Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

<math>y=x\varphi(y')+f(y'),</math>

где <math>\varphi</math> и <math>f</math> — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при <math> \varphi(y') \equiv y'</math> называется уравнением Клеро.

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

<math> y' = p.</math>

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

<math> y = x\varphi(p)+f(p).</math>

Дифференцирование по x даёт:

<math> p = \varphi(p)+\left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx} </math>

или

<math> p - \varphi(p) = \left(x \varphi'(p) + f'(p)\right) \frac{dp}{dx}.</math>

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной <math> y' = p = p_0 </math>, удовлетворяющей алгебраическому уравнению

<math> p_0 - \varphi(p_0) = 0,</math>

так как для постоянного <math> p_0 </math>

<math> \frac{dp}{dx} \equiv 0.</math>

Если <math> y' = p_0 </math>, то <math> y = p_0 x + C_0</math>, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

<math> p_0 x + C_0 = x \varphi(p_0) + f(p_0),</math>

так как в рассматриваемом случае <math> p_0 = \varphi(p_0)</math>, то

<math> C_0 = f(p_0)</math>.

Окончательно можем написать:

<math> y = x \varphi(p_0) + f(p_0) </math>.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к <math> p = y' </math>, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

<math> \frac{dx}{dp} - x \frac{\varphi(p)}{p-\varphi(p)} = \frac{f(p)}{p-\varphi(p)} </math>.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

<math> x = w(p, C).</math>

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

<math> \begin{cases}

 y = x\varphi(p)+f(p)  \\
 x = w(p, C)

\end{cases} </math>.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

<math> \Phi(x, y, C) = 0 </math>.

Примечания

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)