Уравнение Лондонов
Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 г. братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 г. было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.
Содержание
Уравнение Лондона
В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввел дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жесткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.
Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид
- <math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0</math>
где <math>\mathbf{J}</math> — плотность тока, <math>\mathbf{B}</math> — магнитная индукция, <math>\lambda^2 = \frac{mc^2}{4 \pi n q^2}</math>, m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.
Лондоновская глубина проникновения
При помощи уравнения Максвелла <math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{J}}{c}</math> можно записать уравнение Лондона в виде
- <math>\mathbf{B} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{B} = 0</math>
или
- <math>\mathbf{B} - \lambda^2 \Delta \mathbf{B} = 0</math>.
Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими <math>\lambda</math> , есть <math>\mathbf{B} (\xi) = \mathbf{B}(0)\exp \frac{-\xi}{\lambda} </math>, где <math>\mathbf{B}(\xi)</math> — индукция на глубине <math>\xi</math> под поверхностью. Параметр <math>\lambda</math> имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину <math>\lambda</math>. Для металлов <math>\lambda \sim 10^{-2}</math> мкм.
Природа сверхпроводимости
Уравнение Лондона дает нам ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал <math>\mathbf{A}</math>, где <math>\operatorname{rot} \mathbf{A}=\mathbf{B}</math>, используя калибровку <math>\operatorname{div} \mathbf{A} = 0</math> и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме
- <math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A} = 0</math>
В присутствии векторного потенциала обобщенный импульс заряженной частицы дается выражением <math> \mathbf{P} = \sum {\mathbf{p}} = 2 \sum{\left(m \mathbf{v} + \frac{q \mathbf{A}}{c}\right)}</math>.
Средний импульс на одну частицу можно записать в виде
- <math> \mathbf{\overline{p}} = \frac{q}{c} \left(\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \mathbf{J} + \mathbf{A}\right) = 0</math>
Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом <math>\mathbf{P} = 0</math>. При этом из принципа неопределенности вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.
Первое уравнение Лондонов
Уравнение движения для единичного объема сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид:
<math>n m \frac{d \mathbf{v}}{dt} = n e \mathbf{E}</math>,
где <math>n</math>, <math>\mathbf{v}</math>, <math>m</math> - соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно<math>\mathbf{j} = n e \mathbf{v}</math>, получим первое уравнение Лондонов:
<math>\mathbf{E} = \frac{d}{dt} (\Lambda \mathbf{j}), \ \ \Lambda = \frac{m}{n e^2}</math>.
Второе уравнение Лондонов (Вывод)
Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде:
<math>\operatorname{rot}\, \mathbf{H} = \frac{4 \pi}{c} \mathbf {j}</math>
для нахождения объемной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
<math>\mathbf {W}_{k} = \frac{nmv^2} {2} = \frac{mj^2} {2ne^2} = \frac{\lambda^2}{8 \pi} (\operatorname{rot}\, \mathbf{H})^2</math>, где <math>\lambda^2 = \frac{m c^2}{4\pi n e^2}</math>.
Также магнитной энергии равна <math>\frac { H^2} {8 \pi}</math>, тогда свободная энергия может быть записана в виде (<math>F_0</math> - свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объему сверхпроводника:
<math>F = F_0 + \frac{1}{8\pi} \int [H^2 + \lambda^2 (\operatorname{rot}\, \mathbf{H})^2] dV</math>.
Первая вариация по полю равна:
<math>\delta F =\frac{1}{8\pi} \int [ 2 \mathbf{H} \delta\mathbf{H} + 2\lambda^2 \operatorname{rot}\, \mathbf{H} \operatorname{rot} \delta\mathbf{H}] dV = \frac{1}{4\pi} \int [ \mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H}] \delta\mathbf{H} dV - \frac{\lambda^2}{4\pi} \int \operatorname{div}[ \operatorname{rot} \mathbf{H} ;\delta\mathbf{H}] dV = 0</math>
Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса-Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем
<math> \mathbf{H} + \lambda^2 \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{H} = 0</math>
Что вместе с выражением для векторного потенциала <math>\mathbf{j} = - \frac{c}{4\pi\lambda^2} \mathbf{A}</math> , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = 0, \ \ \mathbf{A} \mathbf{n} = 0</math> дает искомое уравнение:
<math>\frac{4 \pi \lambda^2}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J} + \mathbf{B} = 0</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Уравнение Лондонов"
Примечания
- ↑ London, F.; H. London (March 1935). «[www.jstor.org/sici?sici=0080-4630(19350301)149%3A866%3C71%3ATEEOTS%3E2.0.CO%3B2-2 The Electromagnetic Equations of the Supraconductor]». Proc. Roy. Soc. (London) A149 (866): 71.
- ↑ F. London, Superfluids, Vol. 1. Wiley, New York, 1950.
- ↑ P. G. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys. Benjamin, New York,. 1966 (см. перевод: М., «Мир», 1968).
Литература
- Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.
Отрывок, характеризующий Уравнение Лондонов
– Э, пустое болтать! – сказал фельдфебель.– Али и тебе хочется того же? – сказал старый солдат, с упреком обращаясь к тому, который сказал, что ноги зазнобил.
– А ты что же думаешь? – вдруг приподнявшись из за костра, пискливым и дрожащим голосом заговорил востроносенький солдат, которого называли ворона. – Кто гладок, так похудает, а худому смерть. Вот хоть бы я. Мочи моей нет, – сказал он вдруг решительно, обращаясь к фельдфебелю, – вели в госпиталь отослать, ломота одолела; а то все одно отстанешь…
– Ну буде, буде, – спокойно сказал фельдфебель. Солдатик замолчал, и разговор продолжался.
– Нынче мало ли французов этих побрали; а сапог, прямо сказать, ни на одном настоящих нет, так, одна названье, – начал один из солдат новый разговор.
– Всё казаки поразули. Чистили для полковника избу, выносили их. Жалости смотреть, ребята, – сказал плясун. – Разворочали их: так живой один, веришь ли, лопочет что то по своему.
– А чистый народ, ребята, – сказал первый. – Белый, вот как береза белый, и бравые есть, скажи, благородные.
– А ты думаешь как? У него от всех званий набраны.
– А ничего не знают по нашему, – с улыбкой недоумения сказал плясун. – Я ему говорю: «Чьей короны?», а он свое лопочет. Чудесный народ!
– Ведь то мудрено, братцы мои, – продолжал тот, который удивлялся их белизне, – сказывали мужики под Можайским, как стали убирать битых, где страженья то была, так ведь что, говорит, почитай месяц лежали мертвые ихние то. Что ж, говорит, лежит, говорит, ихний то, как бумага белый, чистый, ни синь пороха не пахнет.
– Что ж, от холода, что ль? – спросил один.
– Эка ты умный! От холода! Жарко ведь было. Кабы от стужи, так и наши бы тоже не протухли. А то, говорит, подойдешь к нашему, весь, говорит, прогнил в червях. Так, говорит, платками обвяжемся, да, отворотя морду, и тащим; мочи нет. А ихний, говорит, как бумага белый; ни синь пороха не пахнет.
Все помолчали.
– Должно, от пищи, – сказал фельдфебель, – господскую пищу жрали.
Никто не возражал.
– Сказывал мужик то этот, под Можайским, где страженья то была, их с десяти деревень согнали, двадцать дён возили, не свозили всех, мертвых то. Волков этих что, говорит…
– Та страженья была настоящая, – сказал старый солдат. – Только и было чем помянуть; а то всё после того… Так, только народу мученье.
– И то, дядюшка. Позавчера набежали мы, так куда те, до себя не допущают. Живо ружья покидали. На коленки. Пардон – говорит. Так, только пример один. Сказывали, самого Полиона то Платов два раза брал. Слова не знает. Возьмет возьмет: вот на те, в руках прикинется птицей, улетит, да и улетит. И убить тоже нет положенья.
– Эка врать здоров ты, Киселев, посмотрю я на тебя.
– Какое врать, правда истинная.
– А кабы на мой обычай, я бы его, изловимши, да в землю бы закопал. Да осиновым колом. А то что народу загубил.
– Все одно конец сделаем, не будет ходить, – зевая, сказал старый солдат.
Разговор замолк, солдаты стали укладываться.
– Вишь, звезды то, страсть, так и горят! Скажи, бабы холсты разложили, – сказал солдат, любуясь на Млечный Путь.
– Это, ребята, к урожайному году.
– Дровец то еще надо будет.
– Спину погреешь, а брюха замерзла. Вот чуда.
– О, господи!
– Что толкаешься то, – про тебя одного огонь, что ли? Вишь… развалился.
Из за устанавливающегося молчания послышался храп некоторых заснувших; остальные поворачивались и грелись, изредка переговариваясь. От дальнего, шагов за сто, костра послышался дружный, веселый хохот.
– Вишь, грохочат в пятой роте, – сказал один солдат. – И народу что – страсть!
Один солдат поднялся и пошел к пятой роте.
– То то смеху, – сказал он, возвращаясь. – Два хранцуза пристали. Один мерзлый вовсе, а другой такой куражный, бяда! Песни играет.
– О о? пойти посмотреть… – Несколько солдат направились к пятой роте.
Пятая рота стояла подле самого леса. Огромный костер ярко горел посреди снега, освещая отягченные инеем ветви деревьев.
В середине ночи солдаты пятой роты услыхали в лесу шаги по снегу и хряск сучьев.
– Ребята, ведмедь, – сказал один солдат. Все подняли головы, прислушались, и из леса, в яркий свет костра, выступили две, держащиеся друг за друга, человеческие, странно одетые фигуры.
Это были два прятавшиеся в лесу француза. Хрипло говоря что то на непонятном солдатам языке, они подошли к костру. Один был повыше ростом, в офицерской шляпе, и казался совсем ослабевшим. Подойдя к костру, он хотел сесть, но упал на землю. Другой, маленький, коренастый, обвязанный платком по щекам солдат, был сильнее. Он поднял своего товарища и, указывая на свой рот, говорил что то. Солдаты окружили французов, подстелили больному шинель и обоим принесли каши и водки.
Ослабевший французский офицер был Рамбаль; повязанный платком был его денщик Морель.
Когда Морель выпил водки и доел котелок каши, он вдруг болезненно развеселился и начал не переставая говорить что то не понимавшим его солдатам. Рамбаль отказывался от еды и молча лежал на локте у костра, бессмысленными красными глазами глядя на русских солдат. Изредка он издавал протяжный стон и опять замолкал. Морель, показывая на плечи, внушал солдатам, что это был офицер и что его надо отогреть. Офицер русский, подошедший к костру, послал спросить у полковника, не возьмет ли он к себе отогреть французского офицера; и когда вернулись и сказали, что полковник велел привести офицера, Рамбалю передали, чтобы он шел. Он встал и хотел идти, но пошатнулся и упал бы, если бы подле стоящий солдат не поддержал его.
