Винеровский процесс
Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.
Содержание
Определение
Случайный процесс <math> W_t </math>, где <math> t \ge 0 </math> называется винеровским процессом, если
- <math>W_0 = 0</math> почти наверное.
- <math>W_t</math> — процесс с независимыми приращениями.
- <math>W_t - W_s \sim \mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))</math>, для любых <math>0\le s < t < \infty</math>,
где <math>\mathrm{N}(0,\sigma^{2}(t-s))</math> обозначает нормальное распределение со средним <math>0</math> и дисперсией <math>\sigma^{2}(t-s)</math>.
Величину <math>\sigma^2</math>, постоянную для процесса, далее будем считать равной <math> 1</math>.
Непрерывность траекторий
Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.
Свойства винеровского процесса
- <math>W_t</math> — гауссовский процесс.
- <math>W_t</math> — марковский процесс.
- <math>W_t \sim \mathrm{N}(0,t)</math>. Соответственно <math>\mathbb{E}[W_t] = 0</math> и <math>\mathrm{D}[W_t] = t</math>.
- <math>\mathrm{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t)</math>.
- Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если <math>W_t</math> — винеровский процесс, и <math>c > 0</math>, то
- <math>V_t = \frac{1}{\sqrt{c}} W_{ct}</math>
также является винеровским процессом.
- Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
- Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
- Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное
- Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма
- <math>\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{W_t}{\sqrt{2t\ln\ln t}}=1</math> почти наверное.
Многомерный винеровский процесс
Многомерный (<math>n</math>-мерный) винеровский процесс <math>\mathbf{W}_t</math> — это <math>\mathrm{R}^n</math>-значный случайный процесс, составленный из <math>n</math> независимых одномерных винеровских процессов, то есть
- <math>\mathbf{W}_t = \left( W^1_t,\ldots, W^n_t\right)^{\top}, \quad t \ge 0 </math>,
где процессы <math>\left\{W^i_t\right\},\; i = 1,\ldots,n</math> совместно независимы.
Связь с физическими процессами
Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа <math>\sigma^2</math> при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.
Напишите отзыв о статье "Винеровский процесс"
Ссылки
- [synset.com/wiki/index.php/%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%85%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B8%D1%80 Стохастический мир] — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения
См. также
Отрывок, характеризующий Винеровский процесс
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
