уехала, княжна Марья уехала. Из близких знакомых одни Ростовы оставались; но к ним Пьер не ездил.
В этот день Пьер, для того чтобы развлечься, поехал в село Воронцово смотреть большой воздушный шар, который строился Леппихом для погибели врага, и пробный шар, который должен был быть пущен завтра. Шар этот был еще не готов; но, как узнал Пьер, он строился по желанию государя. Государь писал графу Растопчину об этом шаре следующее:
«Aussitot que Leppich sera pret, composez lui un equipage pour sa nacelle d'hommes surs et intelligents et depechez un courrier au general Koutousoff pour l'en prevenir. Je l'ai instruit de la chose.
Recommandez, je vous prie, a Leppich d'etre bien attentif sur l'endroit ou il descendra la premiere fois, pour ne pas se tromper et ne pas tomber dans les mains de l'ennemi. Il est indispensable qu'il combine ses mouvements avec le general en chef».
[Только что Леппих будет готов, составьте экипаж для его лодки из верных и умных людей и пошлите курьера к генералу Кутузову, чтобы предупредить его.
Я сообщил ему об этом. Внушите, пожалуйста, Леппиху, чтобы он обратил хорошенько внимание на то место, где он спустится в первый раз, чтобы не ошибиться и не попасть в руки врага. Необходимо, чтоб он соображал свои движения с движениями главнокомандующего.]
Возвращаясь домой из Воронцова и проезжая по Болотной площади, Пьер увидал толпу у Лобного места, остановился и слез с дрожек. Это была экзекуция французского повара, обвиненного в шпионстве. Экзекуция только что кончилась, и палач отвязывал от кобылы жалостно стонавшего толстого человека с рыжими бакенбардами, в синих чулках и зеленом камзоле. Другой преступник, худенький и бледный, стоял тут же. Оба, судя по лицам, были французы. С испуганно болезненным видом, подобным тому, который имел худой француз, Пьер протолкался сквозь толпу.
– Что это? Кто? За что? – спрашивал он. Но вниманье толпы – чиновников, мещан, купцов, мужиков, женщин в салопах и шубках – так было жадно сосредоточено на то, что происходило на Лобном месте, что никто не отвечал ему. Толстый человек поднялся, нахмурившись, пожал плечами и, очевидно, желая выразить твердость, стал, не глядя вокруг себя, надевать камзол; но вдруг губы его задрожали, и он заплакал, сам сердясь на себя, как плачут взрослые сангвинические люди. Толпа громко заговорила, как показалось Пьеру, – для того, чтобы заглушить в самой себе чувство жалости.
– Повар чей то княжеский…
– Что, мусью, видно, русский соус кисел французу пришелся… оскомину набил, – сказал сморщенный приказный, стоявший подле Пьера, в то время как француз заплакал. Приказный оглянулся вокруг себя, видимо, ожидая оценки своей шутки. Некоторые засмеялись, некоторые испуганно продолжали смотреть на палача, который раздевал другого.
Пьер засопел носом, сморщился и, быстро повернувшись, пошел назад к дрожкам, не переставая что то бормотать про себя в то время, как он шел и садился. В продолжение дороги он несколько раз вздрагивал и вскрикивал так громко, что кучер спрашивал его:
– Что прикажете?
– Куда ж ты едешь? – крикнул Пьер на кучера, выезжавшего на Лубянку.
– К главнокомандующему приказали, – отвечал кучер.
– Дурак! скотина! – закричал Пьер, что редко с ним случалось, ругая своего кучера. – Домой я велел; и скорее ступай, болван. Еще нынче надо выехать, – про себя проговорил Пьер.
Пьер при виде наказанного француза и толпы, окружавшей Лобное место, так окончательно решил, что не может долее оставаться в Москве и едет нынче же в армию, что ему казалось, что он или сказал об этом кучеру, или что кучер сам должен был знать это.
Приехав домой, Пьер отдал приказание своему все знающему, все умеющему, известному всей Москве кучеру Евстафьевичу о том, что он в ночь едет в Можайск к войску и чтобы туда были высланы его верховые лошади. Все это не могло быть сделано в тот же день, и потому, по представлению Евстафьевича, Пьер должен был отложить свой отъезд до другого дня, с тем чтобы дать время подставам выехать на дорогу.
24 го числа прояснело после дурной погоды, и в этот день после обеда Пьер выехал из Москвы. Ночью, переменя лошадей в Перхушкове, Пьер узнал, что в этот вечер было большое сражение. Рассказывали, что здесь, в Перхушкове, земля дрожала от выстрелов. На вопросы Пьера о том, кто победил, никто не мог дать ему ответа. (Это было сражение 24 го числа при Шевардине.) На рассвете Пьер подъезжал к Можайску.
