Уравнение Янга — Бакстера

Уравнение Янга — Бакстера — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через <math>A</math> ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для <math>R(u)</math>, зависимый от параметра обратимый элемент тензорного произведения алгебр <math>A \otimes A</math> (здесь <math>u</math> — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

<math> R _ {12} (u) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (u+v) \ R _ {12} (u), </math>

на функцию <math>R</math>, в которую указанным образом подставлены две переменные <math> u </math> и <math> v </math>. При некоторых <math>u</math> <math> R (u) </math> может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

<math> R _ {12} (u) \ R _ {13} (uv) \ R _ {23} (v) = R _ {23} (v) \ R _ {13} (uv) \ R _ {12} (u), </math>

на функцию <math>R</math>, где <math> R _ {12} (w) = \phi _ {12} (R (w)) </math>, <math> R _ {13} (w) = \phi _ {13} (R (w)) </math>, и <math> R _ {23} (w) = \phi _ {23} (R (w)) </math>, для всех величин параметра <math> w </math>, и <math> \phi _ {12}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, <math> \phi _ {13}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, и <math> \phi _ {23}: A \otimes A \to A \otimes A \otimes A </math>, являются морфизмами алгебры, определёнными как

<math> \phi _ {12} (a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1, </math>

<math> \phi _ {13} (a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b, </math>

<math> \phi _ {23} (a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b. </math>

В некоторых случаях детерминант <math> R (u) </math> может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра <math> u = u_0 </math>, и иногда <math> R (u) </math> даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера

Обозначим через <math>A</math> ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для <math> R </math>, обратимого элемента тензорного произведения алгебр <math>A \otimes A</math>. Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

<math> R _ {12} \ R _ {13} \ R _ {23} = R _ {23} \ R _ {13} \ R _ {12}, </math>

где <math> R _ {12} = \phi _ {12} (R) </math>, <math> R _ {13} = \phi _ {13} (R) </math>, и <math> R _ {23} = \phi _ {23} (R) </math>.

Пусть <math> V </math> — модуль над <math>A</math>. Пусть <math> T : V \otimes V \to V \otimes V </math> линейная карта, удовлетворяющая <math> T (x \otimes y) = y \otimes x </math> для всей <math> x, y \in V </math>. Тогда представление группы кос, <math> B_n </math>, может быть построено на <math> V^{\otimes n} </math> <math> \sigma_i = 1^{\otimes i-1} \otimes \check {R} \otimes 1^{\otimes n-i-1} </math> для <math> i = 1, \dots, n-1 </math>, где <math> \check {R} = T \circ R </math> на <math> V \otimes V </math>. Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

Литература

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv:math-ph/0606053.
• Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.

Отрывок, характеризующий Уравнение Янга — Бакстера

Во время короткого визита Николая, как и всегда, где есть дети, в минуту молчания Николай прибег к маленькому сыну князя Андрея, лаская его и спрашивая, хочет ли он быть гусаром? Он взял на руки мальчика, весело стал вертеть его и оглянулся на княжну Марью. Умиленный, счастливый и робкий взгляд следил за любимым ею мальчиком на руках любимого человека. Николай заметил и этот взгляд и, как бы поняв его значение, покраснел от удовольствия и добродушно весело стал целовать мальчика.
Княжна Марья не выезжала по случаю траура, а Николай не считал приличным бывать у них; но губернаторша все таки продолжала свое дело сватовства и, передав Николаю то лестное, что сказала про него княжна Марья, и обратно, настаивала на том, чтобы Ростов объяснился с княжной Марьей. Для этого объяснения она устроила свиданье между молодыми людьми у архиерея перед обедней.
Хотя Ростов и сказал губернаторше, что он не будет иметь никакого объяснения с княжной Марьей, но он обещался приехать.
Как в Тильзите Ростов не позволил себе усомниться в том, хорошо ли то, что признано всеми хорошим, точно так же и теперь, после короткой, но искренней борьбы между попыткой устроить свою жизнь по своему разуму и смиренным подчинением обстоятельствам, он выбрал последнее и предоставил себя той власти, которая его (он чувствовал) непреодолимо влекла куда то. Он знал, что, обещав Соне, высказать свои чувства княжне Марье было бы то, что он называл подлость. И он знал, что подлости никогда не сделает. Но он знал тоже (и не то, что знал, а в глубине души чувствовал), что, отдаваясь теперь во власть обстоятельств и людей, руководивших им, он не только не делает ничего дурного, но делает что то очень, очень важное, такое важное, чего он еще никогда не делал в жизни.
После его свиданья с княжной Марьей, хотя образ жизни его наружно оставался тот же, но все прежние удовольствия потеряли для него свою прелесть, и он часто думал о княжне Марье; но он никогда не думал о ней так, как он без исключения думал о всех барышнях, встречавшихся ему в свете, не так, как он долго и когда то с восторгом думал о Соне. О всех барышнях, как и почти всякий честный молодой человек, он думал как о будущей жене, примеривал в своем воображении к ним все условия супружеской жизни: белый капот, жена за самоваром, женина карета, ребятишки, maman и papa, их отношения с ней и т. д., и т. д., и эти представления будущего доставляли ему удовольствие; но когда он думал о княжне Марье, на которой его сватали, он никогда не мог ничего представить себе из будущей супружеской жизни. Ежели он и пытался, то все выходило нескладно и фальшиво. Ему только становилось жутко.


Страшное известие о Бородинском сражении, о наших потерях убитыми и ранеными, а еще более страшное известие о потере Москвы были получены в Воронеже в половине сентября. Княжна Марья, узнав только из газет о ране брата и не имея о нем никаких определенных сведений, собралась ехать отыскивать князя Андрея, как слышал Николай (сам же он не видал ее).
Получив известие о Бородинском сражении и об оставлении Москвы, Ростов не то чтобы испытывал отчаяние, злобу или месть и тому подобные чувства, но ему вдруг все стало скучно, досадно в Воронеже, все как то совестно и неловко. Ему казались притворными все разговоры, которые он слышал; он не знал, как судить про все это, и чувствовал, что только в полку все ему опять станет ясно. Он торопился окончанием покупки лошадей и часто несправедливо приходил в горячность с своим слугой и вахмистром.
Несколько дней перед отъездом Ростова в соборе было назначено молебствие по случаю победы, одержанной русскими войсками, и Николай поехал к обедне. Он стал несколько позади губернатора и с служебной степенностью, размышляя о самых разнообразных предметах, выстоял службу. Когда молебствие кончилось, губернаторша подозвала его к себе.