Эллиптические функции Вейерштрасса

Эллиптические функции Вейерштрасса — одни из самых простых эллиптических функций. Этот класс функций (зависящих от эллиптической кривой) назван в честь Карла Вейерштрасса. Также их называют <math>\wp</math>-функциями Вейерштрасса, и используют для их обозначения символ <math>\wp</math> (стилизованное P).

Определение

Пусть задана эллиптическая кривая <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math>, где <math>\Gamma</math> — решётка в <math>\mathbb{C}</math>. Тогда <math>\wp</math>-функцией Вейерштрасса на ней называется мероморфная функция, заданная как сумма ряда

<math>

\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{w\in\Gamma\setminus\{0\}} \left(\frac{1}{(z-w)^2} - \frac{1}{w^2} \right). </math>

Можно увидеть, что так определённая функция будет <math>\Gamma</math>-периодичной на <math>\mathbb{C}</math>, и потому является мероморфной функцией на <math>E</math>.

Задающий функцию Вейерштрасса ряд является, в определённом смысле, «регуляризованной версией» расходящегося ряда <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{(z-w)^2}</math> — «наивной» попытки задать <math>\Gamma</math>-периодическую функцию. Этот последний абсолютно расходится (а при отсутствии естественного порядка на <math>\Gamma</math> имеет смысл говорить только об абсолютной сходимости) при всех z, поскольку при фиксированном z и при больших w модули его членов ведут себя как<math>\frac{1}{|w|^2}</math>, а сумма <math>\sum_{w\in\Gamma} \frac{1}{|w|^2}</math> по двумерной решётке <math>\Gamma</math> расходится.

Варианты определения

Задавая решётку <math>\Gamma</math> её базисом, <math>\Gamma=\{m \omega_1 + n \omega_2 \mid m,n\in \mathbb{Z}\}</math>, можно записать

<math>

\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2} - \frac{1}{(m\omega_1+n\omega_2)^2} \right). </math>

Также, поскольку функция Вейерштрасса как функция трёх переменных однородна, <math>\wp(az;a\omega_1,a\omega_2)=a^{-2}\wp(z;\omega_1,\omega_2)</math>, обозначив <math>\tau=\omega_2/\omega_1</math>, имеет место равенство

<math>\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\omega_1^{-2} \wp(z/\omega_1;1,\tau).</math>

Поэтому рассматривают

<math>

\wp(z;\tau)=\wp(z;1,\tau)=\frac{1}{z^2} + \sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\setminus\{(0,0)\}} \left(\frac{1}{(z-m-n\tau)^2} - \frac{1}{(m+n\tau)^2} \right). </math>

Свойства

• Функция Вейерштрасса <math>\wp_E:E\mapsto \widehat{\mathbb{C}}</math> — чётная мероморфная функция на эллиптической кривой E, с единственным полюсом второго порядка в точке 0.
• Как мероморфное отображение степени 2, она задаёт двулистное разветвлённое накрытие сферы Римана тором E. У этого накрытия есть четыре точки ветвления: бесконечность и три критических значения <math>e_1, e_2, e_3</math>. Эти четыре значения являются образами четырёх точек, оставляемых на месте автоморфизмом <math>z\mapsto -z</math> кривой E — точки 0 и трёх полупериодов <math>\omega_1/2,\omega_2/2, (\omega_1+\omega_2)/2</math>. Таким образом, функция Вейерштрасса осуществляет изоморфизм (или, точнее, спускается до изоморфизма) между топологической сферой <math>E/(z\mapsto -z)</math> (наследующей с E комплексную структуру) и сферой Римана <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.
• Воспользовавшись разложением <math>\frac{1}{(w-z)^2}=\frac{1}{w^2} +\sum\nolimits_{j=1}^{\infty} \frac{j+1}{w^{j+2}} z^j</math> и просуммировав по <math>w\in \Gamma\setminus \{0\}</math>, можно получить разложение в точке <math>z=0</math> функции Вейерштрасса в ряд Лорана:

<math> \wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=2}^{\infty} (2k+1) G_{2k}(\Gamma) z^{2k-2}, </math> где <math>G_{2k}(\Gamma)=\sum_{w\in\Gamma\setminus \{0\}} w^{-2k}</math> — ряды Эйзенштейна для решётки <math>\Gamma</math> (соответствующие нечётные суммы равны нулю).

Однако, коэффициенты при <math>z^2</math> и <math>z^4</math> зачастую записывают в другой, традиционной, нормировке, связанной (см. ниже) с вложением эллиптической кривой в <math>\mathbb{C}P^2</math>:

<math>

\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, </math> где <math>g_2</math> и <math>g_3</math> — модулярные инварианты решётки <math>\Gamma</math>:

<math>

g_2(\Gamma)=60G_4(\Gamma), \quad g_3(\Gamma)=140G_6(\Gamma). </math>

Вложение эллиптических кривых в <math>\mathbb{C}P^2</math>

Функции Вейерштрасса позволяют построить вложение эллиптической кривой в <math>\mathbb{C}P^2</math>, предъявив уравнение, которым задаётся образ. Это устанавливает соответствие между «алгебраическим» и «топологическим» взглядами на эллиптическую кривую — позволяя вложить эллиптическую кривую <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math> в <math>\mathbb{C}P^2</math> и выписать явно уравнение, задающее образ.

А именно, рассмотрим отображение <math>F:E\to \mathbb{C}P^2</math>, задаваемое вне точки <math>z=0</math> как <math>F(z)=(\wp(z),\wp'(z))\in \mathbb{C}^2.</math> Поскольку функция <math>\wp</math> мероморфная — это отображение продолжается до голоморфного отображения из <math>E</math> в <math>\mathbb{C}P^2</math>.

Образ этого отображение может быть явно задан. А именно, единственный полюс как функции <math>\wp(z)</math>, так и функции <math>\wp'(z)</math> — это точка <math>z=0</math>. Более того, поскольку <math>\wp(z)</math> — чётная функция, <math>\wp'(z)</math> — нечётная, и, соответственно, <math>(\wp'(z))^2</math> — чётная. Функция <math>\wp(z)</math> имеет в нуле полюс второго порядка — поэтому полюса <math>(\wp')^2</math> могут быть убраны вычитанием линейной комбинации степеней <math>\wp</math>. Явно подбирая коэффициенты из разложений

<math>

\wp_E(z)=\frac{1}{z^2} + \frac{1}{20}g_2(\Gamma) z^2 + \frac{1}{28}g_3(\Gamma) z^4 + \dots, </math>

<math>

(\wp'_E(z))^2=\left(-\frac{2}{z^3} + \frac{1}{10}g_2(\Gamma) z + \frac{1}{7}g_3(\Gamma) z^3 + \dots\right)^2 = \frac{4}{z^6} - \frac{2}{5} g_2(\Gamma) \frac{1}{z^2} - \frac{4}{7} g_3(\Gamma) + \dots, </math> видим, что разница

<math>

\varphi(z)=(\wp_E'(z))^2-4\wp_E^3(z)+g_2(E) \wp(z) </math> в точке <math>z=0</math> неособая. Но <math>\varphi(z)</math> голоморфна и вне <math>z=0</math> (в силу голоморфности <math>\wp</math> и <math>\wp'</math>), поэтому <math>\varphi(z)</math> — голоморфная на всей компактной римановой поверхности <math>E</math> функция. В силу принципа максимума <math>\varphi(z)</math> — константа. Наконец, из всё того же разложения в нуле находим её значение — оно оказывается равным <math>-g_3(E)</math>. Окончательно, функция <math>(\wp'(z))^2 -4 \wp^3(z) + g_2(E) \wp(z) +g_3(E)</math> обращается на <math>E</math> в тождественный нуль. Тем самым, образ отображения <math>F</math> это эллиптическая кривая в <math>\mathbb{C}P^2</math>, задаваемая уравнением

<math>

y^2=4x^3-g_2(E) x - g_3(E). </math>

Собственно говоря, именно с этим связаны «исторические» коэффициенты 60 и 140, связывающие модулярные инварианты <math>g_2</math> и <math>g_3</math> с соответствующими суммами обратных степеней <math>G_2(E)</math> и <math>G_3(E)</math>: это традиционный выбор нормировки, благодаря которому в уравнении на кривую <math>g_2</math> и <math>g_3</math> это в точности коэффициент при <math>x</math> и свободный член.

Голоморфные формы, решётки периодов и обратное отображение

Для эллиптической кривой <math>E</math> задающая её решётка <math>\Gamma</math> не является однозначно заданной: она определена с точностью до пропорциональности. Однако, решётка взаимно-однозначно соответствует паре <math>(E,\omega)</math>, где <math>\omega</math> — ненулевая голоморфная 1-форма на <math>E</math>: в качестве <math>\omega</math> можно взять проекцию на <math>E</math> формы <math>dz</math> на <math>\mathbb{C}</math>, тогда <math>\Gamma</math> восстанавливается как набор всевозможных интегралов <math>\omega</math> по петлям на торе <math>E</math>:

<math>

\Gamma=\left\{\int_{\gamma} \omega \mid \gamma\in H_1(E) \right\} </math>

На эллиптической кривой <math>y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)</math>, являющейся образом отображения <math>F=(\wp_E,\wp'_E)</math>, имеется голоморфная форма <math>\omega=\frac{dx}{y}</math>. Несложно видеть, что она является в точности образом формы <math>dz</math> на <math>E</math> при отображении <math>F</math>. Это позволяет прийти сразу к нескольким выводам:

• Обратное отображение к отображению <math>F</math> ищется как интеграл формы <math>\omega</math>:

<math>

z(x,y)= \int_{\infty}^{(x,y)} \frac{dx}{y}, </math> где интегрирование производится по пути, лежащему на эллиптической кривой <math>F(E)</math>. Бесконечно удалённая точка на кривой <math>F(E)</math> при этом выбрана как начало пути интегрирования, поскольку является F-образом точки <math>z=0</math>, а изменение выбора пути на другой приводит к изменению результата на элемент решётки периодов <math>\Gamma</math>.

• Обратное отображение к функции Вейерштрасса задаётся как

<math>

\wp_E^{-1}(x) = \int_{\infty}^x \frac{dx}{\pm\sqrt{4x^3+g_2(E)x+g_3(E)}}. </math> (выбор знака соответствует выбору одного из двух прообразов на эллиптической кривой, а изменение пути интегрирования приводит к сдвигу вычисленного прообраза на элемент <math>\Gamma</math>).

• Решётка <math>\Gamma</math> восстанавливается как множество интегралов формы <math>\frac{dx}{y}</math> по всевозможным замкнутым путям на эллиптической кривой <math>y^2=4x^3+g_2(E)x+g_3(E)</math>.

Сложение точек на эллиптической кривой

Эллиптическая кривая является (или, точнее, может быть сделана) абелевой группой по сложению. Для «алгебраического» представления <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math> это просто сложение точек <math>\mathbb{C}</math>. Для «геометрического» — как вложенной в <math>\mathbb{C}P^2</math> кривой <math>y^2=4x^3+px+q</math> — это сложение задаётся выбором в качестве нуля бесконечно удалённой точки и правилом «три точки, лежащие на одной прямой, в сумме дают ноль».

Естественно ожидать, что построенное по функции Вейерштрасса отображение <math>F=(\wp(z),\wp'(z))</math> переводит заданное алгебраически сложение в заданное геометрически — что и имеет место. Этому (поскольку коллинеарность трёх точек задаётся обращением в ноль определителя) соответствует следующее соотношение:

<math>

\det\begin{bmatrix} \wp(u) & \wp'(u) & 1\\ \wp(v) & \wp'(v) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1 \end{bmatrix}=0</math> для любых <math>u+v+w=0</math>. Также, ввиду чётности <math>\wp</math> и нечётности <math>\wp'</math>, оно может быть записано как

<math>

\det\begin{bmatrix} \wp(z) & \wp'(z) & 1\\ \wp(w) & \wp'(w) & 1\\ \wp(z+w) & -\wp'(z+w) & 1 \end{bmatrix}=0</math>

Применение в голоморфной динамике

С помощью <math>\wp</math>-функции Вейерштрасса строится пример Латтэ — пример рационального отображения сферы Римана в себя, множество Фату которого пусто (и, тем самым, динамика которого везде хаотична). А именно, взяв <math>\Gamma=\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a,b\in\mathbb{Z} \}</math>, можно рассмотреть отображение <math>D</math> удвоение на торе <math>E=\mathbb{C}/\Gamma</math>:

<math>

D(z) = 2z \, \mod \mathbb{Z}[i]. </math> Это отображение хаотично везде — сколь угодно маленькая окрестность через конечное число итераций покрывает весь тор.

С другой стороны — отображение <math>D</math> корректно спускается на фактор <math>S^2=E/(z\sim -z)</math>. Поэтому отображение D отображением <math>\wp</math> полусопряжено некоторому рациональному отображению <math>R:\mathbb{C}P^1\to \mathbb{C}P^1</math>:

<math>

\wp \circ D = R\circ \wp. </math>

Иными словами,

<math>

R(z)=\wp(2 \wp^{-1}(z)). </math>

Для такого отображения <math>R</math> образы малых окрестностей также через конечное число итераций закрывают всю сферу Римана. Поэтому множество Жюлиа <math>J(R)=\mathbb{C}P^1</math>, а множество Фату, соответственно, пусто.

Наконец, несложно видеть, что степень отображения <math>R</math> равна четырём (поскольку отображение <math>z\mapsto 2z</math> на торе имеет степень 4), и его коэффициенты <math>R</math> можно найти явно, вычислив достаточное число коэффициентов ряда Тейлора <math>R</math> в нуле через ряд Лорана для <math>\wp</math> (и, соответственно, для <math>\wp^{-1}</math>).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html Weierstrass Elliptic Function] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of <math>\mathbb{R}^2</math>, Topology 18 (1979), no. 2, p. 143—146.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного.
• A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2

Отрывок, характеризующий Эллиптические функции Вейерштрасса

Когда второй акт кончился, графиня Безухова встала, повернулась к ложе Ростовых (грудь ее совершенно была обнажена), пальчиком в перчатке поманила к себе старого графа, и не обращая внимания на вошедших к ней в ложу, начала любезно улыбаясь говорить с ним.
– Да познакомьте же меня с вашими прелестными дочерьми, – сказала она, – весь город про них кричит, а я их не знаю.
Наташа встала и присела великолепной графине. Наташе так приятна была похвала этой блестящей красавицы, что она покраснела от удовольствия.
– Я теперь тоже хочу сделаться москвичкой, – говорила Элен. – И как вам не совестно зарыть такие перлы в деревне!
Графиня Безухая, по справедливости, имела репутацию обворожительной женщины. Она могла говорить то, чего не думала, и в особенности льстить, совершенно просто и натурально.
– Нет, милый граф, вы мне позвольте заняться вашими дочерьми. Я хоть теперь здесь не надолго. И вы тоже. Я постараюсь повеселить ваших. Я еще в Петербурге много слышала о вас, и хотела вас узнать, – сказала она Наташе с своей однообразно красивой улыбкой. – Я слышала о вас и от моего пажа – Друбецкого. Вы слышали, он женится? И от друга моего мужа – Болконского, князя Андрея Болконского, – сказала она с особенным ударением, намекая этим на то, что она знала отношения его к Наташе. – Она попросила, чтобы лучше познакомиться, позволить одной из барышень посидеть остальную часть спектакля в ее ложе, и Наташа перешла к ней.
В третьем акте был на сцене представлен дворец, в котором горело много свечей и повешены были картины, изображавшие рыцарей с бородками. В середине стояли, вероятно, царь и царица. Царь замахал правою рукою, и, видимо робея, дурно пропел что то, и сел на малиновый трон. Девица, бывшая сначала в белом, потом в голубом, теперь была одета в одной рубашке с распущенными волосами и стояла около трона. Она о чем то горестно пела, обращаясь к царице; но царь строго махнул рукой, и с боков вышли мужчины с голыми ногами и женщины с голыми ногами, и стали танцовать все вместе. Потом скрипки заиграли очень тонко и весело, одна из девиц с голыми толстыми ногами и худыми руками, отделившись от других, отошла за кулисы, поправила корсаж, вышла на середину и стала прыгать и скоро бить одной ногой о другую. Все в партере захлопали руками и закричали браво. Потом один мужчина стал в угол. В оркестре заиграли громче в цимбалы и трубы, и один этот мужчина с голыми ногами стал прыгать очень высоко и семенить ногами. (Мужчина этот был Duport, получавший 60 тысяч в год за это искусство.) Все в партере, в ложах и райке стали хлопать и кричать изо всех сил, и мужчина остановился и стал улыбаться и кланяться на все стороны. Потом танцовали еще другие, с голыми ногами, мужчины и женщины, потом опять один из царей закричал что то под музыку, и все стали петь. Но вдруг сделалась буря, в оркестре послышались хроматические гаммы и аккорды уменьшенной септимы, и все побежали и потащили опять одного из присутствующих за кулисы, и занавесь опустилась. Опять между зрителями поднялся страшный шум и треск, и все с восторженными лицами стали кричать: Дюпора! Дюпора! Дюпора! Наташа уже не находила этого странным. Она с удовольствием, радостно улыбаясь, смотрела вокруг себя.
– N'est ce pas qu'il est admirable – Duport? [Неправда ли, Дюпор восхитителен?] – сказала Элен, обращаясь к ней.
– Oh, oui, [О, да,] – отвечала Наташа.


В антракте в ложе Элен пахнуло холодом, отворилась дверь и, нагибаясь и стараясь не зацепить кого нибудь, вошел Анатоль.
– Позвольте мне вам представить брата, – беспокойно перебегая глазами с Наташи на Анатоля, сказала Элен. Наташа через голое плечо оборотила к красавцу свою хорошенькую головку и улыбнулась. Анатоль, который вблизи был так же хорош, как и издали, подсел к ней и сказал, что давно желал иметь это удовольствие, еще с Нарышкинского бала, на котором он имел удовольствие, которое не забыл, видеть ее. Курагин с женщинами был гораздо умнее и проще, чем в мужском обществе. Он говорил смело и просто, и Наташу странно и приятно поразило то, что не только не было ничего такого страшного в этом человеке, про которого так много рассказывали, но что напротив у него была самая наивная, веселая и добродушная улыбка.
Курагин спросил про впечатление спектакля и рассказал ей про то, как в прошлый спектакль Семенова играя, упала.
– А знаете, графиня, – сказал он, вдруг обращаясь к ней, как к старой давнишней знакомой, – у нас устраивается карусель в костюмах; вам бы надо участвовать в нем: будет очень весело. Все сбираются у Карагиных. Пожалуйста приезжайте, право, а? – проговорил он.
Говоря это, он не спускал улыбающихся глаз с лица, с шеи, с оголенных рук Наташи. Наташа несомненно знала, что он восхищается ею. Ей было это приятно, но почему то ей тесно и тяжело становилось от его присутствия. Когда она не смотрела на него, она чувствовала, что он смотрел на ее плечи, и она невольно перехватывала его взгляд, чтоб он уж лучше смотрел на ее глаза. Но, глядя ему в глаза, она со страхом чувствовала, что между им и ей совсем нет той преграды стыдливости, которую она всегда чувствовала между собой и другими мужчинами. Она, сама не зная как, через пять минут чувствовала себя страшно близкой к этому человеку. Когда она отворачивалась, она боялась, как бы он сзади не взял ее за голую руку, не поцеловал бы ее в шею. Они говорили о самых простых вещах и она чувствовала, что они близки, как она никогда не была с мужчиной. Наташа оглядывалась на Элен и на отца, как будто спрашивая их, что такое это значило; но Элен была занята разговором с каким то генералом и не ответила на ее взгляд, а взгляд отца ничего не сказал ей, как только то, что он всегда говорил: «весело, ну я и рад».
В одну из минут неловкого молчания, во время которых Анатоль своими выпуклыми глазами спокойно и упорно смотрел на нее, Наташа, чтобы прервать это молчание, спросила его, как ему нравится Москва. Наташа спросила и покраснела. Ей постоянно казалось, что что то неприличное она делает, говоря с ним. Анатоль улыбнулся, как бы ободряя ее.
– Сначала мне мало нравилась, потому что, что делает город приятным, ce sont les jolies femmes, [хорошенькие женщины,] не правда ли? Ну а теперь очень нравится, – сказал он, значительно глядя на нее. – Поедете на карусель, графиня? Поезжайте, – сказал он, и, протянув руку к ее букету и понижая голос, сказал: – Vous serez la plus jolie. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Вы будете самая хорошенькая. Поезжайте, милая графиня, и в залог дайте мне этот цветок.]
Наташа не поняла того, что он сказал, так же как он сам, но она чувствовала, что в непонятных словах его был неприличный умысел. Она не знала, что сказать и отвернулась, как будто не слыхала того, что он сказал. Но только что она отвернулась, она подумала, что он тут сзади так близко от нее.
«Что он теперь? Он сконфужен? Рассержен? Надо поправить это?» спрашивала она сама себя. Она не могла удержаться, чтобы не оглянуться. Она прямо в глаза взглянула ему, и его близость и уверенность, и добродушная ласковость улыбки победили ее. Она улыбнулась точно так же, как и он, глядя прямо в глаза ему. И опять она с ужасом чувствовала, что между ним и ею нет никакой преграды.
Опять поднялась занавесь. Анатоль вышел из ложи, спокойный и веселый. Наташа вернулась к отцу в ложу, совершенно уже подчиненная тому миру, в котором она находилась. Всё, что происходило перед ней, уже казалось ей вполне естественным; но за то все прежние мысли ее о женихе, о княжне Марье, о деревенской жизни ни разу не пришли ей в голову, как будто всё то было давно, давно прошедшее.
В четвертом акте был какой то чорт, который пел, махая рукою до тех пор, пока не выдвинули под ним доски, и он не опустился туда. Наташа только это и видела из четвертого акта: что то волновало и мучило ее, и причиной этого волнения был Курагин, за которым она невольно следила глазами. Когда они выходили из театра, Анатоль подошел к ним, вызвал их карету и подсаживал их. Подсаживая Наташу, он пожал ей руку выше локтя. Наташа, взволнованная и красная, оглянулась на него. Он, блестя своими глазами и нежно улыбаясь, смотрел на нее.

Только приехав домой, Наташа могла ясно обдумать всё то, что с ней было, и вдруг вспомнив князя Андрея, она ужаснулась, и при всех за чаем, за который все сели после театра, громко ахнула и раскрасневшись выбежала из комнаты. – «Боже мой! Я погибла! сказала она себе. Как я могла допустить до этого?» думала она. Долго она сидела закрыв раскрасневшееся лицо руками, стараясь дать себе ясный отчет в том, что было с нею, и не могла ни понять того, что с ней было, ни того, что она чувствовала. Всё казалось ей темно, неясно и страшно. Там, в этой огромной, освещенной зале, где по мокрым доскам прыгал под музыку с голыми ногами Duport в курточке с блестками, и девицы, и старики, и голая с спокойной и гордой улыбкой Элен в восторге кричали браво, – там под тенью этой Элен, там это было всё ясно и просто; но теперь одной, самой с собой, это было непонятно. – «Что это такое? Что такое этот страх, который я испытывала к нему? Что такое эти угрызения совести, которые я испытываю теперь»? думала она.
Одной старой графине Наташа в состоянии была бы ночью в постели рассказать всё, что она думала. Соня, она знала, с своим строгим и цельным взглядом, или ничего бы не поняла, или ужаснулась бы ее признанию. Наташа одна сама с собой старалась разрешить то, что ее мучило.
«Погибла ли я для любви князя Андрея или нет? спрашивала она себя и с успокоительной усмешкой отвечала себе: Что я за дура, что я спрашиваю это? Что ж со мной было? Ничего. Я ничего не сделала, ничем не вызвала этого. Никто не узнает, и я его не увижу больше никогда, говорила она себе. Стало быть ясно, что ничего не случилось, что не в чем раскаиваться, что князь Андрей может любить меня и такою . Но какою такою ? Ах Боже, Боже мой! зачем его нет тут»! Наташа успокоивалась на мгновенье, но потом опять какой то инстинкт говорил ей, что хотя всё это и правда и хотя ничего не было – инстинкт говорил ей, что вся прежняя чистота любви ее к князю Андрею погибла. И она опять в своем воображении повторяла весь свой разговор с Курагиным и представляла себе лицо, жесты и нежную улыбку этого красивого и смелого человека, в то время как он пожал ее руку.