Целый элемент

В коммутативной алгебре элемент b коммутативного кольца B называется целым над подкольцом A, если существуют коэффициенты <math>a_j \in A</math>, такие что

<math>b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0.</math>

Таким образом, целые элементы B — это в точности корни приведенных многочленов над A. Если каждый элемент B является целым над A, кольцо B называется целым расширением A (или просто «кольцом, целым над A»).

Если A и B — поля, терминам «цел над» и «целое расширение» соответствуют термины «алгебраичен над» и «алгебраическое расширение». Частный случай, особенно важный в теории чисел — комплексные числа, являющиеся целыми над Z, они называются целыми алгебраическими числами.

Множество всех элементов B, целых над A, образует кольцо; оно называется целым замыканием A в B. Целое замыкание рациональных чисел в некотором конечном расширении k поля Q называется кольцом целых поля k, этот объект является фундаментальным для алгебраической теории чисел.

В дальнейшем в этой статье под словом «кольцо» подразумевается «коммутативное кольцо с единицей».

Примеры

• Целые числа — единственные элементы Q, являющиеся целыми над Z. До некоторой степени, это проясняет происхождение термина «целый».
• Гауссовы целые числа, как элементы поля комплексных чисел, являются целыми над Z.
• Пусть ζ — корень из единицы. Целое замыкание Z в круговом поле Q(ζ) — это Z[ζ].
• Если <math>\overline{k}</math> — алгебраическое замыкание поля k, то <math>\overline{k}[x_1, \dots, x_n]</math> цело над <math>k[x_1, \dots, x_n].</math>
• Пусть конечная группа G действует на кольце A гомоморфизмами колец. Тогда A является целым над множеством элементов, являющихся неподвижными точками действия группы.

Эквивалентные определения

Пусть b — элемент кольца B, A — подкольцо B. Следующие утверждения эквивалентны:

• b является целым над A;
• Подкольцо A[b] кольца B является конечнопорожденным A-модулем;
• Существует подкольцо C кольца B, содержащее A и b, и являющееся конечнопорожденным A-модулем;
• Существует конечнопорожденный A-модуль M кольца B, такой что bM ⊂ M и из b’M = 0 следует, что b' = 0.

Из третьего свойства легко вывести, что множество всех элементов, целых над A, является подкольцом B (замкнуто относительно сложения и умножения), оно называется целым замыканием A в B. Если целое замыкание совпадает с самим кольцом A, A называется целозамкнутым в B.

«Целость» является транзитивным отношением: если кольцо C цело над B и B цело над A, то C цело над A.

Также из третьего свойства следует, что если B цело над A, то B является объединением (или, эквивалентно, прямым пределом) подколец, являющихся конечнопорожденными A-модулями.

Целозамкнутые кольца

Целозамкнутое кольцо — это целостное кольцо, целозамкнутое в своём поле частных.

Пусть A — целозамкнутое кольцо с полем частных K и L — конечное расширение K. Тогда элемент L цел над A тогда и только тогда, когда коэффициенты его минимального многочлена принадлежат A: это более сильное условие, чем просто целость, для которой достаточно существование произвольного многочлена с таким свойством. Любое факториальное кольцо является целозамкнутым.

Пусть A — нётерово целостное кольцо. Тогда A целозамкнуто в том и только в том случае, когда (1) A совпадает с пересечением всех локализаций A по простому идеалу и (2) локализация A по простому идеалу высоты 1 (то есть не содержащему других ненулевых простых идеалов) — дедекиндово кольцо. Также нётерово кольцо целозамкнуто тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля.

Нормальные кольца

Такие авторы, как Серр и Гротендик, определяют нормальное кольцо как кольцо, локализация которого по любому простому идеалу целозамкнута. В таком кольце нет ненулевых нильпотентов. Если A — нётерово кольцо, локализации которого по максимальным идеалам целостны, то A — конечное произведение целостных колец. В данном случае, если A — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении целозамкнуты. Обратно, прямое произведение целозамкнутых колец нормально.

Вполне целозамкнутые кольца

Пусть A — целостное кольцо, K — его поле частных. Элемент x поля частных называется почти целым над A, если существует такой <math>d\in A</math>, что <math>dx^n\in A</math> для любого натурального n. Кольцо A называется вполне целозамкнутым, если любой почти целый над ним элемент содержится в A. Вполне целозамкнутые кольца целозамкнуты. Обратно, нётеровы целозамкнутые кольца вполне целозамкнуты.

Кольцо формальных степенных рядов над вполне целозамкнутым кольцом вполне целозамкнуто, тогда как для произвольных целозамкнутых колец это неверно.

Локальность свойства целозамкнутости

Следующие условия для целостного кольца A эквивалентны:

• A целозамкнуто;
• Локализация A по любому простому идеалу целозамкнута;
• Локализация A по любому максимальному идеалу целозамкнута.

Такие свойства кольца A называют локальными свойствами.

Примечания

• Bourbaki, Commutative algebra.
• Kaplansky Irving. Commutative Rings. — University of Chicago Press, 1974. — ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.