Диада

Диа́да — это специальный тензор второго ранга, тензорное произведение двух векторов. В компонентной записи диада имеет вид

<math>\ A_{ij} = a_i b_{j}, </math>

В бескоординатной форме

<math> \mathbf{A} = \mathbf{a} \otimes \mathbf{b} </math>, либо просто <math>\mathbf{a b}</math>

Любой двухвалентный тензор можно разложить в сумму не более чем n диад, где n — размерность исходного линейного пространства, так как

<math>\begin{bmatrix}

0 & \dots & a_1 & \dots & 0 \\ 0 & \dots & a_2 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & a_n & \dots & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \dots \\ a_n \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & \dots & 1 & \dots & 0 \end{bmatrix}</math>

и любая матрица представима как сумма не более чем n таких «одностолбцовых» матриц.

Пример диады

Например, рассмотрим пару векторов

<math> \mathbf{A} = a \mathbf{i} + b \mathbf{j} </math>

и

<math> \mathbf{B} = c \mathbf{i} + d \mathbf{j}. </math>

Тогда тензорное произведение A и B равно

<math> \mathbf{A\otimes B} = a c \mathbf{i\otimes i} + a d \mathbf{i\otimes j} + b c \mathbf{j\otimes i} + b d \mathbf{j\otimes j} </math>.

Оператор вращения

Двухвалентный тензор

<math>\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}</math> -

это оператор вращения плоскости на 90°. Он действует слева от вектора и производит вращение:

<math> (\mathbf{j\otimes i} - \mathbf{i\otimes j}) \cdot (x \mathbf{i} + y \mathbf{j}) =

x \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{i)} - x \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{i)} + y \mathbf{j (i} \cdot \mathbf{j)} - y \mathbf{i (j} \cdot \mathbf{j)} = -y \mathbf{i} + x \mathbf{j}.</math>

Использование диад

В физике

Как простейшие составляющие двухвалентных тензоров, диады нашли применение в кристаллофизике при описании симметрийных свойств кристаллов. Наибольшее развитие данный подход получил в так называемом ковариантном или бескоординатном методе, развиваемом белорусской школой теоретической физики.

Литература

• Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 424 с. с.
• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. с.

Отрывок, характеризующий Диада

– Pourquoi? Je vous aime plus, que jamais, – говорила княжна Марья, – et je tacherai de faire tout ce qui est en mon pouvoir pour votre bonheur. [Почему же? Я вас люблю больше, чем когда либо, и постараюсь сделать для вашего счастия всё, что в моей власти.]
– Mais vous me meprisez, vous si pure, vous ne comprendrez jamais cet egarement de la passion. Ah, ce n'est que ma pauvre mere… [Но вы так чисты, вы презираете меня; вы никогда не поймете этого увлечения страсти. Ах, моя бедная мать…]
– Je comprends tout, [Я всё понимаю,] – отвечала княжна Марья, грустно улыбаясь. – Успокойтесь, мой друг. Я пойду к отцу, – сказала она и вышла.
Князь Василий, загнув высоко ногу, с табакеркой в руках и как бы расчувствованный донельзя, как бы сам сожалея и смеясь над своей чувствительностью, сидел с улыбкой умиления на лице, когда вошла княжна Марья. Он поспешно поднес щепоть табаку к носу.
– Ah, ma bonne, ma bonne, [Ах, милая, милая.] – сказал он, вставая и взяв ее за обе руки. Он вздохнул и прибавил: – Le sort de mon fils est en vos mains. Decidez, ma bonne, ma chere, ma douee Marieie qui j'ai toujours aimee, comme ma fille. [Судьба моего сына в ваших руках. Решите, моя милая, моя дорогая, моя кроткая Мари, которую я всегда любил, как дочь.]
Он отошел. Действительная слеза показалась на его глазах.
– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.