Теорема представлений Риса

Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.

Формулировка

Пусть существуют гильбертово пространство <math>H</math> и линейный ограниченный функционал <math>f \in H'</math> в пространстве <math>H</math>. Тогда существует единственный элемент <math>y</math> пространства <math>H</math>, такой, что для произвольного <math>x \in H</math> выполняется <math>f(x)=\langle y,x\rangle</math>. Кроме того, выполняется равенство: <math>\|y\|=\|f\|</math>.

Доказательство

<math>\ker(f)</math> ядро линейного функционала является векторным подпространством <math>H</math>.

Существование <math>y</math>

Если <math>f\equiv 0</math>, то достаточно взять <math>y=0</math>. Предположим, что <math>f\ne 0</math>. Тогда <math>\ker(f)\ne H</math>, и, следовательно, ортогональное дополнение <math>\ker(f)^\bot</math> ядра <math>f</math> не равно <math>\{0\}</math>. Выберем произвольный ненулевой вектор <math>b \in \ker(f)^\bot \setminus \big\{0\big\}</math>. Положим <math>y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b</math>. Мы покажем, что <math>f(x) = \langle y, x\rangle</math> для всех <math>x \in H</math>. Рассмотрим вектор <math>p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b</math>. Заметим, что <math>f(p_x) = f(x)-\tfrac{f(x)}{f(b)}f(b) = 0</math>, и, таким образом, <math>p_x \in \ker(f)</math> . Поскольку <math>b \in \ker(f)^\bot</math>, то <math>\langle b,p_x\rangle = 0</math>. Следовательно,

<math>\langle b, p_x \rangle =\Big\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \Big\rangle = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2 = 0 </math>.

Отсюда <math>f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}</math> и <math>f(x) = \langle y, x \rangle </math>.

Единственность <math>y</math>

Предположим, что <math>y</math> и <math>z</math> элементы <math>H</math> удовлетворяют <math>f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle</math>.

Это означает, что для всех <math>x \in H</math> справедливо равенство <math>\langle y-z, x \rangle = 0</math>, в частности <math>\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0</math>, откуда и получается равенство <math>y = z</math>.

Равенство норм

Для доказательства <math>\|y\|=\|f\|</math> сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: <math>f(x)=\langle y,x\rangle \leq \|y\|\|x\|</math>. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: <math>\|f\|\leq\|y\|.</math> Кроме того, <math>\langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\|</math>, откуда <math>\|y\|\leq\|f\|</math>. Объединяя два неравенства, получаем <math>\|y\|=\|f\|</math>.

См. также

• Теорема Лакса — Мильграма

Отрывок, характеризующий Теорема представлений Риса

Дом князя был не то, что называется «свет», но это был такой маленький кружок, о котором хотя и не слышно было в городе, но в котором лестнее всего было быть принятым. Это понял Борис неделю тому назад, когда при нем Ростопчин сказал главнокомандующему, звавшему графа обедать в Николин день, что он не может быть:
– В этот день уж я всегда езжу прикладываться к мощам князя Николая Андреича.
– Ах да, да, – отвечал главнокомандующий. – Что он?..
Небольшое общество, собравшееся в старомодной, высокой, с старой мебелью, гостиной перед обедом, было похоже на собравшийся, торжественный совет судилища. Все молчали и ежели говорили, то говорили тихо. Князь Николай Андреич вышел серьезен и молчалив. Княжна Марья еще более казалась тихою и робкою, чем обыкновенно. Гости неохотно обращались к ней, потому что видели, что ей было не до их разговоров. Граф Ростопчин один держал нить разговора, рассказывая о последних то городских, то политических новостях.
Лопухин и старый генерал изредка принимали участие в разговоре. Князь Николай Андреич слушал, как верховный судья слушает доклад, который делают ему, только изредка молчанием или коротким словцом заявляя, что он принимает к сведению то, что ему докладывают. Тон разговора был такой, что понятно было, никто не одобрял того, что делалось в политическом мире. Рассказывали о событиях, очевидно подтверждающих то, что всё шло хуже и хуже; но во всяком рассказе и суждении было поразительно то, как рассказчик останавливался или бывал останавливаем всякий раз на той границе, где суждение могло относиться к лицу государя императора.
За обедом разговор зашел о последней политической новости, о захвате Наполеоном владений герцога Ольденбургского и о русской враждебной Наполеону ноте, посланной ко всем европейским дворам.
– Бонапарт поступает с Европой как пират на завоеванном корабле, – сказал граф Ростопчин, повторяя уже несколько раз говоренную им фразу. – Удивляешься только долготерпению или ослеплению государей. Теперь дело доходит до папы, и Бонапарт уже не стесняясь хочет низвергнуть главу католической религии, и все молчат! Один наш государь протестовал против захвата владений герцога Ольденбургского. И то… – Граф Ростопчин замолчал, чувствуя, что он стоял на том рубеже, где уже нельзя осуждать.