Частично упорядоченное множество
Части́чно упоря́доченное мно́жество — математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за».
В качестве абстрактного примера можно привести совокупность подмножеств множества из трёх элементов <math>\{ x, y, z\}</math> (булеан данного множества), упорядоченную по отношению включения.
Содержание
Определение и примеры
Порядком, или частичным порядком, на множестве <math>M</math> называется бинарное отношение <math>\varphi</math> на <math>M</math> (определяемое некоторым множеством <math> R_{\varphi} \subset M \times M </math>), удовлетворяющее следующим условиям[1]:
- Рефлексивность: <math>\forall a \; (a \varphi a)</math>
- Транзитивность: <math>\forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c</math>
- Антисимметричность: <math>\forall a, b \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b</math>
Множество <math>M</math>, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным. Если быть совсем точным[2], то частично упорядоченным множеством называется пара <math>\langle M, \varphi \rangle</math>, где <math>M</math> — множество, а <math>\varphi</math> — отношение частичного порядка на <math>M</math>.
Терминология и обозначения
Отношение частичного порядка обычно обозначают символом <math>\leqslant</math>, по аналогии с отношением «меньше либо равно» на множестве действительных чисел. При этом, если <math>a \leqslant b</math>, то говорят, что элемент <math>a</math> не превосходит <math>b</math>, или что <math>a</math> подчинён <math>b</math>.
Если <math>a \leqslant b</math> и <math>a \neq b</math>, то пишут <math>a < b</math>, и говорят, что <math>a</math> меньше <math>b</math>, или что <math>a</math> строго подчинен <math>b</math>.
Иногда, чтобы отличить произвольный порядок на некотором множестве от известного отношения «меньше либо равно» на множестве действительных чисел, вместо <math>\leqslant</math> и <math><</math> используют специальные символы <math>\preccurlyeq</math> и <math>\prec</math> соответственно.
Строгий и нестрогий порядок
Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, также называют нестрогим, или рефлексивным порядком. Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности (тогда свойство антисимметричности заменится на асимметричность):
- <math>\forall a \; \neg (a \varphi a)</math>
то получим определение строгого, или антирефлексивного порядка.
Если <math>\leqslant</math> — нестрогий порядок на множестве <math>M</math>, то отношение <math><</math>, определяемое как:
- <math>a < b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)</math>
является строгим порядком на <math>M</math>. Обратно, если <math><</math> — строгий порядок, то отношение <math>\leqslant</math>, определенное как
- <math>a \leqslant b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a < b) \vee (a = b)</math>
является нестрогим порядком.
Поэтому всё равно — задать на множестве нестрогий порядок, или строгий порядок. В результате получится одна и та же структура. Разница только в терминологии и обозначениях.
Примеры
- Множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math> частично упорядочено по отношению «меньше либо равно» — <math>\leqslant</math>.
- Пусть <math>M</math> — множество всех вещественнозначных функций, определенных на отрезке <math>[a,b]</math>, то есть функций вида
f \colon [a,b] \to \mathbb{R} </math>
Введём отношение порядка <math>\leqslant</math> на <math>M</math> следующим образом: <math>f \leqslant g</math>, если для всех <math>x \in [a,b]</math> выполнено неравенство <math>f(x) \leqslant g(x)</math>. Очевидно, введенное отношение в самом деле является отношением частичного порядка.
- Пусть <math>M</math> — некоторое множество. Множество <math>\mathcal{P}(M)</math> всех подмножеств <math>M</math> (так называемый булеан), частично упорядочено по включению <math>M \subseteq N</math>.
- Множество всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> частично упорядочено по отношению делимости <math>m \mid n</math>.
Связанные определения
Несравнимые элементы
Если <math>a</math> и <math>b</math> — действительные числа, то имеет место только одно из следующих соотношений:
a < b, \qquad a=b, \qquad b<a </math>
В случае, если <math>a</math> и <math>b</math> — элементы произвольного частично упорядоченного множества, то существует четвёртая логическая возможность: не выполнено ни одно из указанных трех соотношений. В этом случае элементы <math>a</math> и <math>b</math> называются несравнимыми. Например, если <math>M</math> — множество действительнозначных функций на отрезке <math>[0,1]</math>, то элементы <math>f(x) = x</math> и <math>g(x) = 1-x</math> будут несравнимы. Возможность существования несравнимых элементов объясняет смысл термина «частично упорядоченное множество».
Минимальный/максимальный и наименьший/наибольший элементы
Из-за того, что в частично упорядоченном множестве могут быть пары несравнимых элементов, вводятся два различных определения: минимального элемента и наименьшего элемента.
Элемент <math>a \in M</math> называется минимальным, если не существует элемента <math>b < a</math>. Другими словами, <math>a</math> — минимальный элемент, если для любого элемента <math>b \in M</math> либо <math>b>a</math>, либо <math>b=a</math>, либо <math>b</math> и <math>a</math> несравнимы. Элемент <math>a</math> называется наименьшим, если для любого элемента <math>b \in M</math> имеет место неравенство <math>b \geqslant a</math>. Очевидно, всякий наименьший элемент является также минимальным, но обратное в общем случае неверно: минимальный элемент <math>a</math> может и не быть наименьшим, если существуют элементы <math>b</math>, не сравнимые с <math>a</math>.
Очевидно, что если в множестве существует наименьший элемент, то он единственен. А вот минимальных элементов может быть несколько. В качестве примера рассмотрим множество <math>\mathbb{N}\setminus \{ 1 \} = \{ 2, 3, \ldots \}</math> натуральных чисел без единицы, упорядоченное по отношению делимости <math>\mid</math>. Здесь минимальными элементами будут простые числа, а вот наименьшего элемента не существует.
Аналогично вводятся понятия максимального и наибольшего элементов.
Верхние и нижние грани
Пусть <math>A</math> — подмножество частично упорядоченного множества <math>\langle M, \leqslant\rangle</math>. Элемент <math>u \in M</math> называется верхней гранью <math>A</math>, если любой элемент <math>a \in A</math> не превосходит <math>u</math>. Аналогично вводится понятие нижней грани множества <math>A</math>.
Любой элемент, больший, чем некоторая верхняя грань <math>A</math>, также будет верхней гранью <math>A</math>. А любой элемент, меньший, чем некоторая нижняя грань <math>A</math>, также будет нижней гранью <math>A</math>. Эти соображения ведут к введению понятий наименьшей верхней грани и наибольшей нижней грани.
Верхнее и нижнее множество
Для элемента <math>m</math> частично упорядоченного множества <math>\langle M, \leqslant\rangle</math> верхним множеством называется множество <math>M \uparrow m</math> всех элементов, которым <math>m</math> предшествует (<math>\{ x \in M \mid m \leqslant x\}</math>).
Двойственным образом определяется нижнее множество, как множество всех элементов, предшествующих заданному: <math>M \downarrow m \stackrel{\mathrm{def}}{ = } \{ x \in M \mid x \leqslant m\}</math>.
Условия обрыва цепей
Частично упорядоченное множество <math>M</math> называется удовлетворяющим условию обрыва строго возрастающих цепей, если не существует бесконечной строго возрастающей последовательности <math>(a_i \,<\, a_{i+1})</math>. Это условие эквивалентно условию стабилизации нестрого возрастающих цепей: любая нестрого <math>(a_i \,\leqslant\, a_{i+1})</math> возрастающая последовательность его элементов стабилизируется. То есть, для любой последовательности вида
- <math>a_1 \,\leqslant\, a_2 \,\leqslant\, a_3 \,\leqslant\, \cdots</math>
существует натуральное <math>n,</math> такое что
- <math>a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.</math>
Аналогичным образом определяется для убывающих цепей, тогда очевидно, <math>M</math> удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, тогда и только тогда, когда любая нестрого убывающая последовательность его элементов стабилизируется. Эти понятия часто используются в общей алгебре — см., например, нётерово кольцо, артиново кольцо.
Специальные типы частично упорядоченных множеств
Линейно упорядоченные множества
Пусть <math>\langle M, \leqslant\rangle</math> — частично упорядоченное множество. Если в <math>M</math> любые два элемента сравнимы, то множество <math>M</math> называется линейно упорядоченным. Линейно упорядоченное множество также называют совершенно упорядоченным, или просто, упорядоченным множеством[3]. Таким образом, в линейно упорядоченном множестве для любых двух элементов <math>a</math> и <math>b</math> имеет место одно и только одно из соотношений: либо <math>a<b</math>, либо <math>a=b</math>, либо <math>b<a</math>.
Также всякое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества называют цепью, то есть цепь в частично упорядоченном множестве <math>\langle M, \leqslant \rangle</math> — такое его подмножество, в котором любые два элемента сравнимы.
Из приведенных выше примеров частично упорядоченных множеств только множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Множество действительнозначных функций на отрезке <math>[a, b]</math> (при условии <math>a<b</math>), булеан <math>\mathcal{P}(M)</math> (при <math>|M|\geqslant 2</math>), натуральные числа с отношением делимости — не являются линейно упорядоченными.
В линейно упорядоченном множестве понятия наименьшего и минимального, а также наибольшего и максимального, совпадают.
Вполне упорядоченные множества
Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент[4]. Такой порядок на множестве называется полным порядком, в контексте, где его невозможно спутать с полным порядком в смысле полных частично упорядоченных множеств.
Классический пример вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Утверждение о том, что любое непустое подмножество <math>\mathbb{N}</math> содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции. В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом <math>\mathbb{R}_{+} = \{ x: x \geqslant 0\}</math>. Действительно, его подмножество <math>\{x: x > 1\}</math> не имеет наименьшего элемента.
Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств.
Полное частично упорядоченное множество
Полное частично упорядоченное множество — частично упорядоченное множество, у которого есть дно — единственный элемент, который предшествует любому другому элементу и у каждого направленного подмножества которого есть точная верхняя граница[5]. Полные частично упорядоченные множества применяются в λ-исчислении и информатике, в частности, на них вводится топология Скотта, на основе которой строится непротиворечивая модель λ-исчисления и денотационная семантика[en]. Специальным случаем полного частично упорядоченного множества является полная решётка — если любое подмножество, не обязательно направленное, имеет точную верхнюю грань, то оно оказывается полной решёткой.
Упорядоченное множество <math>M</math> тогда и только тогда является полным частично упорядоченным, когда каждая функция <math>f \colon M\rightarrow M</math>, монотонная относительно порядка (<math>a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)</math>) обладает хотя бы одной неподвижной точкой: <math>\exists _{x \in M} f(x)=x</math>.
Любое множество <math>M</math> можно превратить в полное частично упорядоченное выделением дна <math>\bot</math> и определением порядка <math>\leqslant</math> как <math>\bot \leqslant m</math> и <math>m \leqslant m</math> для всех элементов <math>m</math> множества <math>M</math>.
Теоремы о частично упорядоченных множествах
К числу фундаментальных теорем о частично упорядоченных множествах относятся принцип максимума Хаусдорфа и лемма Куратовского — Цорна. Каждая из этих теорем эквивалентна аксиоме выбора.
В теории категорий
Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию, в которой каждое множество морфизмов <math>\mathrm{Hom}(A,B)</math> состоит не более чем из одного элемента. Например, эту категорию можно определить так: <math>\mathrm{Hom}(A,B)=\{(A,B)\}</math>, если A ≤ B (и пустое множество в противном случае); правило композиции морфизмов: (y, z)∘(x, y) = (x, z). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично упорядоченному множеству.
Функтор из категории-частично упорядоченного множества (то есть диаграмма, категория индексов которой является частично упорядоченным множеством) — это коммутативная диаграмма.
Напишите отзыв о статье "Частично упорядоченное множество"
Примечания
- ↑ Колмогоров, 2004, с. 36.
- ↑ Александров, 1977, с. 78.
- ↑ Колмогоров, 2004, с. 38.
- ↑ Колмогоров, 2004, с. 40.
- ↑ Барендрегт, 1985, с. 23.
Литература
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
- Барендрегт, Хенк. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics. — М.: Мир, 1985. — 606 с. — 4800 экз.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.
- Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. — 2-е изд. — М.: Либроком, 2013. — 352 с. — ISBN 978-5-397-03899-7.
См. также
Отрывок, характеризующий Частично упорядоченное множество
Подбитый зверь под Бородиным лежал там где то, где его оставил отбежавший охотник; но жив ли, силен ли он был, или он только притаился, охотник не знал этого. Вдруг послышался стон этого зверя.Стон этого раненого зверя, французской армии, обличивший ее погибель, была присылка Лористона в лагерь Кутузова с просьбой о мире.
Наполеон с своей уверенностью в том, что не то хорошо, что хорошо, а то хорошо, что ему пришло в голову, написал Кутузову слова, первые пришедшие ему в голову и не имеющие никакого смысла. Он писал:
«Monsieur le prince Koutouzov, – писал он, – j'envoie pres de vous un de mes aides de camps generaux pour vous entretenir de plusieurs objets interessants. Je desire que Votre Altesse ajoute foi a ce qu'il lui dira, surtout lorsqu'il exprimera les sentiments d'estime et de particuliere consideration que j'ai depuis longtemps pour sa personne… Cette lettre n'etant a autre fin, je prie Dieu, Monsieur le prince Koutouzov, qu'il vous ait en sa sainte et digne garde,
Moscou, le 3 Octobre, 1812. Signe:
Napoleon».
[Князь Кутузов, посылаю к вам одного из моих генерал адъютантов для переговоров с вами о многих важных предметах. Прошу Вашу Светлость верить всему, что он вам скажет, особенно когда, станет выражать вам чувствования уважения и особенного почтения, питаемые мною к вам с давнего времени. Засим молю бога о сохранении вас под своим священным кровом.
Москва, 3 октября, 1812.
Наполеон. ]
«Je serais maudit par la posterite si l'on me regardait comme le premier moteur d'un accommodement quelconque. Tel est l'esprit actuel de ma nation», [Я бы был проклят, если бы на меня смотрели как на первого зачинщика какой бы то ни было сделки; такова воля нашего народа. ] – отвечал Кутузов и продолжал употреблять все свои силы на то, чтобы удерживать войска от наступления.
В месяц грабежа французского войска в Москве и спокойной стоянки русского войска под Тарутиным совершилось изменение в отношении силы обоих войск (духа и численности), вследствие которого преимущество силы оказалось на стороне русских. Несмотря на то, что положение французского войска и его численность были неизвестны русским, как скоро изменилось отношение, необходимость наступления тотчас же выразилась в бесчисленном количестве признаков. Признаками этими были: и присылка Лористона, и изобилие провианта в Тарутине, и сведения, приходившие со всех сторон о бездействии и беспорядке французов, и комплектование наших полков рекрутами, и хорошая погода, и продолжительный отдых русских солдат, и обыкновенно возникающее в войсках вследствие отдыха нетерпение исполнять то дело, для которого все собраны, и любопытство о том, что делалось во французской армии, так давно потерянной из виду, и смелость, с которою теперь шныряли русские аванпосты около стоявших в Тарутине французов, и известия о легких победах над французами мужиков и партизанов, и зависть, возбуждаемая этим, и чувство мести, лежавшее в душе каждого человека до тех пор, пока французы были в Москве, и (главное) неясное, но возникшее в душе каждого солдата сознание того, что отношение силы изменилось теперь и преимущество находится на нашей стороне. Существенное отношение сил изменилось, и наступление стало необходимым. И тотчас же, так же верно, как начинают бить и играть в часах куранты, когда стрелка совершила полный круг, в высших сферах, соответственно существенному изменению сил, отразилось усиленное движение, шипение и игра курантов.
Русская армия управлялась Кутузовым с его штабом и государем из Петербурга. В Петербурге, еще до получения известия об оставлении Москвы, был составлен подробный план всей войны и прислан Кутузову для руководства. Несмотря на то, что план этот был составлен в предположении того, что Москва еще в наших руках, план этот был одобрен штабом и принят к исполнению. Кутузов писал только, что дальние диверсии всегда трудно исполнимы. И для разрешения встречавшихся трудностей присылались новые наставления и лица, долженствовавшие следить за его действиями и доносить о них.
Кроме того, теперь в русской армии преобразовался весь штаб. Замещались места убитого Багратиона и обиженного, удалившегося Барклая. Весьма серьезно обдумывали, что будет лучше: А. поместить на место Б., а Б. на место Д., или, напротив, Д. на место А. и т. д., как будто что нибудь, кроме удовольствия А. и Б., могло зависеть от этого.
В штабе армии, по случаю враждебности Кутузова с своим начальником штаба, Бенигсеном, и присутствия доверенных лиц государя и этих перемещений, шла более, чем обыкновенно, сложная игра партий: А. подкапывался под Б., Д. под С. и т. д., во всех возможных перемещениях и сочетаниях. При всех этих подкапываниях предметом интриг большей частью было то военное дело, которым думали руководить все эти люди; но это военное дело шло независимо от них, именно так, как оно должно было идти, то есть никогда не совпадая с тем, что придумывали люди, а вытекая из сущности отношения масс. Все эти придумыванья, скрещиваясь, перепутываясь, представляли в высших сферах только верное отражение того, что должно было совершиться.
«Князь Михаил Иларионович! – писал государь от 2 го октября в письме, полученном после Тарутинского сражения. – С 2 го сентября Москва в руках неприятельских. Последние ваши рапорты от 20 го; и в течение всего сего времени не только что ничего не предпринято для действия противу неприятеля и освобождения первопрестольной столицы, но даже, по последним рапортам вашим, вы еще отступили назад. Серпухов уже занят отрядом неприятельским, и Тула, с знаменитым и столь для армии необходимым своим заводом, в опасности. По рапортам от генерала Винцингероде вижу я, что неприятельский 10000 й корпус подвигается по Петербургской дороге. Другой, в нескольких тысячах, также подается к Дмитрову. Третий подвинулся вперед по Владимирской дороге. Четвертый, довольно значительный, стоит между Рузою и Можайском. Наполеон же сам по 25 е число находился в Москве. По всем сим сведениям, когда неприятель сильными отрядами раздробил свои силы, когда Наполеон еще в Москве сам, с своею гвардией, возможно ли, чтобы силы неприятельские, находящиеся перед вами, были значительны и не позволяли вам действовать наступательно? С вероятностию, напротив того, должно полагать, что он вас преследует отрядами или, по крайней мере, корпусом, гораздо слабее армии, вам вверенной. Казалось, что, пользуясь сими обстоятельствами, могли бы вы с выгодою атаковать неприятеля слабее вас и истребить оного или, по меньшей мере, заставя его отступить, сохранить в наших руках знатную часть губерний, ныне неприятелем занимаемых, и тем самым отвратить опасность от Тулы и прочих внутренних наших городов. На вашей ответственности останется, если неприятель в состоянии будет отрядить значительный корпус на Петербург для угрожания сей столице, в которой не могло остаться много войска, ибо с вверенною вам армиею, действуя с решительностию и деятельностию, вы имеете все средства отвратить сие новое несчастие. Вспомните, что вы еще обязаны ответом оскорбленному отечеству в потере Москвы. Вы имели опыты моей готовности вас награждать. Сия готовность не ослабнет во мне, но я и Россия вправе ожидать с вашей стороны всего усердия, твердости и успехов, которые ум ваш, воинские таланты ваши и храбрость войск, вами предводительствуемых, нам предвещают».
Но в то время как письмо это, доказывающее то, что существенное отношение сил уже отражалось и в Петербурге, было в дороге, Кутузов не мог уже удержать командуемую им армию от наступления, и сражение уже было дано.
2 го октября казак Шаповалов, находясь в разъезде, убил из ружья одного и подстрелил другого зайца. Гоняясь за подстреленным зайцем, Шаповалов забрел далеко в лес и наткнулся на левый фланг армии Мюрата, стоящий без всяких предосторожностей. Казак, смеясь, рассказал товарищам, как он чуть не попался французам. Хорунжий, услыхав этот рассказ, сообщил его командиру.
Казака призвали, расспросили; казачьи командиры хотели воспользоваться этим случаем, чтобы отбить лошадей, но один из начальников, знакомый с высшими чинами армии, сообщил этот факт штабному генералу. В последнее время в штабе армии положение было в высшей степени натянутое. Ермолов, за несколько дней перед этим, придя к Бенигсену, умолял его употребить свое влияние на главнокомандующего, для того чтобы сделано было наступление.
– Ежели бы я не знал вас, я подумал бы, что вы не хотите того, о чем вы просите. Стоит мне посоветовать одно, чтобы светлейший наверное сделал противоположное, – отвечал Бенигсен.
Известие казаков, подтвержденное посланными разъездами, доказало окончательную зрелость события. Натянутая струна соскочила, и зашипели часы, и заиграли куранты. Несмотря на всю свою мнимую власть, на свой ум, опытность, знание людей, Кутузов, приняв во внимание записку Бенигсена, посылавшего лично донесения государю, выражаемое всеми генералами одно и то же желание, предполагаемое им желание государя и сведение казаков, уже не мог удержать неизбежного движения и отдал приказание на то, что он считал бесполезным и вредным, – благословил совершившийся факт.
Записка, поданная Бенигсеном о необходимости наступления, и сведения казаков о незакрытом левом фланге французов были только последние признаки необходимости отдать приказание о наступлении, и наступление было назначено на 5 е октября.
4 го октября утром Кутузов подписал диспозицию. Толь прочел ее Ермолову, предлагая ему заняться дальнейшими распоряжениями.
– Хорошо, хорошо, мне теперь некогда, – сказал Ермолов и вышел из избы. Диспозиция, составленная Толем, была очень хорошая. Так же, как и в аустерлицкой диспозиции, было написано, хотя и не по немецки:
«Die erste Colonne marschiert [Первая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то, die zweite Colonne marschiert [вторая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то» и т. д. И все эти колонны на бумаге приходили в назначенное время в свое место и уничтожали неприятеля. Все было, как и во всех диспозициях, прекрасно придумано, и, как и по всем диспозициям, ни одна колонна не пришла в свое время и на свое место.
Когда диспозиция была готова в должном количестве экземпляров, был призван офицер и послан к Ермолову, чтобы передать ему бумаги для исполнения. Молодой кавалергардский офицер, ординарец Кутузова, довольный важностью данного ему поручения, отправился на квартиру Ермолова.
– Уехали, – отвечал денщик Ермолова. Кавалергардский офицер пошел к генералу, у которого часто бывал Ермолов.
– Нет, и генерала нет.
Кавалергардский офицер, сев верхом, поехал к другому.
– Нет, уехали.
«Как бы мне не отвечать за промедление! Вот досада!» – думал офицер. Он объездил весь лагерь. Кто говорил, что видели, как Ермолов проехал с другими генералами куда то, кто говорил, что он, верно, опять дома. Офицер, не обедая, искал до шести часов вечера. Нигде Ермолова не было и никто не знал, где он был. Офицер наскоро перекусил у товарища и поехал опять в авангард к Милорадовичу. Милорадовича не было тоже дома, но тут ему сказали, что Милорадович на балу у генерала Кикина, что, должно быть, и Ермолов там.
– Да где же это?
– А вон, в Ечкине, – сказал казачий офицер, указывая на далекий помещичий дом.
– Да как же там, за цепью?
– Выслали два полка наших в цепь, там нынче такой кутеж идет, беда! Две музыки, три хора песенников.
Офицер поехал за цепь к Ечкину. Издалека еще, подъезжая к дому, он услыхал дружные, веселые звуки плясовой солдатской песни.
«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!
На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.