Волны Рэлея
Волны Рэлея — поверхностные акустические волны. Названы в честь Рэлея теоретически предсказавшего их в 1885 году[1].
Содержание
Описание
Волны Рэлея распространяются вблизи поверхности твердого тела. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности, Частицы среды в такой волне совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости (в которой лежат вектор скорости и нормали к поверхности). Амплитуды колебаний затухают при удалении от поверхности по экспоненциальным законам и энергия волны сосредоточена в области на расстоянии порядка длины волны от поверхности.[2]
Изотропное тело
Уравнение движения бесконечно малого объёма однородной, изотропной и идеально упругой среды с плотностью ρ можно записать в виде
| <math>\rho\frac{\partial^2 \textbf{U |
где U — смещение бесконечного малого объема относительно равновесного положения, λ и μ — упругие постоянные, Δ — оператор Лапласа. Для данного волнового уравнения решения ищутся в виде суперпозиции поперечных и продольных смещений U=Ut+Ul, где Ul=grad φ и Ut=rot ψ. φ и ψ — скалярный и векторный потенциалы. Уравнение (1) для новых неизвестных представляет собой волновые уравнения для независимых компонент смещений[3]:
| {{{2}}} | (2.1) |
| {{{2}}} | (2.2) |
Если волна распространяется по оси x, то можно рассмотреть для изотропного случая только колебания в плоскости (x,z). Принимая во внимание независимость компонент от y для плоской гармонической волны, волновые уравнения для потенциалов примут вид
| {{{2}}} | (3.1) |
| {{{2}}} | (3.2) |
где <math>k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)}, </math> <math>k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},</math> — волновые числа для продольных и поперечных волн. Решения этих уравнений, если взять только затухающие решения представляются в виде плоских волн[4]:
| {{{2}}} | (4.1) |
| {{{2}}} | (4.2) |
где <math>q^2=k^2-k_l^2</math>; <math>s^2=k^2-k_t^2</math>; <math>k^2>k_t^2>k_l^2</math>; A и B — произвольные постоянные. Эти решения представляют собой общее решение волнового уравнения для затухающей волны, а для нахождения частного решения нужно задать граничные условия на поверхности среды.
Компоненты смещения представляются в виде
| {{{2}}} | (5.1) |
| {{{2}}} | (5.1) |
В случае свободной границы значение компонентов тензора напряжений принимают нулевые значение
| {{{2}}} | (6.1) |
| {{{2}}} | (6.2) |
После подставления решений (4) получится однородная система линейных уравнений относительно амплитуд A и B, которая имеет нетривиальное решение только если детерминант системы равен нулю (уравнение Рэлея), а именно[5]
| {{{2}}} | (6) |
где <math>\eta=k_t/k</math>, <math>\xi=k_l/k_t</math>. Это уравнение имеет единственный корень относящийся к рэлеевской волне, который зависит только от коэффициента Пуассона ν:
| {{{2}}} | (7) |
Отсюда находятся компоненты смещений для рэлеевской волны[6]:
| {{{2}}} | (8.1) |
| {{{2}}} | (8.2) |
Практическое применение волн рэлеевского типа
Волны рэлеевского типа (псевдорэлеевские волны) успешно применяются в методе преломленных волн (инженерная сейсморазведка) для изучения упругих параметров пород и грунтов находящихся за обделкой тоннелей[7], железобетонными, бетонными плитами, каменной кладкой или дорожной одеждой[8]. В случае увеличения скоростей с глубиной (как правило, при исследованиях с дневной поверхности) скорости поперечных волн в нижнем слое определяются по дисперсионным кривым псевдорэлеевских волн. Этот способ широко используются на практике и обоснован с точки зрения теории упругости.
Напишите отзыв о статье "Волны Рэлея"
Примечания
- ↑ Lord Rayleigh (1885). «[plms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-17/1/4 On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid]». Proc. London Math. Soc. s1-17 (1): 4–11.
- ↑ Викторов И. А., с. 11.
- ↑ Викторов И. А., с. 7.
- ↑ Викторов И. А., с. 8.
- ↑ Викторов И. А., с. 9.
- ↑ Викторов И. А., с. 10.
- ↑ [geofizika.spb.ru/offer/bojkoisaevotsenkasvojstvgruntov/ Оценка свойств и состояния грунтов за обделкой транспортных тоннелей по данным 2D-сейсмотомографии. Бойко О. В.].
- ↑ [geofizika.spb.ru/news/svojstvagruntovzaplitami/ Определение физико-механических свойств и прочностных характеристик грунтов, перекрытых каменной кладкой, бетонными, железобетонными конструкциями и дорожной одеждой.].
Литература
- Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
 |
Статья содержит короткие («гарвардские») ссылки на публикации, не указанные или неправильно описанные в библиографическом разделе. Список неработающих ссылок: Викторов И. А. Пожалуйста, исправьте ссылки согласно инструкции к шаблону {{sfn}} и дополните библиографический раздел корректными описаниями цитируемых публикаций, следуя руководствам ВП:Сноски и ВП:Ссылки на источники.
|
Отрывок, характеризующий Волны Рэлея
Пьер ничего не отвечал, но ласково смотрел в глаза французу. Это выражение участия было приятно ему.– Parole d'honneur, sans parler de ce que je vous dois, j'ai de l'amitie pour vous. Puis je faire quelque chose pour vous? Disposez de moi. C'est a la vie et a la mort. C'est la main sur le c?ur que je vous le dis, [Честное слово, не говоря уже про то, чем я вам обязан, я чувствую к вам дружбу. Не могу ли я сделать для вас что нибудь? Располагайте мною. Это на жизнь и на смерть. Я говорю вам это, кладя руку на сердце,] – сказал он, ударяя себя в грудь.
– Merci, – сказал Пьер. Капитан посмотрел пристально на Пьера так же, как он смотрел, когда узнал, как убежище называлось по немецки, и лицо его вдруг просияло.
– Ah! dans ce cas je bois a notre amitie! [А, в таком случае пью за вашу дружбу!] – весело крикнул он, наливая два стакана вина. Пьер взял налитой стакан и выпил его. Рамбаль выпил свой, пожал еще раз руку Пьера и в задумчиво меланхолической позе облокотился на стол.
– Oui, mon cher ami, voila les caprices de la fortune, – начал он. – Qui m'aurait dit que je serai soldat et capitaine de dragons au service de Bonaparte, comme nous l'appellions jadis. Et cependant me voila a Moscou avec lui. Il faut vous dire, mon cher, – продолжал он грустным я мерным голосом человека, который сбирается рассказывать длинную историю, – que notre nom est l'un des plus anciens de la France. [Да, мой друг, вот колесо фортуны. Кто сказал бы мне, что я буду солдатом и капитаном драгунов на службе у Бонапарта, как мы его, бывало, называли. Однако же вот я в Москве с ним. Надо вам сказать, мой милый… что имя наше одно из самых древних во Франции.]
И с легкой и наивной откровенностью француза капитан рассказал Пьеру историю своих предков, свое детство, отрочество и возмужалость, все свои родственныеимущественные, семейные отношения. «Ma pauvre mere [„Моя бедная мать“.] играла, разумеется, важную роль в этом рассказе.
– Mais tout ca ce n'est que la mise en scene de la vie, le fond c'est l'amour? L'amour! N'est ce pas, monsieur; Pierre? – сказал он, оживляясь. – Encore un verre. [Но все это есть только вступление в жизнь, сущность же ее – это любовь. Любовь! Не правда ли, мосье Пьер? Еще стаканчик.]
Пьер опять выпил и налил себе третий.
– Oh! les femmes, les femmes! [О! женщины, женщины!] – и капитан, замаслившимися глазами глядя на Пьера, начал говорить о любви и о своих любовных похождениях. Их было очень много, чему легко было поверить, глядя на самодовольное, красивое лицо офицера и на восторженное оживление, с которым он говорил о женщинах. Несмотря на то, что все любовные истории Рамбаля имели тот характер пакостности, в котором французы видят исключительную прелесть и поэзию любви, капитан рассказывал свои истории с таким искренним убеждением, что он один испытал и познал все прелести любви, и так заманчиво описывал женщин, что Пьер с любопытством слушал его.
Очевидно было, что l'amour, которую так любил француз, была ни та низшего и простого рода любовь, которую Пьер испытывал когда то к своей жене, ни та раздуваемая им самим романтическая любовь, которую он испытывал к Наташе (оба рода этой любви Рамбаль одинаково презирал – одна была l'amour des charretiers, другая l'amour des nigauds) [любовь извозчиков, другая – любовь дурней.]; l'amour, которой поклонялся француз, заключалась преимущественно в неестественности отношений к женщине и в комбинация уродливостей, которые придавали главную прелесть чувству.
Так капитан рассказал трогательную историю своей любви к одной обворожительной тридцатипятилетней маркизе и в одно и то же время к прелестному невинному, семнадцатилетнему ребенку, дочери обворожительной маркизы. Борьба великодушия между матерью и дочерью, окончившаяся тем, что мать, жертвуя собой, предложила свою дочь в жены своему любовнику, еще и теперь, хотя уж давно прошедшее воспоминание, волновала капитана. Потом он рассказал один эпизод, в котором муж играл роль любовника, а он (любовник) роль мужа, и несколько комических эпизодов из souvenirs d'Allemagne, где asile значит Unterkunft, где les maris mangent de la choux croute и где les jeunes filles sont trop blondes. [воспоминаний о Германии, где мужья едят капустный суп и где молодые девушки слишком белокуры.]
Наконец последний эпизод в Польше, еще свежий в памяти капитана, который он рассказывал с быстрыми жестами и разгоревшимся лицом, состоял в том, что он спас жизнь одному поляку (вообще в рассказах капитана эпизод спасения жизни встречался беспрестанно) и поляк этот вверил ему свою обворожительную жену (Parisienne de c?ur [парижанку сердцем]), в то время как сам поступил во французскую службу. Капитан был счастлив, обворожительная полька хотела бежать с ним; но, движимый великодушием, капитан возвратил мужу жену, при этом сказав ему: «Je vous ai sauve la vie et je sauve votre honneur!» [Я спас вашу жизнь и спасаю вашу честь!] Повторив эти слова, капитан протер глаза и встряхнулся, как бы отгоняя от себя охватившую его слабость при этом трогательном воспоминании.
