Математическая индукция

Математическая индукция — метод математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Формулировка

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: <math>P_1, P_2, \ldots, P_n, P_{n+1}, \ldots</math>.

Допустим, что Установлено, что <math>P_1</math> верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно <math>P_n</math>, то верно <math>P_{n+1}</math>. (Это утверждение называется индукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений <math>P_1</math>, <math>P_2</math>, <math>P_3</math>, <math>\ldots</math>. Если для любого натурального <math>n</math> из того, что истинны все <math>P_1</math>, <math>P_2</math>, <math>P_3</math>, <math>\ldots</math>, <math>P_{n-1}</math>, следует также истинность <math>P_n</math>, то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть <math>(\forall n\in{\mathbb N})\Big((\forall i\in\{1;\dots;n-1\})P_i\longrightarrow P_n\Big)\longrightarrow(\forall n\in{\mathbb N})P_n</math>.

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при <math>n=1</math> импликация <math>(\forall i\in\{1;\dots;n-1\})P_i\longrightarrow P_n</math> эквивалентна <math>P_1</math>. Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

История

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Примеры

Задача. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство

<math>1 + q + q^2 +\cdots + q^n = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 -q}.</math>

Доказательство. Индукция по n.

База, n = 1:

<math>1 + q = \frac{(1 - q)(1 + q)}{1 - q}=\frac{1 - q^{1 + 1}}{1 - q}.</math>

Переход: предположим, что

<math>1 + q + \cdots + q^n=\frac{1- q^{n + 1}}{1 - q},</math>

тогда

<math>1+q+\cdots +q^n+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=</math>

<math>=\frac{1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}</math>,

что и требовалось доказать.

Комментарий: истинность утверждения <math>P_n</math> в этом доказательстве — то же, что истинность равенства

<math>1+q+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.</math>

Вариации и обобщения

• Трансфинитная индукция
• Структурная индукция
• Аксиомы Пеано
• Обратная индукция или Индукция Коши

Литература

• А. Шень. [math.ru/lib/430 Математическая индукция]. — МЦНМО, 2004. — 36 с.
• Н. Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. — Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1976. — 48 с.
• Л. И. Головина, И. М. Яглом. [plm.mccme.ru/ann/a21.htm Индукция в геометрии]. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).
• Р. Курант, Г. Роббинс. Глава I, § 2 // [www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?]
• И. С. Соминский. [plm.mccme.ru/ann/a03.htm Метод математической индукции]. — Наука, 1965. — Т. 3. — 58 с. — (Популярные лекции по математике).

Ссылки

• [www.youtube.com/watch?v=J0qEx8owPrQ Видео] по методу математической индукции