Винеровская теория нелинейных систем

Винеровская теория нелинейных систем — подход к решению задач анализа и синтеза нелинейных систем с постоянными параметрами, при котором в качестве математической модели нелинейной системы рассматривается функционал, который ставит в соответствие каждой функции (входному сигналу системы за рассматриваемое время) число (мгновенный выходной сигнал системы).

Пояснения

Н. Винер впервые применил описание нелинейных систем при помощи явного описания зависимости между входом и выходом при помощи теории рядов Вольтерры. Этот подход сводит задачу описания системы с заданным классом входных сигналов к задаче построения функционала, заданного на некотором классе функций. В основе винеровского метода лежит описание аналитических функционалов с помощью ряда Вольтерры:

<math>y(t)=h_0+\int \limits_\eta h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + \int \limits_\eta \int \limits_\eta h_2(\tau_1, \tau_2) x(t - \tau_1) x(t-\tau_2) \, d\tau_1 d\tau_2 + ... </math>,

где — <math>\eta</math> область интегрирования, то есть область, на которой определена функция x(t). Фреше доказал, что любой непрерывный функционал <math>y[x(t)]</math>, определенный на множестве функций <math>x(t)</math>, областью определения которых является интервал <math>[a, b]</math>, может быть представлен интегралами Вольтерры. Бриллиант доказал эту теорему для бесконечного интервала.

Суть винеровского описания состоит в том, что вместо явного выражения для абстрактной системы отыскивается метод её аппроксимации, который начинается с простых элементов, а затем при постепенном усложнении он даёт возможность аппроксимировать систему с желаемой точностью. Для описания системы по существу необходимо знание ряда ядер вида <math>h_n(\tau_1, ... \tau_n)</math> для <math>n=1, 2, ...</math>.

Решение задачи

Н. Винер использует в качестве входного сигнала изучаемой нелинейной системы винеровский процесс. В этом случае функциональный ряд можно представить в виде суммы ортогональных функционалов различных степеней. Построение этого ряда производится следующим образом: функционал нулевой степени есть константа, абсолютная величина квадрата этой константы равна 1, таким образом нормированная константа равна 1 или −1. Рассмотрим теперь функционал 1-й степени вида:

<math>\int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + h_0</math>.

Он должен быть ортогонален всем функционалам 0-й степени. Умножение функционала 1-й степени на функционал 0-й степени осуществляется по формуле:

<math>\int \limits_{-\infty}^{\infty} \Bigl[ \int \limits_{-\infty}^{\infty} h_1(\tau) x(t - \tau) \, d\tau + h_0 \Bigr]K d\tau =0 </math>.

Здесь первый член равен нулю. Все выражение равно нулю, только если <math>h_0=0</math>

Литература

• Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов,. — М.: ИЛ, 1961.
• К. А. Пупков. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления,. — М.: Машиностроение, 1965.
• Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления,. — М.: Наука, 1974. — 248 с.

Отрывок, характеризующий Винеровская теория нелинейных систем

– А я именно хочу сказать вам, чтоб избежать недоразумений, что вы очень ошибетесь, ежели причтете меня и мою мать к числу этих людей. Мы очень бедны, но я, по крайней мере, за себя говорю: именно потому, что отец ваш богат, я не считаю себя его родственником, и ни я, ни мать никогда ничего не будем просить и не примем от него.
Пьер долго не мог понять, но когда понял, вскочил с дивана, ухватил Бориса за руку снизу с свойственною ему быстротой и неловкостью и, раскрасневшись гораздо более, чем Борис, начал говорить с смешанным чувством стыда и досады.
– Вот это странно! Я разве… да и кто ж мог думать… Я очень знаю…
Но Борис опять перебил его:
– Я рад, что высказал всё. Может быть, вам неприятно, вы меня извините, – сказал он, успокоивая Пьера, вместо того чтоб быть успокоиваемым им, – но я надеюсь, что не оскорбил вас. Я имею правило говорить всё прямо… Как же мне передать? Вы приедете обедать к Ростовым?
И Борис, видимо свалив с себя тяжелую обязанность, сам выйдя из неловкого положения и поставив в него другого, сделался опять совершенно приятен.
– Нет, послушайте, – сказал Пьер, успокоиваясь. – Вы удивительный человек. То, что вы сейчас сказали, очень хорошо, очень хорошо. Разумеется, вы меня не знаете. Мы так давно не видались…детьми еще… Вы можете предполагать во мне… Я вас понимаю, очень понимаю. Я бы этого не сделал, у меня недостало бы духу, но это прекрасно. Я очень рад, что познакомился с вами. Странно, – прибавил он, помолчав и улыбаясь, – что вы во мне предполагали! – Он засмеялся. – Ну, да что ж? Мы познакомимся с вами лучше. Пожалуйста. – Он пожал руку Борису. – Вы знаете ли, я ни разу не был у графа. Он меня не звал… Мне его жалко, как человека… Но что же делать?
– И вы думаете, что Наполеон успеет переправить армию? – спросил Борис, улыбаясь.
Пьер понял, что Борис хотел переменить разговор, и, соглашаясь с ним, начал излагать выгоды и невыгоды булонского предприятия.
Лакей пришел вызвать Бориса к княгине. Княгиня уезжала. Пьер обещался приехать обедать затем, чтобы ближе сойтись с Борисом, крепко жал его руку, ласково глядя ему в глаза через очки… По уходе его Пьер долго еще ходил по комнате, уже не пронзая невидимого врага шпагой, а улыбаясь при воспоминании об этом милом, умном и твердом молодом человеке.
Как это бывает в первой молодости и особенно в одиноком положении, он почувствовал беспричинную нежность к этому молодому человеку и обещал себе непременно подружиться с ним.
Князь Василий провожал княгиню. Княгиня держала платок у глаз, и лицо ее было в слезах.
– Это ужасно! ужасно! – говорила она, – но чего бы мне ни стоило, я исполню свой долг. Я приеду ночевать. Его нельзя так оставить. Каждая минута дорога. Я не понимаю, чего мешкают княжны. Может, Бог поможет мне найти средство его приготовить!… Adieu, mon prince, que le bon Dieu vous soutienne… [Прощайте, князь, да поддержит вас Бог.]
– Adieu, ma bonne, [Прощайте, моя милая,] – отвечал князь Василий, повертываясь от нее.
– Ах, он в ужасном положении, – сказала мать сыну, когда они опять садились в карету. – Он почти никого не узнает.